Dihedrální skupina

Dihedrální grupa ( dihedrální grupa ) je grupa symetrie pravidelného mnohoúhelníku , zahrnující jak rotace , tak osové symetrie [1] . Dihedrální grupy jsou nejjednodušší příklady konečných grup a hrají důležitou roli v teorii grup , geometrii a chemii . Je dobře známo a zcela triviálně ověřeno, že grupa tvořená dvěma involucemi s konečným počtem prvků v oblasti definice je dihedrální grupa.

Notace

Existují dva hlavní způsoby , jak zapsat dihedrální skupinu spojenou s -sided polygonem. V geometrii se skupina zapisuje jako , zatímco v obecné algebře se stejná skupina označuje jako , kde index je počet prvků ve skupině. Existuje také Coxeterova notace , ve které je osová symetrie řádu označena jako ) a rotace řádu jako . Dalším záznamem je orbifold notace , ve které je osová symetrie označena jako a rotace jako . $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {D} _{2n}$ $2n$ $[n]$ $n$ ${\displaystyle [n]^{+))$ $*nn$ $n$

V tomto článku (nebo někdy ) odkazuje na symetrie pravidelného -gon. $\mathrm {D} _{n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$

Definice

Prvky

Pravidelný úhelník má různé symetrie: rotace a axiální odrazy , tvořící dihedrální skupinu . Pokud je lichá, každá osa symetrie prochází středem jedné ze stran a protilehlým vrcholem. Jsou-li sudé, existují osy symetrie spojující středy protilehlých stran a osy spojující opačné vrcholy. V každém případě jsou ve skupině souměrností osy symetrie a prvky. Odraz kolem jedné osy a poté kolem druhé má za následek rotaci o dvojnásobný úhel mezi osami. Níže uvedené obrázky ukazují vliv prvku na dopravní značku Stop : $n$ $2n$ $n$ $n$ $\mathrm {D} _{n}$ $n$ $n$ $n/2$ $n/2$ $n$ $2n$ $\mathrm {D} _{8}$

První řádek ukazuje osm otočení a druhý řádek osm odrazů.

Struktura skupiny

Jako u každého jiného geometrického objektu bude složení dvou symetrií pravidelného mnohoúhelníku opět symetrií. Tak symetrie pravidelného mnohoúhelníku tvoří konečnou grupu .

Cayleyova tabulka ukazuje výsledky složení ve skupině symetrie rovnostranného trojúhelníku . označuje transformaci identity a označuje rotaci proti směru hodinových ručiček o respektive stupně , , a označuje odrazy kolem os znázorněných na obrázku vpravo. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3))$ $\mathrm {R} _{0}$ $\mathrm {R} _{1}$ $\mathrm {R} _{2}$ $120$ $240$ $\mathrm {S} _{0}$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$

	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$
$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$
$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{1}$
$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$
$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$
$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{2}$	$\mathrm {S} _{1}$	$\mathrm {S} _{0}$	$\mathrm {R} _{2}$	$\mathrm {R} _{1}$	$\mathrm {R} _{0}$

Například od použití postupných odrazů a dává rotaci o . Všimněte si, že kompozice není komutativní operace . ${\displaystyle \mathrm {S} _{2}\mathrm {S} _{1}=\mathrm {R} _{1))$ $\mathrm {S} _{1}$ $\mathrm {S} _{2}$ $120^{\circ }$

V obecném případě skupina obsahuje prvky a jako operace má složení, které je dáno vzorci: $\mathrm {D} _{n}$ ${\displaystyle \mathrm {R} _{0},\tečky \mathrm {R} _{n-1))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{0},\tečky \mathrm {S} _{n-1))$

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {S} _{ij))

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {R} _{ij))

Ve všech případech musí být sčítání a odečítání indexů provedeno pomocí modulo zbytků . $n$

Maticová reprezentace

Umístíme-li střed pravidelného mnohoúhelníku do počátku, prvky dihedrální skupiny se stanou lineárními zobrazeními roviny . To umožňuje, aby byly prvky reprezentovány jako skupina matic , s násobením matice jako operací kompozice. Taková reprezentace je příkladem -rozměrné reprezentace skupiny . $\mathrm {D} _{n}$ $2$

Vezměme si prvky skupiny jako příklad . Mohou být reprezentovány jako následující matice: ${\displaystyle \mathrm {D} _{4))$ $osm$

{\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0,2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0,2em]-1&0\end{smallmatrix}} {\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix)){\bigr )},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix }-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\ konec{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}

Obecně mají matice pro prvky následující tvar: $\mathrm {D} _{n}$

{\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n))&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Zde je matice rotace proti směru hodinových ručiček o úhel a je to odraz kolem osy tvořící úhel s osou úsečky . ${\displaystyle \mathrm {R} _{k))$ ${\frac {2\pi k}{n))$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{k))$ ${\frac {\pi k}{n))$

Malé dihedrální skupiny

Protože dostáváme . Tato notace se používá zřídka, kromě označení dalších skupin v sekvenci, protože skupina je ekvivalentní . $n=1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

Získáme totiž — čtyřnásobnou Kleinovu skupinu . $n=2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Oba případy jsou výjimkou v sérii:

Oni jsou abelian , zatímco pro všechny ostatní skupina není abelian. $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$
Nejsou to podskupiny symetrické skupiny, protože pro tyto . $\mathrm {S} _{n}$ $2n>n!$ $n$

Cyklický graf dihedrálních skupin se skládá z jednoho cyklu délky a cyklů délky . Tmavé vrcholy níže uvedeného grafu cyklu ukazují transformaci identity, bílé vrcholy znázorňují zbývající prvky skupiny. Cyklus se skládá z postupných stupňů zbývajících prvků. $n$ $n$ $2$


Dih 1	Dih 2	Dih 3	Dih 4	Dih 5	Dih 6	Dih 7

Dihedrální skupina jako skupina symetrie ve 2D a skupina rotace ve 3D

Příkladem abstraktní grupy Dih n a běžného způsobu grafického znázornění je grupa D n rovinných izometrií , které neposouvají počátek. Tyto skupiny tvoří jednu ze dvou sérií skupin jednotlivých bodů v rovině . Dn se skládá z n rotací o úhel dělitelný 360°/ n kolem počátku a odrazů kolem n os procházejících středem souřadnic a úhlu k ostatním osám dělitelným 180°/ n . Tyto body představují grupu symetrie pravidelného mnohoúhelníku s n stranami (pro n ≥ 3).

Dihedrální grupa Dn je generována rotací r řádu n a odrazem s řádu 2 tak, že

{\displaystyle srs=r^{-1))

Z hlediska geometrie: zrcadlový obraz rotace vypadá jako obrácená rotace.

Z hlediska komplexních čísel : násobení a konjugace. $e^{{2\pi i \over n}}$

Z hlediska matic: dané

r_{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[8pt]\sin {2\pi \over n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

a definování a pro můžeme napsat pravidla pro tvorbu D n as $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Porovnejte rotační matici .)

Dihedrální grupa D 2 je generována rotací r o 180 stupňů a symetrií s kolem osy X. Prvky D 2 mohou být reprezentovány jako { e , r , s , rs }, kde e je identita transformace a rs je symetrie kolem osy Y.

D 2 je izomorfní ke Kleinově čtyřskupině .

Pro n >2 nejsou operace rotace a odrazu kolem přímky komutativní a Dn není abelovské. Například v D 4 otočení o 90 stupňů a následné převrácení poskytuje velmi odlišný výsledek než převrácení a následné otočení.

Spolu se zřejmými aplikacemi na problémy symetrie v rovině tedy tyto grupy slouží jako nejjednodušší příklady neabelovských grup a často se používají jako protipříklady k teorémům omezeným na abelovské grupy.

2 n prvků Dn lze zapsat jako e , r , r 2 , …, r n −1 , s , rs , r 2 s , …, r n −1 s . Prvních n uvedených prvků jsou rotace, zbývajících n jsou odrazy kolem os (všechny mají pořadí 2). Výsledkem dvou rotací nebo dvou odrazů bude rotace Výsledkem rotace a odrazu bude odraz.

Zjistili jsme tedy, že Dn je podskupina O(2 ) .

Označení D n se však používá pro podgrupy SO(3) , které jsou také skupinami typu Dih n : grupa symetrie mnohoúhelníku vloženého do trojrozměrného prostoru (pokud n ≥ 3). Takové obrazce lze chápat jako degenerovaná tělesa (odtud název dihedron ( dihedron').

Příklady symetrie dvourozměrných dihedrů

2D D 6 - (zamítnutý symbol) Rudá Davidova hvězda
2D D 24 - Ashoka Chakra - symbol na vlajce Indie .

Ekvivalentní definice

Následující definice jsou ekvivalentní: $\mathrm {Dih} _{n}$

Skupina automorfismu grafu sestávající pouze z cyklu s vrcholy (if ). $n$ $n\geqslant 3$
Skupina s výhledem

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

nebo

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

Z druhého znázornění vyplývá, že patří do třídy skupin Coxeter .

\mathrm {Dih} _{n}

Vlastnosti

Vlastnosti dihedrálních grup s závisí na paritě . Například střed skupiny tvoří pouze identita pro liché a dva prvky pro sudé, a to identita a . Pro lichá čísla je abstraktní grupa izomorfní s přímým součinem a . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n$ $r^{n{/2}$ $n$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $\mathrm {Z} _{2}$

Jestliže dělí , pak má podskupiny formuláře a jednu podskupinu . Celkový počet podgrup skupiny ( ) je tedy roven , kde je počet přirozených dělitelů a je součtem přirozených dělitelů . $m$ $n$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n/m$ $\mathrm {Dih} _{m}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{m))$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma } (n)$ $\mathrm {d} (n)$ $n$ $\mathrm {\sigma } (n)$ $n$

Konjugace tříd reflexe

Všechny odrazy jsou párově konjugované v případě lichého , ale spadají do dvou konjugačních tříd pro sudé . Pokud jde o izomorfismus pravidelných -úhelníků: pro liché se jakýkoli odraz získá od kteréhokoli jiného použitím rotace, zatímco pro sudé může být z nějakého odrazu rotací získána pouze polovina odrazů. Z geometrického hlediska v lichém úhelníku každá osa symetrie prochází jedním z vrcholů a středem protější strany a v sudém úhelníku jsou dvě množiny os, z nichž každá odpovídá své třídě konjugace. - osy procházející vrcholy a osy procházející středy stran. $n$ $n$ $n$ $n$ $n$

Algebraicky se jedná o zástupce konjugovaných prvků ze Sylowovy věty : pro liché , jakýkoli odraz spolu s identickým prvkem tvoří podgrupu řádu , což je Sylow 2-podgrupa ( je maximální mocnina dvojího dělení ), zatímco pro sudý , tyto podskupiny -tého řádu nejsou Sylow , protože (největší mocnina dvou) rozděluje řád skupiny. $n$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $n$ $2$ $čtyři$

Pro sudé existuje místo toho vnější automorfismus , který zaměňuje dva typy odrazů. $n$

Skupiny automorfismu

Automorfismus grupy Dih n je izomorfní s afinní grupou Aff(Z/nZ) a má řád , kde je Eulerova funkce rovna počtu přirozených čísel menším než n a relativně prvočíslo. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\phi$

To lze chápat jako generátor odrazu a elementární rotace (rotace na , pro k coprime s n ). Který automorfismus je vnitřní a který vnější závisí na paritě n . $k(2\pi /n)$

Pro liché n nemá dihedrální skupina žádný střed, takže jakýkoli prvek definuje netriviální vnitřní automorfismus. Pro sudé n je rotace o 180° (odraz kolem středu souřadnic) netriviálním prvkem středu.
Pro liché n má tedy vnitřní skupina automorfismu řád 2 n a pro sudé n má řád n.
Pro liché n jsou všechny odrazy konjugované, protože sudé spadají do dvou tříd (ty, které procházejí dvěma vrcholy a ty, které procházejí středy stran), a tyto dvě třídy jsou spojeny s vnějším automorfismem, který může být znázorněno jako otočení o (polovina úhlu minimálního natočení). $\pi /n$
Rotace dávají normální podskupinu. Konjugace odrazu obrátí znaménko (směr) rotace, ale jinak zůstává nezměněna. Automorfismus násobící úhly k (společné s n ) je vnější, pokud $k=\pm1.$

Příklady skupinových automorfismů

Dih 9 má 18 vnitřních automorfismů . Jako 2D izometrická skupina má D 9 odrazy ve 20° intervalech. 18 vnitřních automorfismů poskytuje rotace odrazů o násobek 20° a odrazy. Jako izometrické grupy jsou všechny automorfismy. Kromě toho existuje 36 vnějších automorfismů , například násobení úhlu rotace 2.

Zobecnění

Existuje několik důležitých zobecnění dihedrálních skupin:

Nekonečná dihedrální grupa je nekonečná grupa s algebraickou strukturou podobnou té, kterou mají konečné dihedrální grupy. To může být myšlenka jako skupina symetrie celých čísel .
Ortogonální grupa O (2), tedy kruhová symetrická grupa , má vlastnosti podobné vlastnostem konečných dihedrálních grup.
Rodina zobecněných dihedrálních skupin zahrnuje výše uvedená rozšíření, stejně jako mnoho dalších.
Kvaziedrické grupy jsou rodinou konečných grup s vlastnostmi podobnými vlastnostem konečných dihedrálních grup.

Viz také

Poznámky

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstraktní algebra (neurčitá) . — 3. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Odkazy

Dihedral Group n of Order 2n od Shawna Dudzika, Wolfram Demonstrations Project .
Dihedral group ve společnosti Groupprops
Miller W., Skupiny symetrie a jejich aplikace. Academic Press, 1972.
Patterns of Symmetry = Patterns of Symmetry / Ed. M. Seneschal, J. Fleck. — M .: Mir, 1980. — 271 s.
Aminov L. K. Teorie symetrie (poznámky a problémy z přednášky). - M .: Mn-t počítačového výzkumu, 2002. - 192 s.
Weil G. Symetrie = Symetrie. — M .: Nauka, 1968. — 152 s.
Wigner E. Etudy o symetrii = symetrie a úvahy: vědecké eseje. — M .: Mir, 1971. — 320 s.
Golod P. I., Klimyk A. U. Mathematical foundations of the theory of symetries = Mathematical foundations of the theory of symetrie. - Iževsk: RHD, 2001. - 528 s.
Poklonsky N. A. Skupiny symetrie bodů: Proc. Příspěvek - Minsk: BGU, 2003. - ISBN 985-445-965-9
Smirnov E. Yu. Odrazové skupiny a pravidelné mnohostěny. — M.: MTsNMO, 2009. — 48 s. — ISBN 978-5-94057-525-2
Flurry R. Skupiny symetrie: Teorie a chemické aplikace. — M .: Mir, 1983. — 400 s.