Orbifold

Orbifold , nebo orbifold , - neformálně řečeno, toto je varieta se singularitami , které vypadají jako faktor euklidovského prostoru konečnou grupou.

Jeden z předmětů studia algebraické topologie , algebraické a diferenciální geometrie, teorie singularity .

Orbifold a manifold (porovnání definic)

Orbifold je definován jako Hausdorffův topologický prostor (nazývaný základní prostor orbifoldu) a význačný soubor otevřených mapování (tzv . atlas ) tak, že obrazy tvoří pokrytí prostoru . $X$ $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\subset \mathbb{R} ^{n}\to X$ $\varphi _{\alpha } (U_{\alpha })$ $X$

Atlas musí splňovat určitý soubor vlastností, které neformálně popisujeme.

Na rozdíl od variet nejsou mapy homeomorfismy, ale pro každou mapu existuje konečná skupina , která působí a mapuje sama sebe. Také pro orbifoldy mezi grafy existují srovnávací homeomorfismy, ale na rozdíl od odrůd nejsou jedinečné a jsou do sebe překládány působením odpovídajících skupin. $\varphi _{\alpha }$ $\Gamma _{\alpha }$ $\mathbb {R} ^{n}$ $U$

Poznámka

Riemannovu orbifold lze definovat velmi stručně, totiž jako prostor lokálně izometrický k faktoru Riemannovy variety s ohledem na konečnou izometrickou grupu . Na základě této definice lze vytvořit definici orbifoldu bez metriky. [jeden]

Příklady

Pár různý s akcí jednotlivé skupiny diffeomorphism definuje orbifold se základním prostorem . $M$ $\Gamma$ $M/\Gamma$
- Takové orbifoldy se nazývají dobré , pokud taková reprezentace neexistuje, pak se orbifold nazývá špatný .
Příklady orbifolds s dvourozměrnou koulí jako předmětový prostor lze získat zadáním dvou map , a pro přirozená čísla a . ${\mathbb S}^{2}={\hat {\mathbb C))$ $f,\;g\dvojtečka {\mathbb C}\to {\hat {\mathbb C))$ $f(z)=z^{m}$ $g(z)=1/z^{n}$ $m$ $n$
- Tato orbifold je dobrá tehdy a jen tehdy, když . $n=m$

Historie

Orbifoldy byly poprvé zvažovány Satakem který nazval V - manifoldy Termín „orbifold“ ( anglicky orbifold ) zavedl později Thurston .

Oba definovali orbifold jako různý akční faktor skupiny (v moderní terminologii definovali „dobré orbifoldy“). Později André Hafliger dal obecnější definici v podmínkách grupoidů , což je standardní moderní definice.

Poznámky

↑ arXiv : 1801.03472

Literatura

Arnold, V. I. Zvláštnosti žíravin a vlnoploch. — M.: FAZIS, 1996. — 334 s. - ISBN 978-5-7036-0021-4 .
Kaku, Michio. Úvod do teorie superstrun / per. z angličtiny. G. E. Arutyunova, A. D. Popova, S. V. Chudová; vyd. I. Ya Arefieva. — M .: Mir , 1999. — 624 s. — ISBN 5-03-002518-9 .
Ketov, S. V. Úvod do kvantové teorie strun a superstrun. - Novosibirsk: Nauka, 1990. - 368 s. — ISBN 5-02-029660-0 .
Scott P. Geometrie na trojrozměrných varietách. — M.: Mir, 1986.
Dixon L., Harwey JA, Vafa C., Witten E. Struny na orbifoldech // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.