Teorie katastrofy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. července 2020; kontroly vyžadují 18 úprav .

Teorie katastrof je odvětví matematiky , které zahrnuje teorii bifurkací diferenciálních rovnic ( dynamické systémy ) a teorii singularit hladkých zobrazení. Teorie katastrof je odvětvím moderní matematiky, která je dalším rozvojem teorie stability a bifurkací.

Pojmy „katastrofa“ a „teorie katastrofy“ zavedli Rene Thom a Christopher Zieman na konci 60. a na začátku 70. let 20. století („katastrofa“ v tomto kontextu znamená prudkou kvalitativní změnu objektu s plynulou kvantitativní změnou parametrů, na kterých záleží) [1] [2] .

Teorie katastrof našla četné aplikace v různých oblastech aplikované matematiky, fyziky, stejně jako v ekonomii a politologii .

Na technických univerzitách se studuje teorie stability, která je základem teorie katastrof. Metody teorie stability se používají v teorii automatického řízení, modelování dynamických systémů, elektrotechnice, biologii a kognitivních vědách.

Historie

První zásadní výsledky v oblasti dynamických systémů související s teorií katastrof mají na svědomí Henri Poincare (metoda normálních forem v teorii diferenciálních rovnic) a Alexander Andronov starší (bifurkace dynamických systémů). Základy teorie singularit hladkých zobrazení byly položeny především v pracích amerického topologa Hasslera Whitneyho ve 40. a 50. letech 20. století, kterým předcházelo Morseovo lemma o normální formě funkce v okolí nedegenerovaného kritického bodu.

Koncem 60. let se vývoj tohoto směru chopil Rene Thom . Myšlenky Whitney a Thoma si však získaly oblibu díky několika publikacím Ziemana ze 70. let, který aktivně propagoval teorii katastrof, porovnával její význam s vynálezem kalkulu a mluvil o „revoluci v matematice“. Rychlý rozvoj teorie katastrof v 70. - 90. letech 20. století je spojen s aktivitami Michaela Boardmana , Egberta Brieskorna , Jamese JW Bruce , Johna Mathera , Bernarda .fr(Malgrange Bernard Malgrange ), Rene Thomase, Terryho Walla , Christophera Zimana a především Vladimira Arnold a jeho studenti ( Ilja Bogajevskij , Alexander Varčenko , Viktor Vasiliev , Alexander Givental , Viktor Gorjunov , Sabir Hussein-Zade , Vladimir Zakalyukin , Maxim Kazaryan , Vjačeslav Sedykh ).

Sedm základních katastrof od Toma

Teorie katastrof analyzuje kritické body (zkoušky) potenciální funkce, tedy body, kde nejen první derivace funkce je rovna nule, ale i derivace vyššího řádu jsou rovny nule. Dynamiku vývoje takových bodů lze studovat rozšířením potenciální funkce v Taylorových řadách prostřednictvím malých změn ve vstupních parametrech. Pokud body růstu netvoří pouze náhodný vzorec, ale tvoří strukturovanou oblast stability, existují tyto body jako organizační centra pro speciální geometrické struktury s nízkou úrovní katastrofy, s vysokou úrovní katastrofy v okolních oblastech fázového prostoru. Pokud potenciální funkce závisí na třech nebo méně aktivních proměnných a pěti nebo méně aktivních parametrech, pak v tomto případě existuje pouze sedm zobecněných struktur popsaných bifurkačních geometrií, kterým lze přiřadit standardní formy expanzí v Taylorových řadách, do kterých se zkoušky lze rozšířit pomocí difeomorfismu (hladká transformace, jejíž obrácení je také hladké). Dnes je těchto sedm základních typů katastrof znám pod jmény, která jim dal René Thom.

Potenciální funkce s jednou aktivní proměnnou

Skládací katastrofa

Stabilní a nestabilní části extrému mizí v případě bifurkace typu záhybu:

V = x^3 + ax

Pro záporné hodnoty parametru má potenciální funkce dva extrémy - jeden stabilní (stabilní rovnováha) a jeden nestabilní (nestabilní rovnováha). Pokud se parametr mění pomalu, systém může být na stabilním minimálním bodu. Ale pokud , stabilní a nestabilní extrémy se setkají a zničí. Toto je bod rozdvojení. Pro , neexistuje žádné stabilní řešení. $A$ $A$ $a=0$ $a>0$

Pokud fyzický systém prochází bodem bifurkace typu skládání, a proto parametr prochází nulou, stabilita řešení at se ztratí a systém může náhle přejít do nového, velmi odlišného stavu od předchozího. Tato hodnota parametru bifurkace se někdy nazývá „bod fixace“. $A$ $a<0$ $A$

Ukázkový kód v Pythonu

čas importu import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.animation as animation import numpy jako np z matplotlib import styl styl . use ( 'ggplot' ) fig = plt . obrázek () ax1 = obr . add_subplot ( 1 , 1 , 1 ) values = [ - 6.0 , - 5.0 , - 4.0 , - 3.0 , - 2.0 , - 1.0 , 0.0 , 1.0 ] bodů = [[ - 6 , - 3 ], [ - 5 , - 2,5 ], [ - 4 , - 2 ], [ - 3 , - 1,5 ], [ - 2 , - 1,0 ], [ - 1 , - 0,5 ], [ 0 , 0 ], [ 1 , 0,5 ], [ 2 , 1.0 ], [ 3 , 1.5 ], [ 4 , 2.0 ], [ 5 , 2.5 ], [ 6 , 3 ]] def calc_fold_data ( x , a ): x3 = np . mocnina ( x , 3 ) výsledek = x3 + ( a * x ) vrátit výsledek def animate ( index ): if index == len ( hodnoty ): čas . spánek ( 3 ) odchod ( ) hodnota = hodnoty [ index ] xar = [] yar = [] pro bod v bodech : x = calc_fold_data ( bod [ 0 ], hodnota ) y = calc_fold_data ( bod [ 1 ], hodnota ) tisk ( "Y: {} X: {} " . formát ( x , y )) xar . připojit ( x ) rok . připojit ( y ) ax1 . jasné () plt . title ( "Hodnota: {} " . formát ( hodnota )) plt . rozptyl ( 0 , 0 ) ax1 . spiknutí ( xar , yar ) ani = animace . FuncAnimation ( obr , animace , interval = 1000 ) plt . ukázat ()

Montážní katastrofa

$V = x^4 + ax^2 + bx$

Opětovné sestavení diagramu katastrofy s vrcholem zobrazujícím křivky (hnědé, červené) pro proměnnou x splňující výraz pro parametry ( a , b ), křivky zobrazené pro plynule se měnící parametr b při různých hodnotách parametru a . Mimo vrcholový lokus (modrá oblast) existuje pro každý bod ( a , b ) ve fázovém prostoru pouze jedna extrémní hodnota x . Uvnitř hrotů jsou dvě odlišné hodnoty x , které dávají lokální minima funkce V ( x ) pro každý pár ( a , b ). V tomto případě jsou tyto hodnoty odděleny lokálním maximem.

Vidlicová bifurkace v a = 0 v prostoru b = 0. Tvar hrotů ve fázovém prostoru ( a , b ) blízko bodu katastrofy, ukazující lokus konvolučních bifurkací, které oddělují oblast se dvěma stabilními řešeními a oblast s jedním rozhodnutím . Geometrie vrcholových bodů je zcela běžná při studiu toho, co se stane s konvolučními bifurkacemi, když je do řídicího prostoru přidán nový parametr b. Změnou parametrů lze zjistit, že existuje křivka (modrá) bodů v prostoru ( a , b ), na které se ztrácí stabilita, čili na této křivce může najednou stabilní řešení „skočit“ k alternativě hodnota (také stabilní).

V geometrii vrcholových bodů se však bifurkační křivka otočí zpět a vytvoří druhou větev, na které toto druhé řešení již ztrácí stabilitu, a proto může udělat „skok“ zpět k původní množině řešení. Opakovaným zvyšováním hodnoty parametru b a jejím následným snižováním lze pozorovat hysterezi v chování smyček, kdy systém následuje jedno řešení, "přeskočí" na druhé, následuje ho a "skočí" zpět na původní.

To je však možné pouze v oblasti v parametrickém prostoru s < 0. Pokud se hodnota parametru a zvyšuje, hysterezní smyčky se zmenšují a zmenšují, dokud hodnota a nedosáhne 0. V tomto okamžiku smyčky zmizí (tj. vrcholová katastrofa) a pouze jedno stabilní řešení.

Můžete také zvážit proces změny parametru a při zachování hodnoty b beze změny . V symetrickém případě při b = 0 lze pozorovat bifurkaci typu „fork“ s klesající hodnotou parametru a, jedno stabilní řešení se najednou rozdělí na dvě stabilní řešení a jedno nestabilní. V tomto okamžiku přechází fyzický systém do oblasti a < 0 přes vrchol ( a = 0, b = 0) (toto je příklad spontánního porušení symetrie). Daleko od vrcholu nedochází k žádným náhlým změnám ve fyzickém systému, protože při průchodu podél konvoluční bifurkační křivky se stane to, že je k dispozici druhé alternativní řešení.

Jedním z nejzajímavějších návrhů pro použití nárazu hrotu je, že tento typ nárazu lze použít k modelování chování psa, který se může vyděsit nebo rozzlobit v reakci na vnější podnět. Předpokládá se, že při střední expozici ( a > 0) bude pes vykazovat postupnou změnu v reakci od strachu k hněvu v závislosti na tom, jak byla expozice aplikována. Vyšší mírou expozice je však stres odpovídající přechodu do oblasti a < 0. V tomto případě, pokud byl pes zpočátku vystrašený, zůstane vystrašený se zvýšením úrovně stimulace, dokud nakonec nedosáhne bodu návrat, kde dojde ke spontánnímu přechodu do zlého režimu. Při vstupu do tohoto režimu zůstane pes zahořklý, i když se jeho expozice postupně snižuje.

Dalším příkladem aplikované aplikace vrcholové katastrofy je modelování chování elektronu při pohybu z jedné energetické hladiny na druhou, což je často pozorováno v chemických a biologických systémech. To naznačuje, že bifurkace uvažovaného typu a geometrie vrcholových bodů jsou nejdůležitější praktickou částí teorie katastrof. Toto jsou vzory, které se znovu a znovu objevují ve fyzice, inženýrství a matematickém modelování.

Zbývající jednoduché geometrie katastrof jsou specializovanější než ta, která byla právě uvažována, a proto se objevují pouze v některých jednotlivých případech.

Rybinová katastrofa

$V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx$

Řídicí prostor v tomto typu katastrofy je trojrozměrný. Kaskáda bifurkací ve fázovém prostoru se skládá ze tří ploch bifurkací typu „fold“, které se stýkají na dvou křivkách bifurkací s hroty, které se nakonec setkávají v jednom bodě, což je bifurkace typu „rybinový“.

Jak hodnoty parametrů procházejí po plochách oblastí bifurkací typu „fold“, jedno minimum a jedno maximum potenciální funkce zmizí. V oblasti bifurkací s vrcholem jsou dvě minima a jedno maximum nahrazeno jedním minimem; za nimi mizí bifurkace typu „fold“. V bodě vlaštovky se setkávají dvě minima a dvě maxima ve stejné hodnotě proměnné x . Pro hodnoty a > 0 je buď jeden pár (minimum, maximum) za vlaštovičníkem, nebo neexistují žádné bifurkace. Záleží na hodnotách parametrů b a c . Dvě bifurkační plochy typu "fold" a dvě linie bifurkací s vrcholovými body se setkávají v a < 0, a proto mizí v samém bodě vlaštovičníku a jsou nahrazeny jednou plochou bifurkací typu "fold". Nejnovější obraz Salvadora Dalího , The Swallow's Tail, byl inspirován tímto typem katastrofy.

Motýlí katastrofa

$V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx$

V závislosti na hodnotách parametrů může mít potenciální funkce tři, dvě nebo jedno lokální minimum a všechna minima jsou oddělena oblastmi s „fold“ bifurkacemi. V bodě s poetickým názvem „motýl“ jsou tři různé prostory (trojrozměrné roviny) takovýchto rozdvojení typu „záhyb“, dvě plochy rozvětvení s hroty a rozdvojená křivka typu „rybinový“. Všechny tyto bifurkace mizí v jednom bodě a jsou transformovány do jednoduché struktury s vrcholem, když hodnota parametru a bude kladná.

Potenciální funkce se dvěma aktivními proměnnými

Pupeční katastrofy jsou příklady katastrof druhého řádu. Lze je například pozorovat v optice, když se světlo odráží od trojrozměrných povrchů. Samy o sobě takové katastrofy úzce souvisejí s geometrií téměř kulových ploch. René Thom navrhl považovat hyperbolickou pupeční katastrofu za zničení vlny a eliptickou pupeční katastrofu za proces vytváření struktur podobných vlasové linii.

Hyperbolické pupky

$V = x^3 + y^3 + axy + bx + cy$

Eliptický pupek

$V = x^3/3 - xy^2 + a(x^2 + y^2) + bx + cy$

Parabolická pupeční

$V = yx^2 + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy$

Záznam a klasifikace katastrof podle Arnolda

V. I. Arnold navrhl klasifikaci katastrof „ ADE-klasifikace “, využívající hluboké souvislosti s teorií Lieových grup .

A 0 je nesingulární bod: . $V=x$
A 1 - lokální extrém : stabilní minimum nebo nestabilní maximum . $V = \pm x^2 + ax$
A 2 - záhyb
A 3 - montáž
A 4 - rybina
A 5 - motýl
A k je nekonečná posloupnost forem z jedné proměnné $V=x^{k+1}+\cdots$
D 4 + - peněženka = hyperbolický pupek
D 4 - - pyramida = elipsovitá pupečníková
D 5 - parabolická pupeční
D k je nekonečná posloupnost dalších pupečníků
E 6 - symbolická pupečníková $V=x^3+y^4+axy^2+bxy+cx+dy$
E 7
E 8

V teorii singularity existují objekty, které odpovídají většině ostatních jednoduchých Lieových grup.

Aplikace teorie katastrof

Vznik a rozvoj této části matematické analýzy souvisel s širokými možnostmi vizuální analýzy některých složitých jevů, zejména těch, které se vyskytují při popisu široké škály přírodních jevů, které berou v úvahu i nespojité funkce, pro které aparát matematického analýza není vhodná ( duha , žíravina , ztrátová stabilita struktur, oscilace a destrukce ve stavební mechanice, chování v etologii , astrofyzice, bifurkační nestabilita atomové mřížky, spontánní řád v biochemických reakcích, populační dynamika, hydrodynamická nestabilita a výskyt turbulencí , chaotická dynamika podivného atraktoru).

Viz také

Journal of the Singularities

Poznámky

↑ Termín katastrofa zavedl Tom pro označení kvalitativní změny objektu s plynulou změnou parametrů, na kterých závisí. Tento termín, nahrazující dříve používané termíny bifurkace , restrukturalizace , metamorfóza , získal širokou oblibu poté, co Zeeman [121] navrhl používat název teorie katastrof ke spojení teorie singularit, teorie bifurkací a jejich aplikací. V. I. Arnold . Teorie katastrofy .
↑ Z podnětu R. Thomase se místo rozpolcenosti mluví o „katastrofách“. Tato slova by se neměla brát doslova. Uvedu příklady, které byly opravdu vážně uvažovány v pracích na „teorii katastrof“: pokud je narušena stabilita elastické struktury, pak je to s největší pravděpodobností katastrofa, ale pokud sluneční paprsky, lámající se ve vodě, tvoří jasné čáry při dno potoka, toho se snad nikdo netrápí, snad kromě dětí, které to vidí poprvé. <...> Je-li katastrofa synonymem pro rozdvojení, pak se lze ptát, který termín je vhodnější. Jak je zřejmé z řečeného, ani jedno ani druhé nelze brát doslovně. Jenže „katastrofa“ je v běžném (literárním i hovorovém) jazyce slovo, které má určitý a navíc velmi citově zabarvený význam a o původním významu slova „rozdvojení“ ví mnohem méně lidí, a dokonce ani oni sotva jakékoli emoce s tím spojené. Pro vědu je proto vhodnější neutrální slovo „bifurkace“ a pro masové publikace „katastrofa“. [D. V. Anosov. K vývoji teorie dynamických systémů za poslední čtvrtstoletí]. Jedním z hlavních úkolů teorie katastrof je získání tzv. normálního tvaru studovaného objektu (diferenciální rovnice nebo mapování) v blízkosti „bodu katastrofy“ a klasifikace objektů na tomto základě postavená.

Literatura

V ruštině

Arnold V. I. Teorie katastrof / Rec.: A. V. Chernavsky . - 3. vyd., dodat. — M .: Nauka . Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1990. - 128 s. - 84 000 výtisků. — ISBN 5-02-014271-9 .
V. I. Arnold . Teorie katastrof.
V. I. Arnold . Singularity ve variačním počtu.
V. I. Arnold, V. S. Afraimovič, Yu. S. Iljašenko, L. P. Shilnikov Teorie bifurkací.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Zvláštnosti. I. Lokální a globální teorie.
V. I. Arnold, V. A. Vasiliev, V. V. Goryunov, O. V. Lyashko Zvláštnosti. II. Klasifikace a aplikace.
A. B. Givental . Singulární Lagrangiánské variety a jejich Lagrangiánské zobrazení.
V. M. Zakalyukin . Přestavby čel, kaustiky v závislosti na parametru, všestrannost zobrazení.
Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularity diferencovatelných zobrazení, — Libovolné vydání.
Arnold V. I. Vlastnosti žíravin a vlnových čel, - M.: Fazis, 1996.
Brecker T., Lander L. Diferencovatelné zárodky a katastrofy, - Libovolné vydání.
Golubitsky M., Guillemin V. Stabilní zobrazení a jejich singularity, - M.: Mir, 1977.
Poston T., Stuart I. Teorie katastrof a její aplikace, - M.: Mir, 1980.
Tom R. Strukturní stabilita a morfogeneze, - M.: Logos, 2002.
Brus J., Jiblin P. Křivky a singularity: Geometrický úvod do teorie singularit, - M.: Mir, 1988.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Úvod do teorie singularity . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

V angličtině

Arnold, Vladimír Igorevič. Teorie katastrof, 3. vydání. Berlín: Springer-Verlag, 1992.
Gilmore, Roberte. Teorie katastrofy pro vědce a inženýry. New York: Dover, 1993.
Postle, Denis. Teorie katastrof – Předvídejte a vyhýbejte se osobním katastrofám. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
Poston, Tim a Stewart, Ian. Teorie katastrof a její aplikace. Londýn, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
Poston, T. a Stewart, Ian. Katastrofa: Teorie a její aplikace. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Sanns, Werner. Teorie katastrof s Mathematica: Geometrický přístup. Německo: DAV, 2000.
Saunders, Peter Timothy. Úvod do teorie katastrof. Cambridge, Anglie: Cambridge University Press, 1980.
Thom, Rene. Strukturální stabilita a morfogeneze: Nástin obecné teorie modelů. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Thompson, J. Michael T. Nestability and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
Woodcock, Alexander Edward Richard a Davis, Monte. teorie katastrof. New York: E. P. Dutton, 1978.
Zeeman, EC Catastrophe Theory-Selected Papers 1972-1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Odkazy

V ruštině

D. V. ANOSOV K vývoji teorie dynamických systémů za poslední čtvrtstoletí.

V angličtině

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online) Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	NDL : 00576387 NKC : ph195834