Bifurkační teorie

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. května 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Teorie bifurkací dynamických systémů je teorií, která studuje změny v kvalitativním obrazu rozdělení fázového prostoru v závislosti na změně parametru (nebo několika parametrů).

Přehled

Bifurkace je kvalitativní změna v chování dynamického systému s nekonečně malou změnou jeho parametrů.

Ústředním konceptem teorie bifurkace je koncept (ne)hrubého systému (viz níže). Vezme se jakýkoli dynamický systém a považuje se taková (multi)parametrická rodina dynamických systémů, že původní systém se získá jako speciální případ — pro jakoukoli jednu hodnotu parametru (parametrů). Pokud je při hodnotě parametrů dostatečně blízkých dané hodnotě zachován kvalitativní obraz rozdělení fázového prostoru na trajektorie, pak se takový systém nazývá hrubý . V opačném případě, pokud takové okolí neexistuje, pak se systém nazývá nehrubý .

Zde máme na mysli především plodnou fyzikální a matematickou myšlenku A.A. Andronov o hrubých systémech, které vyvinul za účasti L.S. Pontryagina . Hrubý systém je takový, jehož kvalitativní charakter pohybu se nemění při dostatečně malé změně parametrů. Konzervativní systémy nejsou drsné: oscilace ideálního kyvadla bez tření jsou periodické (nerozpadají se); ale není zde žádná periodicita v přítomnosti libovolně malého tření. Jakýkoli generátor netlumených kmitů má charakteristické vlastnosti, které při konzervativní idealizaci nejsou zachovány, ale jsou správně reprezentovány pojmem "hrubý systém".Gorelik, 1955 [1]

V prostoru parametrů se tak objevují oblasti hrubých systémů, které jsou odděleny plochami sestávajícími z nehrubých systémů. Teorie bifurkací studuje závislost kvalitativního obrazu, když se parametr plynule mění podél určité křivky. Schéma, podle kterého se mění kvalitativní obraz, se nazývá bifurkační diagram .

Hlavními metodami teorie bifurkace jsou metody teorie poruch. Zejména se používá metoda malých parametrů (Pontryagin).

Bifurkace rovnováhy

V mechanických systémech zpravidla ustálené pohyby (polohy rovnováhy nebo relativní rovnováhy ) závisí na parametrech . Hodnoty parametrů, při kterých je pozorována změna počtu rovnováh, se nazývají jejich bifurkační hodnoty . Křivky nebo plochy zobrazující množiny rovnováh v prostoru stavů a parametrů se nazývají bifurkační křivky nebo bifurkační plochy . Průchod parametru bifurkační hodnotou je zpravidla doprovázen změnou stabilitních vlastností rovnováh. Bifurkace rovnováhy mohou být doprovázeny zrodem periodických a jiných, složitějších pohybů.

Základní pojmy

Parametr, jehož změna vede k bifurkaci, se nazývá kritický parametr (parametr bifurkace) a hodnota tohoto parametru, při které k bifurkaci dochází, se nazývá kritická hodnota .

Bod v parametrickém prostoru (prostor, ve kterém každý bod odpovídá určitému stavu systému a poloha tohoto bodu je určena hodnotami parametrů a stavových proměnných), ve kterém dochází k bifurkaci, se nazývá bifurkační bod . . Několik řešení (stabilní a nestabilní) může pocházet z bodu bifurkace. Když se kritický parametr houpe (osciluje) kolem kritického bodu, dochází k hysterezi (nejednoznačnosti) vlastností řešení.

Bod bifurkace, od kterého jsou všechna odcházející řešení stabilní, se nazývá bod přitažlivosti (neboli atraktor ).

Reprezentace jakékoli charakteristické vlastnosti řešení jako funkce kritického parametru se nazývá bifurkační diagram .

Nejmenší počet parametrů, pod kterými dochází k bifurkaci, se nazývá kodimenze bifurkace .

Superkritický (normální, nadkritický) je rozdvojení, ve kterém se systém mění bez skoku.

Subkritická (reverzní) bifurkace je taková, při které změna v systému nastane náhle.

Sled bifurkací, které kvalitativně mění vlastnosti systému, se nazývá scénář .

Viz Literatura [2] [3] [4] [5] .

Sedlovo-uzlová bifurkace

Příklad bifurkace sedlového uzlu lze uvažovat na základě systému popsaného diferenciální rovnicí:

${\frac {dx}{dt}}=\lambda -{x^{2}}$

kde je proměnný parametr [6] . Rovnovážná řešení rovnice jsou definována pouze pro ; v rovnovážných stavech chybí. Hodnota je bifurkační. Obrázek ukazuje odpovídající bifurkační diagram. Jak je z obrázku patrné, z bodu bifurkace vycházejí dvě větve rovnovážných stavů, z nichž jedna je stabilní a druhá nestabilní. Při změně parametru ve směru rostoucích hodnot „z ničeho“ se rodí dva rovnovážné stavy, z nichž jeden je stabilní. Bifurkace tohoto druhu se označují jako "seddlový-uzel". $\lambda$ $x_{\rm {{1}{\rm {,2}}}}^{\rm {}}=\pm {\sqrt {\lambda }}$ $\lambda \geq 0$ $\lambda < 0$ $\lambda=0$ $(x=0,\;\lambda =0)$

Viz také

Literatura

↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Úvod („Život a dílo A A Andronova“ a) // Na památku Alexandra Alexandroviče Andronova / Ed. Leontovič, M.A. a další... - M. : Ed. Akademie věd SSSR, 1955. - S. 3-19. — 718 s.
↑ Chetaev N. G. Stabilita pohybu. — M .: Nauka, 1955.
↑ Andronov A. A. , Leontovič E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teorie bifurkací dynamických systémů v rovině. - M .: Nauka, 1967.
↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Metody a techniky pro kvalitativní studium dynamických systémů na rovině. - M .: Věda. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1990. - 488 s. — (Referenční matematická knihovna).
↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Pořádek v chaosu. K deterministickému přístupu k turbulenci: Per. z francouzštiny. - M. : Mir, 1991. - 368 s. — ISBN 5-03-001804-2 .
↑ Bifurkace dynamických systémů - Digiratory . digiratory.ru. Datum přístupu: 11. ledna 2017. (neurčitý)

Odkazy

Bifurkace (video)