Volná abelovská skupina

V matematice je volná abelovská grupa ( volný Z-modul ) abelovská grupa , která má základ , tedy takovou podmnožinu prvků grupy, že pro kterýkoli z jejích prvků existuje jedinečná reprezentace ve formě lineární kombinace základních prvků s celočíselnými koeficienty, z nichž pouze konečný počet je nenulový. Prvky volné abelovské grupy se základem B se také nazývají formální součty nad B . Volné abelovské grupy a formální součty se používají v algebraické topologii při definici řetězových grup a vAlgebraická geometrie v definici dělitelů .

Jako vektorové prostory jsou volné abelovské skupiny klasifikovány mohutností základu; tato mohutnost je nezávislá na výběru základu a nazývá se hodnost skupiny . [1] [2]

Příklad a protipříklad

Skupina , přímý součet dvou kopií nekonečné cyklické grupy , je volná abelovská skupina úrovně 2, protože má základ , kde a . Libovolný prvek skupiny je jednoznačně reprezentován jako jejich lineární kombinace: . Obecněji, volná abelovská skupina je jakákoli mříž v [3] ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2))$ $\mathbb {Z}$ $B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace$ $e_{1}=(1,0)$ $e_{2}=(0,1)$ $(n,m)$ $G$ $(n,m)=ne_{1}+já_{2}$ ${\mathbb R}^{n}.$
Žádná konečná abelovská grupa , kromě triviální , není volná (protože volná abelovská grupa nemá torzi ).

Formální součty

Pro libovolnou množinu můžete definovat skupinu, jejíž prvky jsou funkcemi od do množiny celých čísel, a závorky označují skutečnost, že všechny funkce nabývají nenulových hodnot maximálně na konečné množině. Sčítání funkcí je definováno bodově: s ohledem na toto sčítání tvoří volnou abelovskou grupu, jejíž báze je v korespondenci jedna ku jedné s množinou lineárníkonečná. $B$ ${\mathbb Z}^{{(B))),$ $B$ ${\mathbb Z},$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x),$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $b.$ $X$ $B$ $e_{x},$ $e_{x}(x)=1,$ $e_{x}(y)=0$ $y$ $b,$ $y\neq x.$ $F$ ${\mathbb Z}^{{(B)))$

f=\sum _{{\{x\mid f(x)\neq 0\))}f(x)e_{x}

Skupina se základem je jedinečná až do izomorfismu; jeho prvky se nazývají formální součty prvků ${\mathbb Z}^{{(B)))$ $\{e_{x}\}_{x\in B}$ $b.$

Vlastnosti

Obecná vlastnost

Volné grupy lze charakterizovat následující univerzální vlastností : funkce z množiny B do abelovské grupy F je vložení báze do této grupy, pokud pro libovolnou funkci z B do libovolné abelovské grupy A existuje jednoznačný grupový homomorfismus např . že Jako pro jakoukoli univerzální vlastnost, splňující tuto vlastnost, je objekt automaticky jedinečný až do izomorfismu, takže tuto univerzální vlastnost lze použít k prokázání, že všechny ostatní definice volné grupy se základem B jsou ekvivalentní. $b$ $G$ $G:F\to A,$ $g=G\circ b.$

Podskupiny

Věta : Nechť je volná abelovská grupa a nechť je její podgrupa . Pak je tu také volná abelovská skupina $F$ $G\podmnožina F$ $G$ .

Důkaz této věty vyžaduje axiom volby [4] . Algebra Serge Lenga poskytuje důkaz pomocí Zornova lemmatu [5] , zatímco Solomon Lefschetz a Irving Kaplansky tvrdili, že použití principu dobrého uspořádání namísto Zornova lemmatu poskytuje intuitivnější důkaz [6] .

V případě konečně generovaných skupin je důkaz jednodušší a umožňuje nám získat přesnější výsledek:

Věta : Nechť je podgrupa konečně vygenerované volné grupy . Pak je volné, existuje základ skupiny a přirozených čísel (tedy každé z čísel dělí následující), takže tvoří základ .Posloupnost navíc závisí pouze na a , nikoli však na volbě základu $G$ $F$ $G$ $(e_{1},\ldots,e_{n})$ $F$ $d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}$ $(d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})$ $G.$ $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}$ $F$ $G$ . [jeden]

Torze a dělitelnost

Všechny volné abelovské grupy jsou bez torze , to znamená, že neexistuje žádný prvek grupy x a nenulové číslo n takové, že nx = 0. Naopak každá konečně vygenerovaná abelovská grupa bez torze je volná [7] . Podobná tvrzení jsou pravdivá, nahradíme-li slova „bez torze“ slovem „ plochá skupina“: pro abelovské skupiny je plochost ekvivalentní absenci torze.

Skupina racionálních čísel je příkladem torzní abelovské grupy, která není volná. K prokázání posledního tvrzení stačí poznamenat, že grupa racionálních čísel je dělitelná , zatímco ve volné grupě nemůže být žádný z prvků báze násobkem jiného prvku [1] . $\mathbb {Q}$

Přímé částky a produkty

Jakákoli volná abelovská skupina může být popsána jako přímý součet nějaké sady kopií (ekvivalentní její hodnosti). Přímý součet libovolného počtu volných abelovských skupin je také volný; za jeho základ můžeme vzít sjednocení základů pojmů. [jeden] $\mathbb {Z}$

Přímý součin konečného počtu volných abelovských grup je také volný a je izomorfní k jejich přímému součtu. To však neplatí pro součin nekonečného počtu skupin; například skupina Baer-Specker, přímý produkt spočítatelného počtu kopií , není volný Abelian [8] [9] . Každá z jeho počitatelných podskupin je přitom volná abelovská [10] . ${\mathbb Z}^{{{\mathbb N}}},$ ${\mathbb Z},$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Volné abelovské grupy // Algebra . - Springer, 1974. - Sv. 73.—S. 70–75. — (Absolventské texty z matematiky). Archivováno 9. srpna 2014 na Wayback Machine
↑ Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. Struktura kompaktních skupin: Základní nátěr pro studenty – příručka pro odborníka . - Walter de Gruyter, 2006. - Sv. 25. - S. 640. - (De Gruyterovy studie z matematiky). — ISBN 9783110199772 . Archivováno 9. srpna 2014 na Wayback Machine
↑ Mollin, Richard A. Pokročilá teorie čísel s aplikacemi . - CRC Press, 2011. - S. 182. - ISBN 9781420083293 . Archivováno 11. srpna 2014 na Wayback MachinePokročilá teorie čísel s aplikacemi]. - CRC Press, 2011. - S. 182. - ISBN 9781420083293 .
↑ Blassi, Andreasi. Injektivita, projektivita a axiom volby // Transactions of the American Mathematical Society. - 1979. - Sv. 255.—S. 31—59. - doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 . . Příklad 7.1 poskytuje model teorie množin a nesvobodnou projektivní abelovskou grupu v tomto modelu, což je podgrupa volné abelovské grupy , kde A je množina atomů. $\left({\mathbb {Z}}^{{(A)))\right)^{n},$
↑ Lang, Serge. Algebra. - Springer-Verlag, 2002. - Sv. 211. - S. 880. - (Absolventské texty z matematiky). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Kaplansky, Irving. Teorie množin a metrické prostory . - AMS, 2001. - Sv. 298.—S. 124–125. - (AMS Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780821826942 . Archivováno 3. ledna 2014 na Wayback Machine
↑ Lee, John M. Volné abelovské skupiny // Úvod do topologických variet . — Springer. - S. 244-248. — (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 9781441979407 . Archivováno 11. srpna 2014 na Wayback Machine
↑ Griffith, Phillip A. Nekonečná abelovská teorie grup . — University of Chicago Press, 1970. — S. 1 , 111–112. — (Chicago Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-30870-7 .
↑ Baer, Reinhold. Abelovské skupiny bez prvků konečného řádu // Duke Mathematical Journal. - 1937. - Sv. 3, č. 1 . — S. 68–122. - doi : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
↑ Specker, Ernst. Aditivum Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. - 1950. - Sv. 9. - S. 131-140.