Plochý modul

Plochý modul přes R je takový modul , že násobení tenzoru tímto modulem zachovává přesné sekvence . O modulu se říká , že je přísně plochý , pokud je sekvence tenzorových produktů přesná tehdy a jen tehdy, když je přesná původní sekvence.

Vektorové prostory , volné a obecněji projektivní moduly jsou ploché. Pro definitivně generované moduly přes Noetherian rings jsou ploché moduly stejné jako projektivní moduly. U definitivně generovaných modulů přes lokální kruhy jsou všechny ploché moduly volné . [jeden]

Koncept plochého modulu zavedl Serre v roce 1955.

Definice

Lze uvést několik ekvivalentních definic plochého modulu.

O (levém) -modulu se říká, že je plochý právě tehdy, když je funktor přesný . $R$ $M$ $N\mapsto M\otimes _{R}N$
Vzhledem k tomu, že funktor tenzorového součinu je vždy správně přesný , lze předchozí požadavek zmírnit. Konkrétně, a -modul je plochý, pokud pro jakýkoli injektivní homomorfismus -modulů je indukovaná mapa také injektivní. $R$ $M$ $R$ $\phi :K\to L$ $F_{M}(\phi ):M\otimes _{R}K\to M\otimes _{R}L$
Modul je plochý, pokud pro každý konečně generovaný ideál v prstenci (s přirozeným vnořením ) je indukované mapování injektivní. $M$ $R$ $I\hookrightarrow R$ $I\otimes _{R}M\to R\otimes _{R}M\cong M$

Vlastnosti plochých modulů nad komutativním prstencem

Pro jakýkoli multiplikativní systém S kruhu R je kruh podílů S −1 R plochý R -modul.

Konečně generovaný modul je plochý právě tehdy, když je lokálně volný. Lokálně volný modul nad kruhem R je modul M takový, že jeho lokalizace vzhledem k libovolnému prvočíslu je volný modul nad kruhem podílů . $M_{\mathfrak {p))$ $R_{\mathfrak {p))$

Pokud je kruh S R - algebra , to znamená, že existuje homomorfismus , má smysl se ptát, zda je tato algebra plochý R - modul. Ukazuje se, že S je přísně plochý modul tehdy a jen tehdy, když každý prvoideál prstence R je předobrazem při působení f nějakého prvoideálu z S , to znamená, když je mapa surjektivní (viz článek Spektrum prsten ). $f:R\to S$ $f^{*}\colon \mathrm {Spec} (S)\to \mathrm {Spec} (R)$

Ploché moduly lze specifikovat v následujícím řetězci inkluzí:

Beztorzní moduly ⊃ ploché moduly ⊃ projektivní moduly ⊃ volné moduly .

Pro některé třídy prstenců platí také inverzní inkluze: například každý torzní modul nad Dedekindovým prstencem je plochý, plochý modul nad Artinovým prstencem je projektivní a projektivní modul nad hlavní ideální doménou (nebo nad místní kruh ) je zdarma.

Kategorické kolimity

Přímé součty a přímé limity plochých modulů jsou ploché. Vyplývá to ze skutečnosti, že součin tenzoru komutuje s přímými součty a přímými limity (navíc komutuje se všemi colimity ). Submoduly a podílové moduly plochého modulu nemusí být nutně ploché (například modul Z /2 Z není plochý ). Pokud je však submodul plochého modulu přímým součtem , pak je součinitel s ohledem na něj plochý.

Modul je plochý právě tehdy, když je přímým limitem konečně generovaných volných modulů. [2] Z toho zejména vyplývá, že každý definitivně prezentovaný plochý modul je projektivní.

Homologická algebra

Vlastnost "plochost" modulu může být vyjádřena funktorem Tor , levým odvozeným funktorem pro tenzorový součin. Levý R - modul M je plochý právě tehdy, když Tor n R (-, M ) = 0 pro všechny (to znamená, když Tor n R ( X , M ) = 0 pro všechny a všechny pravé R - moduly X ), definice plochého pravého modulu je podobná. Pomocí této skutečnosti lze prokázat několik vlastností krátké přesné sekvence modulů: $n\geq 1$ $n\geq 1$

0\longrightarrow A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}B{\stackrel {g}{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0

Jestliže A a C jsou ploché, pak B je ploché.
Jestliže B a C jsou ploché, pak A je ploché.

Pokud jsou A a B ploché, C není obecně ploché. nicméně

Jestliže A je přímý sčítanec modulu B a B je plochý, pak A a C jsou ploché.

Ploché rozpouštědla

Ploché rozlišení modulu M je rozlišením formuláře

… → F 2 → F 1 → F 0 → M → 0

kde všechna F i jsou plochá. Plochá rozlišení se používají při výpočtu funktoru Tor .

Délka plochého rozpouštědla je nejmenší index n , takže Fn je nenulové Fj =0 pro všechna i větší než n . Pokud modul M připouští konečné ploché rozlišení, jeho délka se nazývá plochý rozměr modulu . [3] , jinak se říká, že plochý rozměr je nekonečný. Pokud má například modul M plochý rozměr 0, pak přesnost posloupnosti 0 → F 0 → M → 0 implikuje, že M je izomorfní k F 0 , to znamená, že je plochý.

Poznámky

↑ Matsumura, 1970 , Propozice 3.G
↑ Lazard, D. (1969), Autour de la platitude , Bulletin de la Société Mathématique de France T. 97: 81–128 , < http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0 > Archivováno od 3. března 2014 na Wayback Machine
↑ Lam, 1999 , s. 183.

Literatura

Bourbaki N. Komutativní algebra. - M: Mir, 1971.
Eisenbud, David (1995), Komutativní algebra , sv. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1 ; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), Injektivní a ploché kryty, obálky a rozpouštědla , Israel J. Math. V. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích , Postgraduální texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homologie , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press
Matsumura a Hideyuki (1970), komutativní algebra
Serre, Jean-Pierre (1956), Géométrie algébrique et géométrie analytickique , Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier vol . 6: 1–42, ISSN 0373-0956 , doi : 10.5802/aif.59 , < http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0 >