Indukční limit

Induktivní limita (nebo přímá limita , colimit ) je konstrukce, která původně vznikla v teorii množin a topologii a poté našla široké uplatnění v mnoha odvětvích matematiky. Duální koncept je projektivní (nebo inverzní) limita.

Tato konstrukce umožňuje konstrukci nového objektu na základě sekvence (indexované řízenou množinou ) objektů stejného typu a množiny mapování , . Pro induktivní limitu se obvykle používá zápis $X$ $X_{i}$ $f_{ij}:X_{i}\to X_{j}$ $i\leqslant j$

X=\varinjlim X_{i}

Uvedeme definici pro algebraické struktury a poté pro objekty libovolné kategorie .

Definice

Algebraické objekty

Tato část poskytne definici vhodnou pro sady s přidanou strukturou, jako jsou skupiny , kruhy , moduly přes pevný kruh atd.

Nechť je řízená množina s relací preorder a nechť je každý prvek spojen s algebraickým objektem a každý pár , , ve kterém , je spojen s homomorfismem a je identickým zobrazením pro všechny a pro kterékoli z . Takový systém objektů a homomorfismů je také nazýván řízeným systémem . $já$ $\leqslant$ $i\v I$ $X_{i}$ $(i,\;j)$ $i,\;j\v I$ $i\leqslant j$ $f_{ij}:X_{i}\to X_{j}$ $f_{{ii}}$ $i\v I$ $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ $i\leqslant j\leqslant k$ $já$

Potom množina nosných přímé limity řízené soustavy je množinou faktorů disjunktivního sjednocení množin nosných s ohledem na vztah ekvivalence: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X_{i}$

\varinjlim X_{i}=\bigsqcup _{i}X_{i}{\bigg /}\sim .

Zde a jsou ekvivalentní, pokud existuje takové , že . Intuitivně jsou dva prvky disjunktivního sjednocení ekvivalentní tehdy a jen tehdy, když se „stanou rovnocennými dříve nebo později“ v řízeném systému. Jednodušší formulace je tranzitivní uzavření vztahu ekvivalence „každý prvek je ekvivalentní svým obrazům“, tj . $x_{i}\v X_{i}$ $x_{j}\in X_{j}$ $k\in I$ $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})$ $x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})$

Z této definice je snadné získat kanonické morfismy posílající každý prvek do jeho třídy ekvivalence. Přidanou algebraickou strukturu lze získat ze znalosti těchto homomorfismů. $\phi _{i}:X_{i}\rightarrow X$ $X$

Definice pro libovolnou kategorii

V libovolné kategorii lze přímou limitu definovat pomocí její univerzální vlastnosti . Konkrétně, přímá mez řízeného systému je objekt takové kategorie, že jsou splněny následující podmínky: $(X_{i},f_{{ij}})$ $X$

existuje taková rodina mapování , že pro jakékoli ; $\phi _{i}:X_{i}\to X$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$
pro jakoukoli rodinu zobrazení na libovolnou množinu , pro kterou platí rovnosti pro kteroukoli , existuje jedinečné mapování , které pro všechny . $\psi _{i}:X_{i}\to Y$ $Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=\psi _{j}\circ f_{ij))$ $i\leqslant j$ $u:X\to Y$ ${\displaystyle \psi _{i}=u\circ \phi _{i))$ $i\v I$

Obecněji řečeno, přímá limita řízeného systému je stejná jako jeho kolimita v kategorickém smyslu.

Příklady

Na libovolné rodině podmnožin dané množiny lze definovat předobjednávkovou strukturu zahrnutím. Pokud je tato předobjednávka skutečně řízena , pak přímým limitem rodiny je obvyklé spojení množin.
Nechť p je prvočíslo . Uvažujme řízený systém grup Z / p n Z a homomorfismy Z / p n Z → Z / p n +1 Z indukované násobením p . Přímá limita tohoto systému obsahuje všechny kořeny jednoty , jejichž řád je nějaká mocnina p . Jejich multiplikační grupa se nazývá Pruferova grupa Z ( p ∞ ).
Nechť F je svazek na topologickém prostoru X s hodnotami v C . Fix bod x v X . Otevřená okolí x tvoří řízený systém inkluzí ( U ≤ V , pokud U obsahuje V ). Funktor svazek mu přiřazuje orientovaný systém ( F ( U ), r U , V ), kde r jsou restrikční mapy. Přímá limita tohoto systému se nazývá vlákno F nad x a značí se F x .
Přímé limity v kategorii topologických prostorů jsou získány přiřazením konečné topologie k odpovídající podpůrné množině.

Literatura

S. McLane. Kategorie pro pracujícího matematika, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5 , OCLC 40551484
Bourbaki, Nicolas (1989), Obecná topologie: kapitoly 1-4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1 , OCLC 40551485