Režírovaný set

Usměrněná množina je neprázdná množina A s definovanou reflexivní tranzitivní relací ≤ (tj. předřád ), která má další vlastnost: jakákoliv dvojice prvků z A má horní mez v A .

Řízené množiny jsou zobecněním lineárně uspořádaných množin , to znamená, že každá lineárně uspořádaná množina je směrována (pro částečně uspořádanou množinu to obecně neplatí). V topologii se řízené množiny používají k definování směrů , které jsou zobecněním posloupnosti a sjednocují pojem limity používaný v počtu .

Příklady

Příklady nasměrovaných sestav:

Množina přirozených čísel N se standardním vztahem ≤ je řízená množina.
Množina N N dvojic přirozených čísel se stává směrovanou množinou, pokud je vztah definován následovně: ( n 0 , n 1 ) ≤ ( m 0 , m 1 ) právě tehdy, když n 0 ≤ m 0 an 1 ≤ m 1 . $\krát$
Sada oddílů intervalu v tomto případě , pokud je oddíl pododdílem . $P\leq R$ $R$ $P$
Je -li x 0 reálné číslo , můžeme z R vytvořit směrovanou množinu : a ≤ b právě tehdy, když
| a − x 0 | ≥ | b − x 0 |. Toto je příklad řízené sady, která není částečně objednána .
Triviálním příkladem částečně uspořádané množiny , která není orientována, je množina { a , b }, ve které jsou definovány pouze relace a ≤ a a b ≤ b .
Jestliže T je topologický prostor a x 0 je bod v T , pak můžeme definovat směr na množině okolí x 0 takto: U ≤ V právě tehdy, když U obsahuje V .
- Pro všechna U : U ≤ U ; protože U obsahuje sebe.
- Pro všechny U , V , W : pokud U ≤ V a V ≤ W , pak U ≤ W ; protože jestliže U obsahuje V a V obsahuje W , pak U obsahuje W .
- Pro všechna U , V : existuje množina U V taková, že U ≤ U V a V ≤ U V ; protože U i V obsahují U V . $\víčko$ $\víčko$ $\víčko$ $\víčko$
V posetu P je množina dolních hranic některého prvku P , tj. množina tvaru { a | a z P , a ≤ x } kde x je pevný prvek z P , je řízená množina.

Řízené podmnožiny

Směrový vztah nemusí být antisymetrický , a proto nejsou směrované množiny vždy částečně uspořádány . Termín řízená množina se však často používá také v kontextu částečně uspořádaných množin. Tedy podmnožina A částečně uspořádané množiny ( P ,≤) se nazývá řízená podmnožina , jestliže A je neprázdná a pro všechna a a b z A existuje c z A takové, že a ≤ c a b ≤ c . Zde je vztah pořadí na prvcích z A zděděn z P ; proto reflexivita a tranzitivita nejsou explicitně vyžadovány.

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
L. V. Kantorovič a G. P. Akilov Funkční analýza. — M .: Nauka, 1984. — 752 s.