Relace (teorie množin)

Relace  je matematická struktura , která formálně definuje vlastnosti různých objektů a jejich vztahy. Běžnými příklady vztahů v matematice jsou rovnost (=) , dělitelnost , podobnost , rovnoběžnost a mnoho dalších.

Pojem relace jako podmnožiny kartézského součinu je formalizován v teorii množin a rozšířil se v jazyce matematiky ve všech jejích odvětvích. Teoretický pohled na relaci ji charakterizuje z hlediska objemu – jakými kombinacemi prvků je naplněna; smysluplný přístup je zvažován v matematické logice , kde vztah je výroková funkce , to znamená výraz s neurčitými proměnnými, substituce konkrétních hodnot, za kterou je pravdivá nebo nepravdivá. Relace hrají důležitou roli v univerzální algebře , kde základním předmětem studia sekce je množina s libovolnou množinou operací a relací. Jednou z nejvýraznějších aplikací techniky matematických vztahů v aplikacích  jsou systémy správy relačních databází , metodologicky založené na formální relační algebře .

Vztahy se obvykle klasifikují podle počtu souvisejících objektů ( arity ) a jejich vlastních vlastností, jako je symetrie , tranzitivita , reflexivita .

Formální definice a notace

-lokální ( -ary ) relace definovaná na množinách je podmnožinou kartézského součinu těchto množin: . Skutečnost, že prvky jsou spojeny relací , označujeme nebo .

Skutečnost spojení mezi objekty a binární relací se obvykle označuje pomocí infixové notace : . Jednoduché (unární) relace odpovídají vlastnostem nebo atributům, zpravidla se pro takové případy terminologie relací nepoužívá. Někdy se používají relace třímístná ( ternární ), čtyřmístná (kvartérní); vztahy neurčitě vysoké arity se označují jako "mnohočlenné", "mnohomístné".

Univerzální relace  je relace spojující všechny prvky daných množin, tedy shodující se s kartézským součinem:. Nulová relace  je relace, která nepropojuje žádné prvky, tedy prázdná množina :.

Funkční relace je relace, která tvoří funkci : je funkční, pokud z provedení vyplývá, že ( je zajištěna jednoznačnost hodnoty funkce).

Obecné vlastnosti a typy binárních relací

Nejběžnější vztahy v jazyce matematiky jsou binární nad jednou množinou ( ), nejčastěji používané s některými společnými vlastnostmi [1] :

V závislosti na souboru vlastností binárních relací se tvoří některé z nich široce používané typy:

Důležitou roli hraje vztah rovnosti  - vztah ekvivalence, prováděný pouze pro dva shodné prvky.

Mohou existovat i jiné kombinace vlastností relací, například tranzitivní a reflexivní, ale nemá jiné jednoduché vlastnosti, relace dělitelnosti na množině přirozených čísel , obvykle označovaná symbolem , skládá se z dvojic tvaru , kde rozděluje rovnoměrně. Příkladem ternárního vztahu je vytvoření pythagorejského trojnásobku třemi čísly, bytí ve vztahu k pythagorejskému čtyřnásobku  je příkladem kvartérního vztahu.

V teorii grafů se uplatňuje volnější soubor vlastností binárních relací : neorientovaný graf lze definovat jako množinu vrcholů se symetrickým binárním vztahem nad ním a řízený graf jako množinu vrcholů s libovolnou binární relací nad ním.

Algebry relací

Všechny -ary vztahy nad kartézským součinem tvoří Booleovu algebru podle množinových teoretických operací sjednocení , průnik a doplnění .

Relační algebra  je uzavřený systém operací na relacích v relačním datovém modelu .

Poznámky

  1. ↑ Univerzální kvantifikátory ve vzorcích vynechány

Literatura