Objednávkový vztah

Relace řádu je binární relace (dále jen nebo ) mezi prvky dané množiny, podobná svými vlastnostmi vlastnostem relace nerovnosti . $\preccurlyeq$ $\prec$

Množina, jejíž všechny prvky jsou srovnatelné daným řádovým vztahem (tj. pro libovolné buď , nebo ), se nazývá lineárně uspořádaný a relace řádu se nazývá lineární řád . Pokud nejsou všechny nerovné prvky srovnatelné, pořadí se nazývá částečné a množina se nazývá částečně uspořádaná . Existuje také přísný řád , ve kterém je to nemožné, a nepřísný jinak [1] . $a\neq b$ $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $\prec$ $a\prec a$ $\preccurlyeq$

Příklady [1] .

Vztah pro reálná čísla pro ně definuje nepřísné lineární uspořádání. $\leqslant$
Poměr pro reálná čísla pro ně definuje přísné lineární uspořádání. $<$
Relace dělitelnosti na množině přirozených čísel : if je dělitel Jedná se o nepřísné dílčí uspořádání, protože ne všechna přirozená čísla jsou navzájem dělitelná beze zbytku. $a|b,$ $A$ $b.$
Relace inkluze na množině podmnožin dané množiny také definuje nepřísný dílčí řád.
Vztah (předek, potomek) k populaci zvířat je striktní dílčí řád.

Definice

Nepřísná (reflexivní) relace částečného řádu ( ) na množině je binární relací , pro kterou jsou pro kteroukoli z nich splněny následující podmínky [2] : $\preccurlyeq$ $X$ $a,b,c$ $X$

Reflexivita : . $a\preccurlyeq a$
Antisymetrie : jestliže a , pak . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq a$ $a=b$
Tranzitivita : jestliže a , pak . $a\preccurlyeq b$ $b\preccurlyeq c$ $a\preccurlyeq c$

Je také vhodné dodatečně definovat relaci striktní (antireflexní) pořadí ( ) pro relaci na stejné množině [1] : $\preccurlyeq$ $\prec$

a \prec b

, pokud a zároveň

a\preccurlyeq b

a\neq b.

Vlastnosti přísného vztahu se liší od vlastností nepřísného vztahu:

Antireflexní : ; $a\not \prec a$
Asymetrie : jestliže , pak ; $a\prec b$ $b\not \prec a$
Tranzitivita : jestliže a , pak . $a\prec b$ $b\prec c$ $a\prec c$

2. vlastnost není nezávislá, vyplývá z antireflexivity a tranzitivity. Proto je relace vztahem striktního řádu právě tehdy, je-li antireflexivní a tranzitivní.

Množina , na které je zaveden přísný nebo nepřísný vztah řádu, se nazývá částečně uspořádaná . Pokud je navíc pro některé prvky navíc splněna jedna z podmínek: nebo pak se řád nazývá lineární a množina je lineárně uspořádaná [2] . $X$ $a\neq b$ $a\prec b$ $b\prec a,$

Historie

Znamení navrhl anglický vědec Thomas Harriot ve svém díle, vydaném posmrtně v roce 1631 [3] . $<$ $>$

Definici částečně uspořádané množiny poprvé explicitně formuloval F. Hausdorff [4] , i když o podobných řádových axiomech uvažoval již kolem roku 1690 G. Leibniz . Definici lineárně uspořádaných a zcela uspořádaných množin poprvé uvedl G. Kantor [5] .

Variace a zobecnění

Pokud uspořádaná množina tvoří nějaký druh algebraické struktury, pak se obvykle vyžaduje, aby pořadí v této struktuře bylo konzistentní s algebraickými operacemi. Podívejte se na články o tomto:

Někdy je užitečné uvažovat vztahy, pro které platí pouze první a třetí axiom (reflexivita a tranzitivita); takové vztahy se nazývají preorder nebo quasiorder . Jestliže je kvaziřád, pak vztah daný vzorcem [6] : $\prec$

a\equiv b,

pokud a

a \prec b

b\prec a,

bude vztahem ekvivalence . Na kvocientové množině lze touto ekvivalencí definovat nestriktní pořadí takto [6] :

[a]\preccurlyeq [b],

-li

a\prec b,

kde je třída ekvivalence obsahující prvek $[X]$ $X.$

Viz také

Spielrainova věta

Poznámky

↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , str. 16, 20-22.
↑ 1 2 Nechaev, 1975 , str. 78.
↑ Alexandrova N. V. Historie matematických termínů, pojmů, notace: Slovník-příručka . - 3. vyd. - Petrohrad. : LKI, 2008. - S. 111 -112. — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
↑ Částečně uspořádaný soubor // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 s.
↑ 1 2 Objednávka // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M .: Sovětská encyklopedie , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 s.

Literatura

Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. — M .: Fizmatlit , 1973.
Nechaev V. I. Numerické soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - 199 s.