Spielrainova věta

Spielrainova věta je jednou z ústředních vět v teorii uspořádaných množin , kterou poprvé formuloval a dokázal polský matematik Edward Spielrain v roce 1930.

Formulace

Jakýkoli vztah částečného řádu daný na nějaké množině může být rozšířen na vztah lineárního řádu . $\leqslant$ $X$

Důkaz

Důkaz věty je založen na aplikaci axiomu výběru ( Kuratowski-Zornovo lemma ).

Zobecnění a zesílení

Dushnik-Millerova věta

Ben Dusnik a B. W. Miller dokázali, že každý dílčí řádový vztah je průsečíkem lineárních řádových vztahů, které ho obsahují.

Případ skupin

Zobecnění Spielrainovy věty na případ, kdy relace částečného řádu a relace lineárního řádu, které je rozšiřují, jsou konzistentní s algebraickými operacemi grup , kruhů a dalších algebraických systémů, na kterých jsou tyto vztahy dány, uvažoval maďarský matematik Laszlo Fuchs . . Konkrétně Fuchsův teorém říká, že částečné uspořádání skupiny může být rozšířeno na řád lineární skupiny tehdy a pouze tehdy , pokud splňuje následující podmínku: $\leqslant$ $G$ $G$

pro každou konečnou množinu prvků v ( ) lze zvolit znaménka ( nebo ) takovým způsobem, že ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))$ $G$ $a_{i}\neq e$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n))$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

Tady

S(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})

je invariantní podpologrupa generovaná prvky ,

{\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))

{\displaystyle P=\{x\in G\mid 0\leqslant x\))

je kladný poměrový kužel .

\leqslant

Dílčí řád Abelovské grupy může být rozšířen na lineární řád právě tehdy, pokud je bez torzního torzování, tedy všechny její prvky kromě neutrálního nekonečného řádu .

Dushnik-Millerova věta je v tomto případě zobecněna následovně: dílčí řád grupy je průsečíkem lineárních řádů právě tehdy, když z toho vyplývá, že pro každou konečnou množinu prvků v ( ) existují taková vhodná znaménka ( nebo ), že $\leqslant$ $G$ $a\notin P$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n))$ $G$ $a_{i}\neq e$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\;\ldots ,\;\varepsilon _{n))$ $\varepsilon _{i}=1$ $\varepsilon _{i}=-1$

P\cap S(a,\;a_{1}^{\varepsilon _{1)),\;\ldots ,\;a_{n}^{\varepsilon _{n)))=\varnothing .

Dílčí řád Abelovské grupy je průsečíkem lineárních řádů právě tehdy, když je izolovaný, to znamená, že z pro nějaké přirozené číslo vyplývá . $\leqslant$ $a^{n}\geqslant e$ $n$ $a\geqslant e$

Případ vektorových prostorů

Jakýkoli vztah částečného řádu daný vektorovým prostorem a konzistentní s jeho strukturou lze rozšířit na konzistentní vztah lineárního řádu.

Odkazy

Spielrain, E. (1930), Sur l'extension de l'ordre partiel , Fundamenta Mathematicae T. 16: 386–389, ISSN 0016-2736 , < http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php? wyd=1&tom=16 > Archivováno 6. února 2012 na Wayback Machine .
Dushnik, Ben & Miller, E.W. (1941), Částečně objednané sady , American Journal of Mathematics vol. 63(3): 600-610, MR : 0004862 , ISSN 0002-9327 , doi : 10.2307/23713 : // www.jstor.org/stable/2371374 > .
Fuchs L. Částečně uspořádané algebraické systémy. - M .: Mir, 1965. - 342 s.

Viz také

částečně objednaná sada