Zornovo lemma

Zornovo lemma (někdy Kuratowski-Zornovo lemma ) je jedním z výroků ekvivalentních axiomu výběru , spolu se Zermelovou větou (princip dobrého uspořádání) a principem Hausdorffova maxima (což je ve skutečnosti alternativní formulace Zornova lemmatu).

Nese jméno německého matematika Maxe Zorna , často je zmiňováno i pod jménem polského matematika Kazimira Kuratowského , který podobné tvrzení formuloval již dříve .

Příkaz : Částečně uspořádaná sada , ve které má jakýkoli řetězec horní hranici, obsahuje prvek maxima . Existuje řada ekvivalentních alternativních formulací .

Historie

Výroky podobné a ekvivalentní Zornovu lemmatu navrhli matematici mnohem dříve než Zorn. V roce 1904 tedy Ernst Zermelo dokázal větu, podle níž lze každou množinu dobře uspořádat . Aby to dokázal, dovolával se „nesporného logického principu“, který nazval axiomem volby . Hausdorffův princip maxima , formulovaný a dokázaný jím v roce 1914 , je alternativní a dřívější formulací Zornova lemmatu.

V roce 1922 Kuratovský dokázal lemma ve formulaci blízké té moderní (pro rodinu množin uspořádaných inkluzí a uzavřených pod spojením dobře uspořádaných řetězců). Prakticky stejné tvrzení (ve slabší formulaci, ne pro úplně uspořádané řetězce, ale pro libovolné) nezávisle formuloval Zorn v roce 1935 v článku „On a Method from Transfinite Algebra“. Zorn sám to nazval „ princip maxima “, navrhl jej zahrnout do axiomů teorie množin a použít jej k prokázání různých teorémů teorie pole namísto Zermelova principu dobře uspořádaného.

Název „Zornovo lemma“ poprvé představil John Tukey v roce 1940 .

Formulace

Existuje několik alternativních formulací Zornova lemmatu.

Základní formulace:

Pokud v částečně uspořádané množině pro jakoukoli lineárně uspořádanou podmnožinu existuje horní mez, pak je zde maximální prvek. $M$ $M$

Stojí za to pochopit, co přesně znamená tato formulace. Podmínka pro existenci horní hranice pro každou lineárně uspořádanou podmnožinu nevyžaduje, aby tato hranice nutně ležela v této podmnožině samotné. Vyžaduje pouze , aby horní mez byla obsažena v celé sadě . Maximální prvek je zde chápán v tom smyslu, že není menší než všechny, se kterými je srovnatelný. Nemusí být větší nebo roven žádnému prvku. Například prvek, který je nesrovnatelný s jakýmkoli jiným prvkem sady , bude maximum. $M$ $M$

Hlavní formulaci Zornova lemmatu lze posílit.

Vylepšené znění:

Pokud v částečně uspořádané množině pro jakoukoli lineárně uspořádanou podmnožinu existuje horní mez, pak pro každý prvek existuje maximální prvek množiny větší nebo roven prvku . $M$ $a\in M$ $M$ $A$

Základní formulace tvrdí existenci prvku, který je pro každý jednotlivý prvek buď větší, nebo stejný nebo s ním nesrovnatelný. Posílená formulace prohlašuje existenci každého takového prvku, že je větší nebo roven , a zároveň pro všechny ostatní prvky je buď větší nebo roven nebo nesrovnatelný. To znamená, že pro každý konkrétní prvek můžete vybrat maximum tak, aby bylo větší nebo rovno. Tento maximální prvek se může lišit v závislosti na konkrétním prvku . $a\in M$ $A$ $a\in M$ $A$ $A$

V původním článku z roku 1935 Zorn formuloval prohlášení pro množiny částečně uspořádané inkluzí.

Prohlášení pro rodinu sad:

Pokud má rodina množin vlastnost, že sjednocením libovolného řetězce množin z této rodiny je opět množina z této rodiny, pak obsahuje maximální množinu. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Tato formulace zjevně vyplývá z té hlavní. Zároveň, jak je vidět, i pro rodiny množin je slabší než ta hlavní, protože v rodině vyžaduje přítomnost pouhého spojení množin, a nikoli libovolné nadmnožiny.

Navzdory skutečnosti, že některé formulace jsou silnější a některé slabší, všechny 3 formulace Zornova lemmatu jsou ekvivalentní v Zermelo-Fraenkelově systému axiomů . Důkazem toho je článek Prohlášení ekvivalentní axiomu volby .

Aplikace

V mnoha problémech je Zornovo lemma nejvhodnější ze všech formulací ekvivalentních axiomu výběru; používá se zejména při důkazu následujících teorémů:

Hahn-Banachův teorém o rozšíření lineárního funkcionálu;
věta o existenci Hamelovy báze v libovolném lineárním prostoru ;
Tichonovova věta ;
věta o existenci algebraického uzávěru libovolného pole ;
věta o existenci maximálního ideálu v kruhu s jednotkou .

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. — M .: Nauka, 1977. — 368 s.
Yosida K. Funkční analýza. - M. : Mir, 1967. - kap. IV, V, 616 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - 7. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M. : Nauka, 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Teorie množin. - 4. vyd. - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .