Výroky ekvivalentní axiomu výběru

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Tento článek se zabývá různými formulacemi a dokazuje rovnocennost následujících vět:

Ekvivalenci těchto tvrzení je třeba chápat v tom smyslu, že kterýkoli z nich spolu se Zermelo-Fraenkelovým (ZF) systémem axiomů pro teorii množin stačí k prokázání zbytku.

Zornovo lemma a Hausdorffův princip maxima

Výroky Zorn's Lemma ( ang. Zorn's Lemma ).

$\mathcal{ZL}_1.$ Poset, ve kterém má jakýkoli řetězec horní hranici, obsahuje maximální prvek.

$\mathcal{ZL}_2.$ Pokud má každý řetězec v částečně uspořádané sadě horní mez, pak každý prvek podléhá určitému maximu. $M$ $M$

$\mathcal{ZL}_3.$ Nechť má rodina množin tu vlastnost, že sjednocení libovolného řetězce množin je opět množinou této rodiny. Pak obsahuje maximální sadu. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Prohlášení principu Hausdorffova maxima :

$\mathcal{HM}_1.$ Každý poset má maximální lineárně uspořádanou podmnožinu

$\mathcal{HM}_2.$ V částečně uspořádané sadě je každý řetěz obsažen v některém ze svých maximálních řetězců.

Ekvivalenci těchto tvrzení prokážeme podle následujícího schématu:

\mathcal{ZL}_1 \quad \overset{(I)}{\Leftrightarrow} \quad \mathcal{ZL}_2 \quad \overset{(II)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_3 \quad \overset{(III)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_2 \quad \overset{(IV)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_1 \quad \overset{(V)}{ \Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_1

I.\;\mathcal{ZL}_1 {\Leftrightarrow} \mathcal{ZL}_2

Je jasné, že vyplývá z , protože větší se tvrdí v: existuje maximální prvek větší než daný . A naopak, nechť je poset, ve kterém má každý řetěz horní mez, a nechť . Aplikujme na sadu . Jeho maximální prvek je zároveň maximálním prvkem , a navíc splňuje podmínku . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathcal{ZL}_2$ $\mathcal{ZL}_2$ $A$ $M$ $a \in M$ $\mathcal{ZL}_1$ $M^{'} = \{ m \in M \mid m \geqslant a\}$ ${\overline {a}}$ $M$ $a \leqslant \overline{a}$

II.\;\mathcal{ZL}_2 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_3

Rodina množin je částečně uspořádaná pomocí inkluzního vztahu teorie množin . Jakýkoli řetězec množin má horní hranici - je to množina , která podle předpokladu patří do systému . Díky tomu má rodina maximální prvek, tedy soubor, který je maximální s ohledem na inkluzi. $\mathfrak{M}$ $\subseteq$ $\{M_{\alpha}\}$ $\bigcup M_{\alpha}$ $\mathfrak{M}$ $\mathcal{ZL}_2$

III.\;\mathcal{ZL}_3 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_2

Dovolit být částečně uspořádaný soubor, být řetěz v , a být soubor všech řetězců v obsahující , uspořádaný s ohledem na zahrnutí. Existence maximálního řetězce obsahujícího nyní vyplývá z , jak je aplikováno na , a ze skutečnosti, že spojení všech množin řetězce v ("řetězec řetězců") je opět množinou . $M$ $C_{0}$ $M$ $\mathfrak{M}$ $M$ $C_{0}$ $C_{0}$ $\mathcal{ZL}_3$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

IV.\;\mathcal{HM}_2 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_1

Očividně. je speciální případ , kdy je původní řetězec prázdná množina . $\mathcal{HM}_1$ $\mathcal{HM}_2$ $\varno nic$

V.\;\mathcal{HM}_1 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_1

Nechť je částečně objednaná sada ve stavu . Uvažujme maximální řetězec v , jehož existence vyplývá z . Podle předpokladu má tento řetězec horní mez . Pak je maximální prvek , a navíc patří do řetězce. Za předpokladu opaku dojdeme k rozporu s maximální podmínkou . $M$ $\mathcal{ZL}_1$ $C$ $M$ $\mathcal{HM}_1$ ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $M$ $C$

Tyto argumenty dokazují ekvivalenci principu Hausdorffova maxima a Zornova lemmatu.

Zermelova věta

Prohlášení Zermelovy věty ( princip Well Ordering )

$\mathcal{WO}.$ Každá sada se dá dobře objednat.

\mathcal{ZL}_1 \Rightarrow \mathcal{WO}

Nechť je libovolná daná množina. Ukažme, že se dá kompletně objednat. $M$

Uvažujme množinu všech párů , kde , a je relace celkového pořadí na . Na množině zavedeme relaci přirozeného řádu: následuje , pokud existuje počáteční segment , tedy pokud pro některé a na množině se relace shoduje s . $\mathfrak{M}$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A\subseteq M$ $\leqslant_A$ $A$ $\mathfrak{M}$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $A = \{ a \in B: a < b\}$ $b\in B$ $A$ $\leqslant_B$ $\leqslant_A$

Dále dokážeme dvě tvrzení.

I. V B je maximální prvek. $\mathfrak{M}$ Vyplývá to ze skutečnosti, že pokud je řetězec v , pak spojení všech prvků je také prvkem , který je horní hranicí řetězce . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $C \in \mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{C}$

II. Jestliže je maximální prvek, pak $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A=M$ . Pokud by to bylo neprázdné, pak bychom vzali nějaký prvek a dali pro any , dostali bychom dobře uspořádanou množinu , jejíž počáteční segment je . To je v rozporu s maximálním předpokladem . $M \setminus A$ $b \in M \setminus A$ $b>a$ $v A$ $A\cup \{b\}$ $A$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$

Máme tedy dobře uspořádanou sadu . Q.E.D. $\langle M, \leqslant_M \rangle$

\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{HM}_1

Nechť je částečně uspořádaná sada. Na základě Zermelovy věty lze množinu kompletně uspořádat. Nechť je dobře uspořádaný vztah na . $\langle M, \preceq \rangle$ $M$ $\leqslant$ $M$

Rozdělení množiny na dvě podmnožiny definujeme indukcí na dobře uspořádané množině (tato metoda se také nazývá transfinitní rekurze ). $M$ $C$ $\overline{C}$ $\langle M, \leqslant \rangle$

Let a všechny prvky jsou již odkazovány buď na nebo na . Odkazujeme na to, zda je srovnatelný se všemi prvky ; jinak to odkazujeme na . $a \in M$ $b<a$ $C$ $\overline{C}$ $A$ $C$ $C$ $\overline{C}$

Provedením induktivní konstrukce na dobře uspořádané soupravě tímto způsobem získáme soupravy a . Jak je vidět z konstrukce , řetěz v . Navíc je jasné, že je to maximum. Tím jsme dokázali princip Hausdorffova maxima. $\langle M, \leqslant \rangle$ $C$ $\overline{C}$ $C$ $\langle M, \preceq \rangle$

Axiom volby

Formulace axiomu volby .

$\mathcal{AC}.$ Pro každou rodinu neprázdných množin existuje funkce volby , tj. $\{S_{\alpha}\}, \alpha \in A$ $F$ $\forall\alpha\; f(\alpha) \in S_{\alpha}$

Stačí prokázat ekvivalenci jednoho z tvrzení . Níže je však několik důkazů. $\mathcal{AC}$ $\mathcal{ZL}, \mathcal{HM}, \mathcal{WO}$

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

Viz kniha Hausdorff nebo Kurosh

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{HM}$

Úvaha je podobná jako v důkazu . $\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

$\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Pojďme seřadit každý a pak definovat funkci výběru jako minimální prvek sady: $\{S_{\alpha}\}$

f(\alpha) = \min S_{\alpha}

$\mathcal{ZL} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Viz Kuroshova kniha

Literatura

Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M. : "NAUKA", 1977. - 368 s.
Kolmogorov AN, Fomin SV Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - 7. vyd. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M. : "NAUKA", 1973. - 400 s.
Hausdorff F. Teorie množin. - 4. vyd. - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .