Hausdorffův princip maxima
Hausdorffův princip maxima , nazývaný také Hausdorffův teorém maximality , říká :
V každé částečně uspořádané množině existuje maximální lineárně uspořádaná podmnožina .Princip Hausdorffova maxima formuloval a dokázal Felix Hausdorff v roce 1914 a je alternativní a dřívější formulací Zornova lemmatu . Stejně jako zmíněné lemma je Hausdorffův maximální princip ekvivalentní axiomu výběru .
Ekvivalentní znění
Existuje druhá formulace principu maxima, která je ekvivalentní první. Abychom to přesně formulovali, uvedeme nejprve následující definice. Řetězec v částečně uspořádané množině je kterákoli z jeho lineárně uspořádaných podmnožin (zejména prázdná množina ). Řetězec se nazývá maximální , pokud není obsažen jako správná podmnožina v žádném jiném řetězci, který patří do .
Hausdorffův princip maxima (druhá formulace). V částečně uspořádané sadě je každý řetěz obsažen v některém ze svých maximálních řetězců.
První formulace je speciálním případem druhé, pokud za počáteční řetězec vezmeme prázdnou množinu . Ve skutečnosti jsou však rovnocenné. Důkaz viz Prohlášení ekvivalentní axiomu výběru .
Zdroje
- Kolmogorov AN, Fomin SV Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. - 7. vyd. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Literatura
- Aleksandrov PS Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M. : "NAUKA", 1977. - 368 s.
- Kurosh A. G. Přednášky o obecné algebře. - 2. vyd. - M. : "NAUKA", 1973. - 400 s.
- Hausdorff F. Teorie množin. - 4. vyd. - M. : URSS, 2007. - 304 s. - ISBN 978-5-382-00127-2 .