Objednaný prsten

Uspořádaný prsten v obecné algebře je prsten (obvykle komutativní ), pro všechny prvky kterého lineární objednávka je definována , shodný s operacemi prstenu. Prakticky nejdůležitější příklady jsou kruh celých čísel a kruhy celých násobků . $R$ $\mathbb {Z}$

Definice

Nechť je prsten , jehož prvky mají lineární uspořádání , tj. vztah ( menší nebo roven ) s následujícími vlastnostmi [1] . $R$ $\leqslant$

Reflexivita : . $x \leqslant x$
Tranzitivita : jestliže a , pak . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisymetrie : jestliže a , pak . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linearita: všechny prvky jsou vzájemně srovnatelné, tedy buď , nebo . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Kromě toho požadujeme, aby pořadí bylo v souladu s operacemi sčítání a násobení prstence:

Jestliže , pak pro libovolné z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Pokud a , tak . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Pokud je splněno všech 6 axiomů, pak se prstenec nazývá uspořádaný [2] . $R$

Příklady objednaných prstenů

Kruh celých čísel $\mathbb{Z}.$
Kruh sudých čísel a obecně jakýkoli kruh čísel, která jsou násobky daného nenulového reálného čísla (nemusí jít nutně o celé číslo). $k$
Jakékoli uspořádané pole - například pole racionálních a reálných čísel ) jsou také uspořádané kruhy.
Příklad uspořádaného kruhu s nulovými děliteli : pokud v aditivní skupině celých čísel položíme všechny součiny rovné nule, dostaneme uspořádaný kruh, ve kterém je libovolný prvek nulovým dělitelem (jednotka pak není neutrálním prvkem pro násobení tak získáme prstenec bez jednotky) [3 ] [4] .

Související definice

Pro usnadnění zápisu jsou zavedeny další sekundární vztahy:

Poměr větší nebo roven : znamená, že .

x\geqslant y

y\leqslant x

Poměr větší než : znamená, že a .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Poměr menší než : znamená, že .

x<y

y>x

Vzorec s kterýmkoli z těchto 4 vztahů se nazývá nerovnost .

Prvky větší než nula se nazývají kladné , zatímco prvky menší než nula se nazývají záporné . Sada kladných prvků uspořádaného prstenu je často označována $R$ $R_{+}.$

Diskrétní uspořádaný kruh je uspořádaný kruh, který nemá žádné prvky mezi 0 a 1. Celá čísla jsou diskrétní uspořádaný kruh, zatímco racionální čísla nikoli.

Základní vlastnosti

Všechny mají následující vlastnosti. $x,y,z\in R$

Každý prvek uspořádaného prstenu patří do jedné ze tří kategorií: kladný, záporný, nulový. Pokud pozitivní, tak negativní a naopak. $X$ $-X$
Lze přidat podobné nerovnosti:

Pokud a , tak .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Nerovnosti lze násobit nezápornými prvky:

Pokud a , tak .

x \leqslant y

z\geqslant 0

zx\leqslant zy

Uspořádaný kruh nemá žádné nulové dělitele právě tehdy, když je součin kladných prvků kladný.
Znaménkové pravidlo: součin nenulových prvků se stejnými znaménky je nezáporný (pokud v kruhu nejsou nulové dělitele, pak kladný) a součin kladného prvku se záporným je nezáporný (pokud neexistují žádné nulové dělitele, pak záporné),
- Důsledek 1: v uspořádaném kruhu je druhá mocnina nenulového prvku vždy nezáporná (a pokud neexistují nulové dělitele, pak je kladná) [5] .
- Důsledek 2: vždy v uspořádaném kruhu s 1 (protože 1 je druhá mocnina sebe sama) [4] . $1>0$
Uspořádaný prsten, který není triviální (to znamená, že obsahuje více než jen nulu), je nekonečný.
Každý uspořádaný kruh s jednotkou a žádnými nulovými děliteli obsahuje jeden a pouze jeden podkruh izomorfní kruhu celých čísel [6] . $\mathbb {Z}$

Příklady kroužků a polí, které neumožňují objednávání

Komplexní čísla netvoří uspořádaný kruh, protože v uspořádaném kruhu, jak je uvedeno výše, je druhá mocnina prvku vždy nezáporná a imaginární jednotka do něj nemůže vstoupit.
Koncová pole .
p-adická čísla .

Absolutní hodnota

Určete absolutní hodnotu prvku $x:$

|x|=\max(x,-x)

Zde funkce vybere největší hodnotu. Má následující vlastnosti (pro celý prstenec) [7] . $\max$ $x, y$

$|x|=0$ pokud a jen tehdy . $x=0$
Pro všechny nenulové a pouze pro ně . $X$ $|x|>0$
Absolutní hodnoty opačných čísel jsou stejné: $|x|=|{-x}|$
Trojúhelníková nerovnost : . $|x+y|\leqslant |x|+|y|$
Multiplikativita: $|xy|=|x||y|.$
$|x|\leqslant y$ se rovná $-y\leqslant x\leqslant y$

Variace a zobecnění

Teorie uspořádaných kruhů také pokrývá speciální případy nekomutativních (nebo dokonce neasociativních) kruhů. Zkoumají se další varianty:

Prstenec není lineární, ale pouze částečně uspořádaný , to znamená, že ne všechny prvky lze porovnávat pomocí daného řádu [8] .
Místo prstenu je semiring , tedy obecně v něm není odčítání [9] . Příklad: přirozená řada rozšířená o nulu.

Poznámky

↑ Lam, TY (1983), Uspořádání, valuace a kvadratické formy , sv. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematical, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0702-1
↑ Bourbaki, 1965 , s. 271.
↑ Bourbaki N. Algebra. Algebraické struktury. Lineární algebra. - M. : Nauka, 1962. - S. 137. - 517 s.
↑ 1 2 Bourbaki, 1965 , str. 272.
↑ Nechaev, 1975 , s. 90.
↑ Nechaev, 1975 , s. 100.
↑ Nechaev, 1975 , s. 91.
↑ Částečně objednaný prsten . Staženo 27. ledna 2019. Archivováno z originálu 27. ledna 2019. (neurčitý)
↑ Nechaev, 1975 , s. 88-89.

Literatura

Bourbaki N. Algebra. Polynomy a pole. Objednané skupiny. - M .: Nauka, 1965. - S. 271-272. — 299 s.
Něčajev V. I. 6.4. Lineárně uspořádané prstence a tělesa // Číselné soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - S. 90-94. — 199 s.

Odkazy

Objednaný prsten na webu PlanetMath .