Trojúhelníková nerovnost

Trojúhelníková nerovnost v geometrii , funkční analýze a příbuzných disciplínách je jednou z intuitivních vlastností vzdálenosti. Uvádí, že délka libovolné strany trojúhelníku je vždy menší než součet délek jeho dalších dvou stran. Trojúhelníková nerovnost je zahrnuta jako axiom v definici metrického prostoru , normy , atd.; také je to často teorém v různých teoriích.

Euklidovská geometrie

Nerovnost

AC\leqslant AB+BC,

běží v libovolném trojúhelníku . Kromě toho je rovnosti dosaženo pouze tehdy, když je trojúhelník degenerovaný a bod leží přísně mezi a . $\trojúhelník ABC$ $AC=AB+BC$ $B$ $A$ $C$

Euklidovy prvky dokazují trojúhelníkovou nerovnost následovně . Nejprve je dokázána věta, že vnější úhel trojúhelníku je větší než vnitřní úhel, který s ním nesousedí. Z toho je odvozena věta, že větší vnitřní úhel leží proti větší straně trojúhelníku. Dále, kontradikcí, je věta dokázána, že největší strana leží proti největšímu vnitřnímu úhlu trojúhelníku. A z této věty je odvozena trojúhelníková nerovnost.

Normovaný prostor

Dovolit být normovaný vektorový prostor , kde je libovolná množina a je norma definovaná na . Pak podle definice toho druhého platí: $(X,\|\cdot \|)$ $X$ $\|\cdot \|$ $X$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.

Hilbertův prostor

V Hilbertově prostoru je trojúhelníková nerovnost důsledkem Cauchy-Bunyakovského nerovnosti .

Metrický prostor

Dovolit být metrický prostor , kde je libovolná množina a je metrika definovaná na . Pak podle definice posledního $(X,\rho)$ $X$ $\rho$ $X$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\v X.

Variace a zobecnění

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Silná trojúhelníková nerovnost

Reverzní trojúhelníková nerovnost

Důsledkem trojúhelníkové nerovnosti v normovaných a metrických prostorech jsou následující nerovnosti:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\v X.$

Trojúhelníková nerovnost pro trojúhelníkový úhel

Každý plochý úhel konvexního trojbokého úhlu je menší než součet jeho dalších dvou plochých úhlů.

Libovolný počet bodů

Označme vzdálenost mezi body a . Pak platí následující nerovnost: . Získá se postupným aplikováním trojúhelníkové nerovnosti pro tři body: [1] $\rho (x_{i},x_{j})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Viz také

Poznámky

↑ Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 28