Axiom

Axiom ( starořecky ἀξίωμα „výrok, pozice“) nebo postulát (z latinského  postulatum  – lit. povinné [1] ), je výchozí pozice jakékoli teorie , přijatá v rámci této teorie jako pravdivá bez nutnosti dokazování a používaná při dokazující jeho další ustanovení, která se zase nazývají věty [2] .

Schůzka

Potřeba přijímat axiomy bez důkazu vyplývá z induktivního argumentu: jakýkoli důkaz je nucen spoléhat se na některá tvrzení, a pokud každý z nich vyžaduje vlastní důkazy, řetězec se ukáže jako nekonečný. Abyste nešli do nekonečna, je potřeba tento řetězec někde přerušit – tedy přijmout některá tvrzení bez důkazu, jako výchozí. Právě tato tvrzení, braná jako výchozí, se nazývají axiomy [3] .

V moderní vědě se otázka pravdivosti axiomů tvořících základ jakékoli teorie řeší buď v rámci jiných vědeckých teorií, nebo interpretací této teorie [4] .

Axiomatizace (nebo- formalizace ) teorie je explicitní náznak konečného nebo spočetného , ​​rekurzivně vyčíslitelného (jako například v Peanově axiomatice ) souboru axiomů a inferenčních pravidel. Poté, co budou uvedeny názvy studovaných objektů a jejich základní vztahy, jakož i axiomy, kterým se tyto vztahy musí řídit, musí být veškerá další expozice založena pouze na těchto axiomech a nespoléhat se na obvyklý konkrétní význam těchto objektů a jejich vztahy.

Výběr axiomů, které tvoří základ konkrétní teorie, není jediný. Příklady různých ale ekvivalentních souborů axiómů lze nalézt v matematické logice a euklidovské geometrii .

Množina axiomů se nazývá konzistentní , pokud na základě axiomů této množiny pomocí pravidel logiky nelze dojít k rozporu, tedy dokázat určité tvrzení i jeho negaci zároveň .

Rakouský matematik Kurt Gödel dokázal " teorémy neúplnosti ", podle kterých je neúplný jakýkoli systém matematických axiomů ( formální systém ), ve kterém lze definovat přirozená čísla, sčítání a násobení. To znamená, že existuje nekonečné množství matematických tvrzení (funkcí, výrazů), jejichž pravdivost ani nepravdivost nelze na základě tohoto systému axiomů dokázat. Podle teorému o neúplnosti bude mezi těmito neodvoditelnými tvrzeními také tvrzení o konzistenci tohoto systému.

Historie

Poprvé se termín „axiom“ nachází u Aristotela ( 384 – 322 př . n. l. ) a přechází do matematiky od filozofů starověkého Řecka . Euklides rozlišuje mezi pojmy „postulát“ a „axiom“, aniž by vysvětlil jejich rozdíly. Od dob Boethia se postuláty překládají jako požadavky (petitio), axiomy jako obecné pojmy. Původně mělo slovo „axiom“ význam „pravda evidentní sama o sobě“. V různých rukopisech Euklidových živlů je rozdělení výroků na axiomy a postuláty různé, jejich pořadí se neshoduje. Pravděpodobně měli písaři různé názory na rozdíl mezi těmito pojmy.

Postoj k axiomům jako k některým neměnným samozřejmým pravdám přetrvával dlouho. Například v Dahlově slovníku je axiom „důkaz, jasný sám o sobě a nesporná pravda , která nevyžaduje důkaz “.

Impuls pro změnu ve vnímání axiomů přišel z práce ruského matematika Nikolaje Lobachevského o neeuklidovské geometrii , poprvé publikované koncem 20. let 19. století. Ještě jako student se pokusil dokázat pátý Euklidův postulát, ale později jej opustil. Lobačevskij došel k závěru, že pátý postulát je pouze svévolným omezením, které lze nahradit omezením jiným. Pokud by byl Euklidův pátý postulát prokazatelný, pak by Lobačevskij narazil na rozpory. Ačkoli však nová verze pátého postulátu nebyla vizuálně zřejmá, plně plnila roli axiomu, který umožňoval vybudovat nový konzistentní systém geometrie.

Lobačevského myšlenky zpočátku nebyly uznávány (např. akademik Ostrogradskij o nich mluvil negativně ). Později, když Lobachevsky publikoval práci v jiných jazycích, si ho všiml Gauss , který měl také nějaké zkušenosti s neeuklidovskou geometrií. Nepřímo vyjádřil obdiv k tomuto dílu. Skutečného uznání se Lobačevského geometrii dostalo až 10-12 let po smrti autora, kdy byla prokázána její konzistence v případě konzistence Euklidovy geometrie. To vedlo k revoluci v matematickém světě. Hilbert zahájil masivní projekt axiomatizace celé matematiky, aby dokázal její konzistenci. Jeho plány neměly být realizovány kvůli Gödelovým následujícím teorémům neúplnosti . To však byl impuls k formalizaci matematiky. Objevily se například axiomy přirozených čísel a jejich aritmetika , Cantorova práce o vytvoření teorie množin . To umožnilo matematikům vytvořit přísně pravdivé důkazy pro teorémy.

Nyní jsou axiomy opodstatněné ne samy o sobě, ale jako nezbytné základní prvky teorie - axiomy mohou být zcela libovolné, nemusí být zřejmé. Jediným neměnným požadavkem na axiomatické systémy je jejich vnitřní konzistence. Kritéria pro vytvoření souboru axiomů v rámci konkrétní teorie jsou často pragmatická: stručnost formulace, snadnost manipulace, minimalizace počtu výchozích pojmů atd. Takový přístup nezaručuje pravdivost přijatých axiomů [2] . V souladu s Popperovým kritériem jediný negativní příklad vyvrací teorii a v důsledku toho prokazuje nepravdivost systému axiomů, zatímco mnoho potvrzujících příkladů pouze zvyšuje pravděpodobnost pravdivosti systému axiomů.

Příklady

Příklady axiomů

  1. Axiom volby
  2. Euklidův axiom rovnoběžnosti
  3. Archimédův axiom
  4. Objemový axiom
  5. Axiom pravidelnosti
  6. Axiom úplné indukce
  7. Kolmogorovův axiom
  8. Booleovský axiom .

Příklady axiomových systémů

  1. Axiomatika teorie množin
  2. Axiomatika reálných čísel
  3. Euklidova axiomatika
  4. Hilbertova axiomatika .
  5. Tarského axiomatika

Viz také

Literatura

Odkazy

Poznámky

  1. ↑ Slovník cizích slov. - M .: " Ruský jazyk ", 1989. - 624 s. ISBN 5-200-00408-8
  2. ↑ 1 2 Editoval A.A. Ivine. Axiom // Filosofie: Encyklopedický slovník. — M.: Gardariki . — 2004.
  3. ↑ Cline Maurice . „Matematika. Ztráta definice." — M.: Mir, 1984.
  4. ↑ Filosofický encyklopedický slovník. — M.: Sovětská encyklopedie. Ch. redaktoři: L. F. Iljičev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. 1983.
  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie