Tarského axiomatika (geometrie)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Tarskiho axiomatika je systém axiomů elementární euklidovské geometrie navržený Alfredem Tarskim . Pozoruhodný v tom, že je formulován v logice prvního řádu s rovností a nevyžaduje teorii množin .

Historie

Alfred Tarski pracoval na své axiomatizaci s přestávkami od roku 1926 až do své smrti v roce 1983; poprvé publikován v roce 1959. [1] Zejména Tarski dokázal, že jeho axiomatika je úplná a konzistentní; Navíc existuje algoritmus, který vám umožní zjistit, zda je některý výrok pravdivý nebo nepravdivý. (Tato věta není v rozporu s Gödelovou větou o neúplnosti , protože v Tarského axiomatice pro geometrii neexistují žádné prostředky k vyjádření aritmetiky.)

Hlavní práce Tarského a jeho studentů v tomto směru jsou představeny v monografii z roku 1983. [2] Axiomatika prezentovaná v této knize se skládá z 10 axiomů a jednoho axiomového schématu .

Axiomy

Nedefinované pojmy

Lež mezi je ternární relace Bxyz , což znamená, že y "leží mezi" x a z . Jinými slovy, že y je bod na xz . (V tomto případě jsou zahrnuty konce, to znamená, jak z axiomů vyplyne, Bxxz je pravda).

Kongruence je vztah tetrády wx ≡ yz , což znamená, že segment wx je shodný se segmentem yz ; jinými slovy, že délka wx se rovná délce yz .

Axiomy

Reflexivita kongruence: $xy\equiv yx\,.$

Kongruenční identita: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Tranzitivita kongruence: $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Vztah identity leží mezi: $Bxyx\rightarrow x=y.$

To znamená, že jediným bodem na úsečce je samotný bod .

xx

X

Axiom Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Dvě úhlopříčky konvexního čtyřúhelníku se musí v určitém bodě protnout.

xuvy

Schéma axiomů spojitosti. Nechť a být formule prvního řádu bez volných proměnných a nebo b . Nechť také neexistují žádné volné proměnné v nebo v . Pak jsou všechny výrazy následujícího typu axiomy: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $X$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

To znamená, že pokud a popíšeme dvě množiny bodů paprsku s vrcholem a , z nichž první je nalevo od druhé, pak je mezi těmito množinami bod b .

\phi(x)

\psi (y)

Dolní hranice rozměrů : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

To znamená, že existují tři nekolineární body. Bez tohoto axiomu lze teorie modelovat pomocí jednorozměrné reálné čáry, jediného bodu nebo dokonce prázdné množiny .

Horní hranice rozměru : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

To znamená, že jakékoli tři body stejně vzdálené od dvou různých bodů leží na přímce. Bez tohoto axiomu lze teorii modelovat ve vícerozměrném (včetně trojrozměrného ) prostoru.

Axiom o pátém segmentu: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

To znamená, že pokud jsou segmenty 4 označených párů na dvou obrázcích vpravo stejné, pak jsou segmenty v pátém páru stejné.

Vytvoření segmentu: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

To znamená, že z jakéhokoli bodu v libovolném směru můžete odložit segment dané délky.

Poznámky

↑ Tarski, Alfred (1959), Co je elementární geometrie?, v Leon Henkin, Patrick Suppes a Alfred Tarski, Axiomatická metoda. Se zvláštním zřetelem na geometrii a fyziku. Sborník příspěvků z mezinárodního sympozia konaného na Univ. Kalifornie, Berkeley, prosinec 26. ledna 1957. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, str. 4, 1958. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Odkazy

Beklemishev L. D. Elementární geometrie z hlediska logiky. přednášky Letní školy "Moderní matematika", 20.-23.7.2014.