Začátky (Euclid)

Začátky
jiná řečtina Στοιχεῖα

Benátské vydání, 1505
Autor Euklides
Původní jazyk starověké řečtiny
Originál publikován 3. století před naším letopočtem E.
Logo Wikisource Text ve Wikisource
Text na webu třetí strany ​(  anglicky  )
Text na webu třetí strany ​(  anglicky) Text  na webu
třetí
strany
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

"Počátky" ( řecky Στοιχεῖα , lat.  Elementa ) je hlavní dílo Euklida , napsané kolem roku 300 př.n.l. E. a oddaný systematické konstrukci geometrie a teorii čísel . Je považována za vrchol starověké matematiky , výsledek jejího třísetletého vývoje a základ pro další výzkum. The Elements, spolu se dvěma díly Autolycus of Pitana  , je nejstarší ze starověkých matematických děl, které sestoupily až do současnosti; všechna díla Euklidových předchůdců jsou známa pouze z odkazů a citací pozdějších komentátorů.

„Počátky“ měly obrovský vliv na vývoj matematiky až do moderní doby , vysokou intelektuální úroveň díla a jeho zásadní význam pro vědu jako celek si všímají klíčoví vědci naší doby [2] . Kniha byla přeložena do mnoha jazyků světa, co do počtu dotisků „Počátků“ nemají mezi světskými knihami obdoby.

Historie

Proclus hlásí (s odkazem na Eudema ), že podobné spisy byly napsány před Euklidem: Prvky byly napsány Hippokratem z Chiu , stejně jako platoniky Leontesem a Theeudiusem . Ale tyto spisy se zjevně ztratily ve starověku.

Text „Počátků“ byl po staletí předmětem diskusí a byly k nim napsány četné komentáře. Z antických komentářů se zachoval text Prokla [3] , který je nejdůležitějším pramenem k dějinám a metodologii řecké matematiky. Proclus v ní podává stručné shrnutí historie řecké matematiky (tzv. „Eudemic katalog geometers“), diskutuje o vztahu mezi Euklidovou metodou a Aristotelovou logikou a roli představivosti v důkazech. Mezi starověké komentátory patří Theon z Alexandrie , Pappus z Alexandrie ; hlavními renesančními komentátory  jsou Pierre de la Ramais [4] , Federigo Commandino [5] , Christoph Schlussel (Clavius) [6] a Henry Saville .

Obsah

Planimetrie , geometrie těles , aritmetika , teorie čísel , vztahy Eudoxus jsou vysvětleny v Elementech . V Heibergově klasické rekonstrukci se celé dílo skládá ze 13 knih. K nim se tradičně připojují dvě knihy o pěti pravidelných mnohostěnech připisovaných Hypsiklovi z Alexandrie a škole Isidora z Milétu .

Prezentace v Elementech je přísně deduktivní . Každá kniha začíná definicemi. V první knize jsou definice následovány axiomy a postuláty. Pak následují věty, které se dělí na problémy (ve kterých je třeba něco postavit) a věty (ve kterých je třeba něco dokázat). Definice, axiomy, postuláty a výroky jsou číslovány, například odkaz " I, Definitions, 2 " je druhou definicí z první knihy. Ve 13 knihách "Počátků" [7] je 130 definic, 5 postulátů, 5 (z hlediska vydání - 9) axiomů, 16 lemmat a 465 vět (včetně konstrukčních problémů) .

První kniha

První kniha začíná definicemi, z nichž prvních sedm ( I, Definice, 1-7 ) zní:

  1. Bod je to, co nemá žádné části. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν  - lit. "Bod je to, jehož součástí není nic")
  2. Čára je délka bez šířky.
  3. Okraje čáry jsou tečky.
  4. Přímka je přímka, která leží rovnoměrně ve všech jejích bodech. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημεκεις ) ι
  5. Povrch je ten, který má pouze délku a šířku.
  6. Okraje povrchu jsou čáry.
  7. Rovná plocha je taková, která leží rovnoměrně na všech svých liniích.

Renesanční komentátoři raději říkali, že bod je místo bez rozšíření. Moderní autoři si naopak uvědomují nemožnost definovat základní pojmy, zejména takový je přístup v Hilbertových Základech geometrie [8] .

Pro definice cituje Euclid postuláty ( I, Postulates, 1-5 ):

  1. Čáru lze nakreslit z libovolného bodu do libovolného bodu.
  2. Ohraničená čára může být plynule prodloužena podél přímky.
  3. Kruh lze popsat z libovolného středu s libovolným poloměrem.
  4. Všechny pravé úhly jsou si navzájem rovné.
  5. Jestliže přímka protínající dvě přímky tvoří vnitřní jednostranné úhly menší než dvě úsečky, pak se tyto dvě přímky, prodloužené na neurčito, setkají na straně, kde jsou úhly menší než dvě úsečky.

Poslední postulát Euklidovy axiomatiky – slavný pátý postulát – mezi ostatními intuitivně zřejmými postuláty vypadá cize. Jeho těžkopádná formulace vyvolává určitý pocit protestu, touhu najít pro něj důkaz a vyřadit ho ze seznamu axiomů. O takové důkazy se pokusili již ve starověku Ptolemaios a Proklos ; a v moderní době se z těchto pokusů vyvinula neeuklidovská geometrie . Prvních 28 teorémů Knihy I odkazuje na absolutní geometrii , to znamená, že se nespoléhají na V postulát.

Na postuláty navazují axiomy ( I, Axiomy, 1-9 ), které mají charakter obecných tvrzení, která platí stejně pro čísla i spojité veličiny:

  1. Rovní se jednomu a stejní jsou si navzájem rovni.
  2. A pokud se rovná se sečte s rovným, bude se rovnat celek.
  3. A pokud se rovní odečítají od rovných, pak se budou rovnat i zbytky.
  4. (A pokud se k nerovným přidají rovná, pak se celá čísla rovnat nebudou.)
  5. (A dvojníci téhož jsou si rovni.)
  6. (A poloviny téhož jsou stejné.)
  7. A ty, které jsou vzájemně kombinovány, jsou si navzájem rovny.
  8. A celek je větší než část.
  9. (A dva řádky neobsahují mezeru.)

V závorkách jsou brány axiomy, jejichž příslušnost Euklidu Geibergovi, autorovi klasické rekonstrukce textu „Počátků“, považována za pochybnou. Postuláty 4-5 ( I, Postuláty, 4-5 ) fungují jako axiomy v řadě seznamů ( I, Axiomy, 10-11 ).

Po axiomech následují tři věty, což jsou konstrukční problémy, které byly dlouho kontroverzní. Takže druhý z nich ( I, Propositions, 2 ) je navržen "z daného bodu odložit přímku rovnou dané přímce." Netriviálnost tohoto problému spočívá v tom, že Euklides nepřevádí segment na přímku s odpovídajícím řešením kompasu, protože takovou operaci považuje za nezákonnou, a používá třetí postulát ( I, Postulates, 3 ) v nečekaně úzkém smyslu.

Při dokazování čtvrté věty ( I, Návrhy, 4 ), která vyjadřuje kritérium rovnosti trojúhelníků, Euklides používá metodu superpozice, která není v postulátech a axiomech nijak popsána. Všichni komentátoři tuto mezeru zaznamenali, Hilbert nenašel nic lepšího, než udělat ze znaku rovnosti trojúhelníků na třech stranách ( I, Tvrzení, 8 ) axiom III-5 ve svém systému. Na druhou stranu čtvrtý postulát ( I, Postulates, 4 ) je dnes již běžně dokazován, jak to poprvé udělal Christian Wolff [9] , Hilbert toto tvrzení odvozuje z axiomů kongruence [10] .

Poté jsou uvažovány různé případy rovnosti a nerovnosti trojúhelníků; věty o rovnoběžkách a rovnoběžkách; tzv. „lokální“ věty o rovnosti ploch trojúhelníků a rovnoběžníků na stejné základně a pod stejnou výškou. Kniha I končí Pythagorovou větou .

Knihy II–XIII

Kniha II  - věty tzv. "geometrické algebry".

III kniha  - návrhy o kružnicích , jejich tečnách a tětivách , středových a vepsaných úhlech .

Kniha IV  - návrhy na vepsaných a opsaných mnohoúhelníků , na konstrukci pravidelných mnohoúhelníků .

Kniha V  je obecná teorie vztahů vyvinutá Eudoxem z Cnidu .

VI kniha  - nauka o podobnosti geometrických obrazců. Tato kniha dokončuje euklidovskou planimetrii .

Knihy VII, VIII a IX jsou věnovány teoretické aritmetice. Euclid považuje výhradně přirozená čísla za čísla ; pro něj "Číslo je sbírka jednotek." Je zde uvedena teorie dělitelnosti a proporcí , je dokázána nekonečnost množiny prvočísel , uveden Euklidův algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel, sestavena dokonce dokonalá čísla . Euclid také dokazuje vzorec pro součet geometrické posloupnosti .

Kniha X  je klasifikace nesouměřitelných veličin. Toto je nejobsáhlejší z knih "Počátky".

XI kniha  - počátky stereometrie: věty o vzájemném uspořádání přímek a rovin; věty o prostorových úhlech , objemu rovnoběžnostěnu a hranolu , věty o rovnosti a podobnosti rovnoběžnostěnu.

XII kniha  - teorémy o pyramidách a kuželech ověřené metodou vyčerpání . Zde je například dokázána věta, že objem kužele je jedna třetina objemu válce se stejnou základnou a výškou.

XIII kniha  - konstrukce pravidelných mnohostěnů ; důkaz, že existuje přesně pět pravidelných mnohostěnů.

Euclid nikde v knize neodkazuje na jiné řecké matematiky, i když nepochybně spoléhá na jejich výsledky. Historici vědy [11] [12] ukázali, že prototypem Euklidova díla byly dřívější spisy starověkých matematiků:

Otázka, zda „Prvky“ obsahují nějaké výsledky samotného Euklida, nebo šlo autorovi pouze o systematizaci a sjednocení nashromážděných poznatků, je předmětem diskuse. Existuje předpoklad, že algoritmus pro konstrukci pravidelného 15-úhelníku vyvinul Euclid; pravděpodobně také provedl výběr a konečnou formulaci axiomů a postulátů [13] .

Celkově obsah „Principů“ pokrývá významnou část antické teoretické matematiky. Některý materiál známý starořeckým matematikům však zůstal mimo tuto práci - například kuželosečky (těm Euklides věnoval samostatnou práci, která se nedochovala), obvod , teorie přibližných výpočtů .

Vzájemné závislosti knih

Číslo knihy Závislost na jiných knihách [7]
jeden Nezávislý
2 kreslí podle knihy 1
3 Na základě knihy 1 a vět 5, 6 knihy 2
čtyři Spoléhá na Knihy 1, 3 a Proposition 11 z Knihy 2
5 Nezávislý
6 Na základě knih 1, 5 a vět 27 a 31 knihy 3
7 Nezávislý
osm Na základě definic z knih 5, 7
9 Na základě knih 7, 8 a vět 3, 4 knihy 2
deset Spoléhá na knihy 5, 6; věty 44, 47 z knihy 1
věta 31 z knihy 3
věty 4, 11, 26 z knihy 7
věty 1, 24, 26 z knihy 9
jedenáct Spoléhá na knihy 1, 5, 6, větu 31 z knihy 3 a větu 1 z knihy 4
12 Spoléhá na knihy 1, 3, 5, 6, 11, věty 6, 7 z knihy 4 a větu 1 z knihy 10
13 Spoléhá na knihy 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11 a větu 4 z knihy 2

Kritika

Na svou dobu a až do (přibližně) 19. století byly Prvky považovány za model logického výkladu matematické teorie. Struktura děl Descarta , Newtona a dokonce Spinozy byla modelována podle „Principů“. Nicméně již ve starověku byly některé nedostatky Euklidova díla kriticky zaznamenány - například Archimedes odůvodnil potřebu přidat " Axiom Archimedes " (který formuloval Eudox , který žil před Euklidem). Postupem času se počet uznaných nedostatků postupně zvyšoval. Moderní pohledy na zdůvodnění, obsah a metody geometrie i aritmetiky se výrazně liší od těch starověkých [14] .

Za prvé, přímka je nyní chápána jako čára nekonečné délky. Starověcí vědci se zcela vyhnuli konceptu skutečného nekonečna , Euclid všude používá pouze konečné úsečky [15] . Zřejmě z tohoto důvodu je Euklidův postulát rovnoběžnosti formulován poněkud těžkopádně – má však lokální charakter, to znamená, že popisuje událost na omezeném úseku roviny, zatímco např. Proklův axiom („pouze jedna přímka rovnoběžná k danému prochází bodem mimo přímku“ ) prosazuje skutečnost rovnoběžnosti, která vyžaduje zohlednění celé nekonečné přímky [16] . Dalším archaickým rysem Živlů je omezení pouze na dva typy křivek – přímky a kružnice, které Řekové považovali za jediné dokonalé [17] , a také příliš úzké pojetí čísla, které nezahrnovalo iracionální čísla a proto donutil starověké matematiky zbytečně zavádět paralelu s aritmetikou, počet „geometrických veličin“ („geometrická algebra“, kniha II „Počátky“) [18] .

Mnoho komentátorů Euklida poznamenalo, že jimi uváděné definice geometrických pojmů jsou prázdné a nevytvářejí nic jiného než vizuální obraz – například „čára je délka bez šířky“. Ve skutečnosti se takové „definice“ nikde jinde v textu nepoužívají, nevychází z nich ani jedna věta [14] . Jak bylo uvedeno výše, Euklidův IV postulát o rovnosti všech pravých úhlů se ukázal jako nadbytečný , lze jej dokázat jako větu [19] [20] .

Dále, podle návrhu musí všechny důkazy teorémů vyplývat z explicitně formulovaných axiomů. Ve skutečnosti se mnoho Euklidových faktů opírá o předpokládané nebo vizuální důkazy. Především se to týká konceptu pohybu , který se implicitně používá na mnoha místech - například při překrývání trojúhelníků k prokázání znaků jejich rovnosti. Tuto skutečnost již Proclus zaznamenal jako významnou metodologickou mezeru. Euklides neuvedl axiomy pohybu, snad proto, aby nedošlo k záměně vysoké geometrie s „nízkou“ mechanikou. Moderní autoři axiomatiky poskytují zvláštní skupinu „ axiomů kongruence “ [21] [22] .

Již v důkazu úplně prvního tvrzení („rovnostranný trojúhelník lze postavit na libovolném segmentu“) Euklides implikuje, že dvě kružnice o poloměru R , jejichž středy jsou ve vzdálenosti R , se protínají ve dvou bodech. To nevyplývá z žádných axiomů [23] ; pro logickou úplnost bychom měli přidat axiom spojitosti . K podobným opomenutím dochází u průsečíku přímky a kružnice [24] , při použití nedefinovaného pojmu „být mezi“ (pro body) a na řadě dalších míst. Euklidova axiomatika neumožňuje např. dokázat, že neexistuje žádná přímka procházející všemi třemi stranami trojúhelníku.

Četní komentátoři Euklida dělali opakované pokusy napravit zaznamenané nedostatky - množství axiomů bylo zvýšeno, formulace a důkazy byly očištěny [14] . Někteří komentátoři (například Theon z Alexandrie a Christopher Clavius ) provedli své opravy přímo do euklidovského textu při přetištění. Revidovaná a výrazně rozšířená verze axiomatiky navržená Pierrem Erigonem v roce 1632 byla neúspěšná [25] . Prvním velkým počinem v tomto směru byla monografie Přednášky o nové geometrii od německého matematika Moritze Pascha (1882) [26] . Dokončením byla Hilbertova moderní axiomatika pro geometrii (1899). Ten, stejně jako jeho různé variace, je logicky úplný a nikde není založen na intuitivním důkazu [27] .

Jeden z nejdůležitějších objevů 19. století byl objev a studium souhlasných neeuklidovských geometrií ; ukázalo, že převládající použití v praxi euklidovské geometrie neznamená, že tato geometrie je jediná možná.

Rukopisy a edice

Řecký text pro "Začátek"

Během vykopávek starověkých měst bylo nalezeno několik papyrů obsahujících malé fragmenty „počátků“ Euklida. Nejznámější byl nalezen ve "městě papyrů" Oxyrhynchus v letech 1896 - 1897 a obsahuje formulaci jednoho z výroků druhé knihy s kresbou ( II, Návrhy, 5 ) [28] .

Řecký text Euklidových živlů je znám z byzantských rukopisů, z nichž dva nejznámější jsou uloženy v Bodleian Library [29] a Vatikánské apoštolské knihovně (dvoudílný vatikánský rukopis) [30] .

Na jejich základě a také s přihlédnutím k arabským překladům „Počátků“ (datovaných do 9. století a později) původní text rekonstruoval koncem 19. století dánský historik vědy Geiberg , jeho metody jsou podrobně popsal Thomas Heath [31] . Geiberg použil ve své rekonstrukci 8 řeckých rukopisů datovaných moderními badateli z 9.-11. století. Sedm z těchto rukopisů je ve svých názvech označeno „z Theonova vydání “ nebo „z Theonových přednášek“, a proto se nazývají Theonovy. Vatikánský rukopis žádnou takovou značku nemá a Theon jej považuje za neupravený. Theonské rukopisy se od sebe liší a existuje jen málo společných rysů, které je odlišují od vatikánského rukopisu (nejvýznamnější je konec knihy IV). Na okrajích rukopisů jsou četné komentáře, částečně převzaté z těch Proklových, které zapadají Elementy do kontextu řecké kultury, například se uvádí, že Pythagoras, když objevil jeho teorém, obětoval býky.

Historie získávání byzantských rukopisů je nejasná. Do Evropy se pravděpodobně dostaly již v 16. století, ale nebyly publikovány. První vydání řeckého textu, které provedl Johann Herwagen v letech 1533 až 1558, editoval Simon Gryner (aka Grynaeus, profesor řečtiny na univerzitě v Basileji ), používá rukopisy, které jsou podle Heiberga špatnými kopiemi 16. . Teprve v roce 1808, během napoleonského vyvlastňování, našel Peyrard v Římě tři rukopisy a mezi nimi ten nejdůležitější, dvousvazkový vatikánský rukopis.

Latinský text "Začátek"

V Evropě byly „počátky“ Euklida v latině dobře známé jak ve středověku , tak v renesanci , ale zdaleka ne ve své obvyklé formě. Středověká latinská pojednání obsahující fragmenty Euklidových Prvků zkatalogizoval mnichovský učenec Volkerts [32] , který rozdělil rukopisy do následujících skupin:

  1. Takzvaná "Geometrie Boethia " (ve skutečnosti Boethius pojednání nepatří). Pojednání této skupiny začínají slovy „Incipit Geometriae Boetii“, mají řadu společných znaků, i když se jejich texty výrazně liší. Text zabírá pět nebo šest ručně psaných listů. Neexistuje žádný doklad o návrzích, ale existují ilustrace s dodatečnými konstrukcemi. Někdy jsou důkazy opatřeny pouze prvními třemi teorémy. První definici předchází tvrzení, že základem geometrie je měření délek, výšek a šířek, načež euklidovské definice nabývají jiného významu, např. úsečka je objekt, jehož délka se měří, ale šířka ne atd. Jazyk nebyl ovlivněn arabštinou, proto je geometrie Boethia považována za přímý překlad z řečtiny do latiny. Byl publikován rukopis z Lüniburgu [33] .
  2. Adelardova „Geometrie“ je velká třída rukopisů napsaných různými autory v různých časech. Největší podskupina, nazvaná „Adelard II“, obsahuje všech 15 knih Euklidových „Počátků“, nicméně bezpečnost rukopisů je taková, že si na to člověk musí dávat pozor. Charakteristickým znakem je přítomnost korektur a u nejlepších rukopisů korektury předcházejí výkladu (enunciatio); některé důkazy jsou uvedeny podrobně, jiné jsou pouze nastíněny. Některé z expozic ( enunciatio ) v Adelardovi II doslovně reprodukují Boethia, jiné jsou formulovány odlišně, často s arabskými ekvivalenty místo latinských termínů. Text se značně liší rukopis od rukopisu (v knihách VII-IX a XI-XIII se liší zejména korektury), takže ve středověku neexistoval kanonický text pro Adelarda II., který byl neustále doplňován a vylepšován. Sluší se zdůraznit, že důkazy se liší způsobem vyjádření, nikoli však matematickou podstatou. V průběhu dvanáctého století se pracovalo na vylepšení důkazů.
  3. "Geometrie" Campanus  je komplex rukopisů 13.-15. století. V této verzi jsou „Prvky“ velmi podobné byzantským rukopisům a lze je považovat za poměrně přesný překlad, který však obsahuje arabské výrazy (například rovnoběžnostěn se nazývá „belmaui“). Tato edice se skládá z 15 knih, znění vět se blíží Adelardovi II., ale důkaz následuje po prezentaci. V názvu rukopisů jsou obvykle identifikováni Euclid, autor Elementů, a filozof Euclid z Megary , žák Sokrata .

Tištěná vydání Euclid's Elements jsou katalogizována Thomasem-Stanfordem [34] . První tištěné vydání Principia [35] vytvořil Erhard Ratdolt v Benátkách v roce 1482 a reprodukoval Principia v Campanově úpravě. Další vydání nekopírovalo to první, provedl ho Bartolomeo Zamberti v roce 1505 . Z předmluvy je známo, že Zamberti přeložil řecký rukopis, který zprostředkovává „počátky“ při zpracování Theona, Heiberg ho však nedokázal identifikovat.

V 16. století se věřilo, že Euclid patřil pouze k formulaci teorémů, zatímco důkazy byly vynalezeny později; edice Principia bez korektur a edice srovnávající důkazy Campany a Zambertiho [36] byly rozšiřovány . Tento názor měl zcela pevný základ: na počátku 16. století byla vydána geometrie Boethius [37] , což byl také překlad Euklidových Prvků, ale toto vydání neobsahovalo důkaz. Také se věřilo, že použití doslovné notace v důkazech předpokládá obeznámenost s doslovnou algebrou. Tento názor byl odmítnut v 17. století.

Ruské překlady

První vydání „Počátků“ v ruštině vyšlo v roce 1739; kniha vyšla v Petrohradě pod názvem „Euklidovské prvky z dvanácti neftonských knih vybraných a do osmi knih prostřednictvím profesora matematiky Andreje Farkhvarsona, zkráceně, z latiny do ruštiny přeložil chirurg Ivan Satarov“ [38] . Překlad provedl Ivan Satarov pod vedením skotského matematika Henryho Farvarsona , který v té době sloužil v ruském námořním sboru [39] . Jméno Newton ("Nefton") v názvu je uvedeno buď nedorozuměním, nebo pro reklamní účely nemá s obsahem knihy nic společného. Překlad byl vytvořen ze zkráceného a modernizovaného francouzského vydání „Počátků“ od Andre Taquea , kam překladatelé přidali řadu číselných příkladů a kritických komentářů [38] [40] .

O něco později vyšly další 2 překlady, také zredukované na 8 knih:

Téměř kompletně (kromě knihy X) "Počátky" v ruštině vyšly v překladu Fomy Petruševského [41] : knihy 1-6 a 11-13 v roce 1819, knihy 7-9 v roce 1835 [42] . V roce 1880 vyšel překlad Vashchenko-Zacharčenka [43] . Další zkrácený překlad vyšel v Kremenčugu (1877) pod názvem „Osm knih Euklidovy geometrie“; překlad pod vedením A. A. Sokoviče (1840-1886), ředitele místní reálné školy, provedli dva žáci této školy [44] .

Poslední kompletní akademické vydání vyšlo v letech 1949-1951, přeloženo z řečtiny a komentářem Dmitrije Mordukhaie-Boltovského .

Světová distribuce

V 9.-10. století přeložili učenci z bagdádského domu moudrosti „Počátky“ do arabštiny; tato kniha se proslavila v zemích islámu, byla opakovaně přetištěna s komentáři hlavních matematiků, včetně Yehudy Alkharisiho a ibn Malika .

V 11. století přeložil Grigor Magistros „Počátky“ z řečtiny do arménštiny [45] .

V 11.-12. století se v Evropě objevily první latinské překlady Euklida. První tištěné vydání Principia vyšlo krátce po vynálezu tisku , v roce 1482.

V čínštině vyšlo prvních 6 knih „Počátků“ Matteo Ricci během své mise v Číně (1583-1610). Kompletní překlad britského misionáře Wiley vyšel s pochvalnou předmluvou Zeng Guofana , napsanou v roce 1865.

Viz také

Publikace textu "Začal"

Poznámky

  1. ↑ Russell, Bertrand. Historie západní filozofie: Sběratelská edice . - Routledge, 2013. - S. 177. - ISBN 978-1-135-69284-1 . Archivováno 6. května 2021 na Wayback Machine
  2. ↑ „Toto nejúžasnější myšlenkové dílo dodalo lidské mysli sebevědomí, které bylo nezbytné pro její následnou činnost. Není zrozen pro teoretické bádání, kdo v mládí tento výtvor neobdivoval. Einstein A. Fyzika a realita. M.: 1965, str. 62.
  3. ↑ Proclus Diadochus. Com. k Euklidovi I. Úvod. Překlad Yu. A. Shichalin Archivováno 6. ledna 2007.
  4. ↑ "R. Rami Scholarum mathematicarum libri unus et triginta" ( Frankfurt , 1559 ; Basilej , 1569)
  5. ↑ Euclidis Elementorum libri XV una cum scholiis antiquis ( 1572 )
  6. ↑ Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis ( 1574 )
  7. ↑ 1 2 Carrera, 2015 , str. 47-49.
  8. ↑ Hilbert D. Základy geometrie. M.-L.: OGIZ, 1948. Esej začíná slovy: „Myslíme na tři různé systémy věcí: věci prvního systému nazýváme body a označujeme A , B , C  ...“
  9. ↑ Ch. wolfius . Compedium elementaris Matheseos. Venetiis, 1713; viz také komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského k „počátkům“ Euklida, sv. 1-6 (M.-L., 1950, str. 242)
  10. ↑ D. Gilbert . Základy geometrie, věta 21.
  11. ↑ Van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. Archivováno 27. března 2009 na Wayback Machine Z holandštiny přeložil I. N. Veselovský. Moskva: Fizmatgiz, 1959, 456 s.
  12. ↑ Sabo L. O proměně matematiky v deduktivní vědu a počátku jejího zdůvodnění // Historický a matematický výzkum . - M .: Fizmatgiz , 1959. - č. 12 . - S. 321-392 .
  13. ↑ Rozhansky I.D. Antická věda. - M .: Nauka, 1980. - S. 132-134. — 198 s. — (Dějiny vědy a techniky).
  14. ↑ 1 2 3 Raševskij, 1948 , str. 13-15.
  15. ↑ Carrera, 2015 , str. 65, 80.
  16. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty . - M .: Mir, 1984. - S.  169 .
  17. ↑ Komentáře, 1948 , str. 233-234.
  18. ↑ Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  19. ↑ Komentáře, 1948 , str. 242.
  20. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 226-248.
  21. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 257-264.
  22. ↑ Komentáře, 1948 , str. 251-252.
  23. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 256.
  24. ↑ Carrera, 2015 , str. 68.
  25. ↑ Komentáře, 1948 , str. 249.
  26. ↑ Raševskij, 1948 , s. dvacet.
  27. ↑ Raševskij, 1948 , s. 23.
  28. ↑ Papyrus z Oxyrhynchus . Získáno 23. 5. 2013. Archivováno z originálu 5. 3. 2016.
  29. ↑ MS D'Orville 301 Archivováno 20. února 2016 na Wayback Machine , Bodleian Library, Oxford
  30. ↑ MS Vaticano, číslo 190, 4to
  31. ↑ Thomas L. Heath Třináct knih Euklidových prvků, přeloženo z textu Heiberga, s úvodem a komentářem . sv. 1 . Získáno 29. dubna 2011. Archivováno z originálu 1. května 2008.
  32. ↑ Euklidovy prvky ve středověku, M. Folkerts . Získáno 24. července 2007. Archivováno z originálu dne 2. dubna 2021.
  33. ↑ Ein neuer Text des Euclides Latinus . Získáno 18. března 2014. Archivováno z originálu 19. března 2014.
  34. ↑ Raná vydání Euklidových prvků od Charlese Thomase-Stanforda
  35. ↑ "Počátky", první tištěné vydání, 1482 . Získáno 24. července 2007. Archivováno z originálu 30. září 2013.
  36. ↑ První takové vydání bylo vydání Lefebvre v roce 1516. "Počátky" publikované v roce 1558 jsou k dispozici online . Archivní kopie ze dne 15. května 2013 na Wayback Machine .
  37. ↑ Toto vydání je popsáno ve druhém díle " Geschichte der Mathematik  (nepřístupný odkaz) " od A. Kestnera
  38. ↑ 1 2 Rybnikov K. Ruská vydání Euklidových „Počátků“. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1941, č. 9, s. 318-321.
  39. ↑ Farvarson // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
  40. ↑ Yushkevich A.P. O prvním ruském vydání děl Euklida a Archimeda // Sborník Ústavu dějin přírodních věd a techniky. - M . : Akademie věd SSSR, 1948. - Vydání. 2 . - S. 567-572 .
  41. ↑ Petruševskij, Foma Ivanovič // Encyklopedický slovník Brockhausův a Efronův  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
  42. ↑ Vygodsky, 1948 , s. 218.
  43. ↑ „Principy Euklida“ ve Wikisource , přeložil M. E. Vashchenko-Zacharčenko
  44. ↑ Depman I. Ya. Zapomenuté vydání Euklidových „Začátků“ v ruštině // Historický a matematický výzkum . - M. - L .: GITTL, 1950. - č. 3 . - S. 474-485 .
  45. ↑ A.P. Juškevič . Dějiny matematiky od nejstarších dob do počátku 19. století. - M .: Nauka, 1970. - T. 1. - S. 251.

Literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Matematika ve starověkém Řecku
Matematici
Pojednání
Pod vlivem
Vliv
tabulkyChronologická tabulka řeckých matematiků
Úkoly