Základy geometrie

Základy geometrie je odvětví matematiky, které studuje axiomatické systémy Euclidean geometrie , stejně jako různé non-Euclidean geometries. Hlavními otázkami jsou úplnost , nezávislost a konzistence axiomatických systémů. Se základy geometrie souvisí i problematika výuky geometrie.

Historie

Základy geometrie začaly být studovány po příchodu Lobachevsky geometrie . Prvním úkolem byla formalizace a dokončení systému axiomů euklidovské geometrie .

Euclidova axiomatika nebyla úplná a ve svých důkazech Euclid implicitně používal axiómy, které nejsou uvedeny v jeho seznamu axiomů. Euklides například bez důkazu použil, že dvě kružnice se středem ve vzdálenosti jejich poloměru se protínají ve dvou bodech.

Mezi implicitně používané axiomy patří následující:

• Archimédův axiom ,
• Pašova věta ,
• Axiom Paša .

Moritz Pasha by měl být považován za zakladatele základů geometrie . Ve své knize Vorlesungen über neuere Geometrie, publikované v roce 1882, Pasch vytvořil formální systémy bez jakýchkoli intuitivních vlivů. Jako první použil vedle axiomů ( německy Kernsätzen ) takzvaný „ nedefinovatelný pojem “ ( německy  Kernbegriffe ). Pasha práce ovlivnila mnoho jiných matematiků, pozoruhodně Hilbert , Peano , a Pieri .  

Euklidovy axiomy

Euklidova axiomatika je prvním a neúplným systémem. Skládal se z definic

1. Bod je to, co nemá žádné části. ( Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν - lit. "Bod je to, jehož součástí není nic")
2. Čára je délka bez šířky.
3. Okraje čáry jsou tečky.
4. Přímka je přímka, která leží rovnoměrně ve všech jejích bodech. ( Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημεκεις ) ι
5. Povrch je ten, který má pouze délku a šířku.
6. Okraje povrchu jsou čáry.
7. Rovná plocha je taková, která leží rovnoměrně na všech svých liniích.

a postuláty

1. Čáru lze nakreslit z libovolného bodu do libovolného bodu.
2. Ohraničená čára může být plynule prodloužena podél přímky.
3. Kruh lze popsat z libovolného středu s libovolným poloměrem.
4. Všechny pravé úhly jsou si navzájem rovné.
5. Jestliže přímka protínající dvě přímky tvoří vnitřní jednostranné úhly menší než dvě úsečky, pak se tyto dvě přímky, prodloužené na neurčito, setkají na straně, kde jsou úhly menší než dvě úsečky.

Kompletní systémy axiomů

• Hilbertova axiomatika je nejpopulárnější a nejkonzervativnější úplný systém axiomů euklidovské geometrie, vybudovaný na základě Euklidových axiomů. Skládá se z 20 axiomů a je rozdělen do 5 skupin.
• Tarského axiomatika .
• Weilova axiomatika - operuje s nedefinovanými pojmy bodu a volného vektoru. Přímka a rovina jsou definovány jako množiny bodů.
• Birkhoffovy axiomy jsou systémem axiomů, který používá reálná čísla jako hotový blok a ve výsledku je velmi kompaktní, pouze 4 axiomy.
• Bachmannova axiomatika je konstrukce geometrie založená na konceptu symetrie. [jeden]
• Alexandrovova axiomatika je systém axiomů podobný Hilbertově, ale bez přílišné formalizace.

Poznámky

1. ↑ Friedrich Bachmann. Konstrukce geometrie na základě konceptu symetrie. — 1969.

Literatura

• Aleksandrov A.D. Základy geometrie. — 1987.
• Hilbert D. Základy geometrie. - 1948. - (Klasika přírodních věd. Matematika, mechanika, fyzika, astronomie).
• N. V. Efimov. vyšší geometrie. - 7. vyd. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0267-2 .
• Norden A. P. (ed.). Na základech geometrie. Sbírka klasických děl o Lobačevského geometrii. - GITTL, 1956. - (Klasici přírodních věd, Kniha 113).
• Pogorelov A.V. Základy geometrie. - Věda, 1979.