Historie matematiky

Historie matematiky
Hlavní téma matematika
Web Stack Exchange hsm.stackexchange.com
 Mediální soubory na Wikimedia Commons
Dějiny vědy
Podle tématu
Matematika
Přírodní vědy
Astronomie
Biologie
Botanika
Zeměpis
Geologie
půdní věda
Fyzika
Chemie
Ekologie
Společenské vědy
Příběh
Lingvistika
Psychologie
Sociologie
Filozofie
Ekonomika
Technika
Počítačové inženýrství
Zemědělství
Lék
Navigace
Kategorie

Tento článek je přehledem hlavních událostí a trendů v historii matematiky od starověku až po současnost.

V historii matematiky existuje několik klasifikací historie matematiky, podle jedné z nich se rozlišuje několik fází vývoje matematických znalostí:

  1. Formování pojmu geometrického útvaru a čísla jako idealizace reálných objektů a souborů homogenních objektů. Vznik počítání a měření, které umožnilo porovnávat různá čísla, délky, plochy a objemy.
  2. Vynález aritmetických operací. Empirická akumulace (pokusem a omylem) znalostí o vlastnostech aritmetických operací, o metodách měření ploch a objemů jednoduchých obrazců a těles. Sumero-babylonští , čínští a indičtí matematici starověku pokročili v tomto směru daleko .
  3. Ve starověkém Řecku se objevil deduktivní matematický systém, který ukazoval, jak získat nové matematické pravdy na základě těch existujících. Euklidovy prvky , které hrály roli standardu matematické přísnosti po dvě tisíciletí, se staly vrcholným úspěchem starověké řecké matematiky .
  4. Matematici zemí islámu nejen zachovali starověké výdobytky, ale dokázali je také syntetizovat s objevy indických matematiků, kteří pokročili v teorii čísel dále než Řekové.
  5. V 16.–18. století se evropská matematika znovuzrodila a daleko pokročila. Jeho koncepčním základem v tomto období bylo přesvědčení, že matematické modely jsou jakousi ideální kostrou Vesmíru [1] , a proto objevování matematických pravd je zároveň objevováním nových vlastností reálného světa. Hlavním úspěchem na této cestě byl vývoj matematických modelů závislosti proměnných ( funkce ) a obecné teorie pohybu ( analýza infinitezimálů ). Všechny přírodní vědy byly přebudovány na základě nově objevených matematických modelů, což vedlo k jejich kolosálnímu pokroku .
  6. V 19. a 20. století se ukazuje, že vztah mezi matematikou a realitou není zdaleka tak jednoduchý, jak se dříve zdálo. Na jakousi „základní otázku filozofie matematiky “ [2] : najít důvod „nepochopitelné účinnosti matematiky v přírodních vědách“ [3] neexistuje žádná všeobecně přijímaná odpověď . V tomto, a nejen v tomto ohledu, se matematici rozdělili do mnoha diskutujících škol . Objevilo se několik nebezpečných trendů [4] : ​​příliš úzká specializace, izolace od praktických problémů atd. Síla matematiky a její prestiž podpořená efektivitou její aplikace jsou přitom vysoké jako nikdy předtím.

Kromě velkého historického zájmu má analýza vývoje matematiky velký význam pro rozvoj filozofie a metodologie matematiky. K pokroku konkrétních matematických disciplín často přispívá i znalost historie; například starověký čínský problém (teorém) o zbytcích tvořil celý oddíl teorie čísel – teorii kongruencí modulo [5] .

Vznik aritmetiky a geometrie

Matematika v systému lidského vědění je oddíl zabývající se takovými pojmy jako množství , struktura , poměr atd. Rozvoj matematiky začal vytvořením praktických umění počítání a měření čar , ploch a objemů .

Pojem přirozených čísel se utvářel postupně a komplikoval neschopnost primitivního člověka oddělit číselnou abstrakci od její konkrétní reprezentace. Výsledkem bylo, že účet na dlouhou dobu zůstal pouze materiálem - byly použity prsty, oblázky, značky atd. Archeolog B. A. Frolov dokládá existenci účtu již ve svrchním paleolitu [6] .

S rozšířením počítání na větší množství vznikl nápad počítat nejen po jednotkách, ale také takříkajíc po balíčcích jednotek obsahujících např. 10 předmětů. Tato myšlenka se okamžitě odrazila v jazyce a poté i v psaní. Princip pojmenování nebo zobrazení čísla (číslování) může být [7] :

Pro zapamatování výsledků účtu se používaly zářezy, uzly atd. S vynálezem písma se pro zkracování velkých čísel začala používat písmena nebo speciální ikony. S takovým kódováním byl obvykle reprodukován stejný princip číslování jako v jazyce.

Názvy čísel od dvou (zwei, dva, duo, deux, dvi, dva ...) do deseti, stejně jako desítky a číslo 100 v indoevropských jazycích jsou podobné. To naznačuje, že koncept abstraktního čísla se objevil velmi dávno, ještě před oddělením těchto jazyků. Při tvoření číslic u většiny národů zaujímá číslo 10 zvláštní postavení, takže je zřejmé, že počítání na prstech bylo rozšířeno. Odtud pochází všudypřítomná desítková číselná soustava . I když existují výjimky: 80 ve francouzštině je quatre-vingt (tj. 4 dvacet) a 90 je quatre-vingt-dix (4 * 20 + 10); toto použití se vrací k počítání na rukou a nohou. Podobně jsou uspořádány číslice dánského, osetského a abcházského jazyka. Počítání po dvaceti v gruzínštině je ještě jasnější. Sumerové a Aztékové, soudě podle jazyka, byli původně považováni za pětky.

Existují i ​​exotičtější možnosti. Babyloňané používali šestkový systém ve vědeckých výpočtech . A domorodci z ostrovů Torres Strait Islands - binární [7] :

Urapun (1); Okoza (2); Okoza-Urapun (3); Okoza-Okoza (4); Okoza-Okoza-Urapun (5); Okoza-Okoza-Okoza(6)

Když byl konečně zaveden koncept abstraktního čísla, dalším krokem se staly operace s čísly. Přirozené číslo  je idealizací konečné množiny homogenních, stabilních a nedělitelných objektů (lidí, ovcí, dnů atd.) [8] . Pro počítání potřebujete mít matematické modely tak důležitých událostí, jako je spojení několika množin do jedné nebo naopak oddělení části množiny. Takto se objevily operace sčítání a odčítání [9] . Násobení pro přirozená čísla se objevilo jako takříkajíc dávkové sčítání [10] . Vlastnosti a provázanost provozů byly odhalovány postupně.

Další důležitý praktický úkon – dělení na části – byl nakonec abstrahován do čtvrté aritmetické operace – dělení [11] . Rozdělení na 10 částí je obtížné, takže desetinné zlomky , vhodné pro složité výpočty, se objevily poměrně pozdě. První zlomky měly obvykle jmenovatele 2, 3, 4, 8 nebo 12. Například u Římanů byla standardním zlomkem unce (1/12). Středověké peněžní a měřicí systémy nesou jasný otisk starověkých nedesítkových systémů: 1 anglická pence \u003d 1/12 šilinku , 1 palec \u003d 1/12 stopy , 1 stopa \u003d 1/3 yardu atd.

Přibližně ve stejné době jako čísla člověk abstrahoval ploché a prostorové formy. Obvykle dostávali názvy skutečných předmětů jim podobných: například u Řeků „ rhombos “ znamená vrchol, „past“ – stůl ( lichoběžník ), „ koule “ – míč [12] .

Teorie měření se objevila mnohem později a často obsahovala chyby: typickým příkladem je falešná doktrína o rovnosti ploch obrazců s rovností jejich obvodů a naopak. To není překvapivé: jako měřící nástroj sloužilo měřící lano s uzly nebo značkami, takže bylo možné bez potíží měřit obvod a obecně neexistovaly žádné nástroje ani matematické metody pro určení plochy . Měření sloužila jako nejdůležitější aplikace zlomkových čísel a jako zdroj rozvoje jejich teorie.

Starověký východ

Egypt

Nejstarší egyptské matematické texty pocházejí z počátku 2. tisíciletí před naším letopočtem. E. Matematika se pak používala v astronomii, navigaci, zeměměřictví, při stavbě domů, přehrad, kanálů a vojenských opevnění. V Egyptě neexistovaly žádné peněžní platby, jako samotné peníze. Egypťané psali na papyrus, který se nedochoval, a proto je v současnosti o matematice Egypta mnohem méně znalostí než o matematice Babylonu nebo Řecka. Byl pravděpodobně lépe vyvinut, než si lze představit z dokumentů, které se k nám dostaly, což potvrzuje skutečnost, že řečtí matematici studovali s Egypťany [C 1] .

Hlavními dochovanými zdroji jsou Ahmesův papyrus alias Rinda papyrus (84 matematických problémů) a Moskevský Golenishchevův papyrus (25 problémů), oba z Říše středu , rozkvětu starověké egyptské kultury. Autoři textu jsou nám neznámí.

Všechny úkoly z Ahmesova papyru (napsaného kolem roku 1650 př. n. l.) jsou aplikovány v přírodě a souvisí s praxí stavění, vymezování pozemků atd. Úkoly nejsou seskupeny podle metod, ale podle předmětu. Většinou se jedná o úlohy na hledání obsahů trojúhelníku, čtyřúhelníků a kružnice, různé operace s celými čísly a alikvotními zlomky , proporcionální dělení, hledání poměrů, umocňování na různé mocniny, určování aritmetického průměru , aritmetické posloupnosti , řešení rovnic. prvního a druhého stupně s jednou neznámou [13] .

Neexistuje absolutně žádné vysvětlení ani důkaz. Požadovaný výsledek je buď uveden přímo, nebo je uveden stručný algoritmus pro jeho výpočet.

Tento způsob prezentace, typický pro vědu zemí starověkého Východu, naznačuje, že se tam matematika vyvíjela prostřednictvím induktivních zobecnění a dohadů, které netvořily žádnou obecnou teorii. Přesto je v papyru řada důkazů, že matematika ve starověkém Egyptě oněch let měla nebo alespoň začala získávat teoretický charakter. Takže egyptští matematici věděli, jak extrahovat kořeny a zvýšit moc, řešit rovnice, byli obeznámeni s aritmetickým a geometrickým postupem a dokonce vlastnili základy algebry : při řešení rovnic speciální hieroglyfická „hromada“ označovala neznámo.

V oblasti geometrie znali Egypťané přesné vzorce pro oblast obdélníku , trojúhelníku a lichoběžníku . Plocha libovolného čtyřúhelníku se stranami a, b, c, d byla vypočtena přibližně jako

Tento hrubý vzorec poskytuje přijatelnou přesnost, pokud se číslo blíží obdélníku. Plocha kruhu byla vypočtena na základě předpokladu

= 3,1605 (chyba menší než 1 %) [14] .

Egypťané znali přesné vzorce pro objem rovnoběžnostěnu a různých válcových těles, stejně jako pyramidy a komolého jehlanu. Mějme pravidelný komolý jehlan se stranou spodní podstavy a , horní b a výškou h ; pak byl objem vypočten podle původního, ale přesného vzorce:

.

Neexistují žádné informace o dřívějším vývoji matematiky v Egyptě. Asi později, až do éry helénismu  - taky. Po nástupu Ptolemaiovců začíná mimořádně plodná syntéza egyptských a řeckých kultur.

Babylon

Babyloňané psali klínovými znaky na hliněné tabulky, kterých se dodnes zachovalo značné množství (více než 500 tisíc, z toho asi 400 spojeno s matematikou). Proto máme poměrně úplný obrázek o matematických úspěších vědců babylonského státu . Všimněte si, že kořeny babylonské kultury byly z velké části zděděny od Sumerů  – klínové písmo, techniky počítání atd.

Babylonská výpočetní technika byla mnohem dokonalejší než egyptská a okruh úloh k řešení byl mnohem širší. Jsou zde úlohy na řešení rovnic druhého stupně, geometrické posloupnosti . Při řešení byly použity proporce , aritmetické průměry a procenta. Metody práce s progresemi byly hlubší než metody Egypťanů . Lineární a kvadratické rovnice byly řešeny již v době Hammurabiho ; přičemž se používala geometrická terminologie (součin ab se nazýval plocha, abc  objem atd.). Mnohé z ikon pro monomiály byly sumerské, z čehož lze usuzovat na starověk těchto algoritmů ; tyto znaky byly v naší algebře používány jako písmenná označení neznámých. Existují také kubické rovnice a soustavy lineárních rovnic . Korunou planimetrie byla Pythagorova věta , známá již v době Hammurabiho.

Sumerové a Babyloňané používali 60 poziční číselný systém , zvěčněný v našem rozdělení kruhu na 360°, hodinu na 60 minut a minutu na 60 sekund. K násobení byla použita objemná sada tabulek. Pro výpočet druhých odmocnin vynalezli Babyloňané iterativní proces: z předchozího byla získána nová aproximace pomocí vzorce Newtonovy metody :

V geometrii byly uvažovány stejné postavy jako v Egyptě , plus segment kruhu a komolý kužel . První dokumenty naznačují ; později je zjištěna aproximace 25/8 = 3,125. Babyloňané věděli, jak vypočítat plochy pravidelných mnohoúhelníků ; Zřejmě byli obeznámeni s principem podobnosti. Pro oblast nepravidelných čtyřúhelníků byl použit stejný přibližný vzorec jako v Egyptě :

.

Bohatý teoretický základ babylonské matematiky však neměl holistický charakter a byl zredukován na soubor různorodých technik, postrádajících důkazní základnu. Systematický demonstrativní přístup k matematice se objevil pouze u Řeků .

Čína

Čísla ve starověké Číně byla označena speciálními hieroglyfy , které se objevily ve 2. tisíciletí před naším letopočtem. e., a jejich značka byla nakonec založena ve III století před naším letopočtem. E. Tyto hieroglyfy se dodnes používají. Čínský způsob psaní čísel byl původně multiplikativní. Například záznam čísla 1946, který používá římské číslice místo hieroglyfů, může být podmíněně reprezentován jako 1M9S4X6. V praxi se však výpočty prováděly na počítací tabuli, kde byl zápis čísel jiný – poziční, jako v Indii, a na rozdíl od Babyloňanů desetinný [15] .

Výpočty byly provedeny na speciální suanpanové počítací desce (viz foto), podle principu použití, podobně jako ruské účty . Nula byla nejprve označena prázdným místem, zvláštní hieroglyf se objevil kolem 12. století našeho letopočtu. E. K zapamatování násobilky byla speciální písnička, kterou si žáci zapamatovali.

Nejvýznamnějším matematickým dílem starověké Číny je Matematika v devíti knihách .

Číňané toho uměli hodně, včetně: všech základních aritmetik (včetně hledání největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku ), operací se zlomky, proporcemi, zápornými čísly, plochami a objemy základních obrazců a těles, Pythagorovou větou a algoritmem pro výběr. Pythagorovy trojice , řešení kvadratických rovnic . Pro řešení soustav libovolného počtu lineárních rovnic byla dokonce vyvinuta metoda fan-cheng - obdoba klasické evropské Gaussovy metody . Rovnice libovolného stupně byly řešeny numericky – metodou tian-jüan , připomínající Ruffini-Hornerovu metodu hledání kořenů polynomu.

Starověké Řecko

Matematika v moderním slova smyslu se zrodila v Řecku. V současných zemích Hellas se matematika používala buď pro každodenní potřeby (výpočty, měření), nebo naopak pro magické rituály zaměřené na zjištění vůle bohů ( astrologie , numerologie atd.). Neexistovala žádná matematická teorie v plném slova smyslu, záležitost se omezovala na soubor empirických pravidel, často nepřesných nebo dokonce chybných.

Řekové se k věci postavili z jiného úhlu.

Za prvé, pythagorejská škola předložila tezi „ Čísla vládnou světu “ [C 2] . Nebo, jak byla stejná myšlenka formulována o dvě tisíciletí později: „ Příroda k nám mluví jazykem matematiky “ ( Galileo ). To znamenalo, že pravdy matematiky jsou v jistém smyslu pravdami skutečného bytí.

Za druhé, Pythagorejci vyvinuli kompletní metodologii pro objevování takových pravd. Nejprve sestavili seznam primárních, intuitivně zřejmých matematických pravd ( axiomy , postuláty ). Z těchto pravd se pak pomocí logického uvažování (jehož pravidla byla také postupně sjednocována) odvozovala nová tvrzení, která také musí být pravdivá. Tak se zrodila deduktivní matematika.

Řekové testovali platnost této teze v mnoha oblastech: astronomie , optika , hudba , geometrie a později mechanika . Všude byly zaznamenány působivé úspěchy: matematický model měl nepopiratelnou prediktivní schopnost.

Pokus Pythagorejců založit světovou harmonii na celých číslech (a jejich poměrech) byl zpochybněn po objevu iracionálních čísel . Platónská škola (4. století př. n. l.) zvolila pro matematiku jiný, geometrický základ ( Eudoxus z Knidu ). Na této cestě bylo dosaženo největších úspěchů starověké matematiky ( Euklides , Archimedes , Apollonius z Pergy a další).

Řecká matematika zaujme především bohatostí svého obsahu. Mnoho vědců New Age poznamenalo, že se motivy pro své objevy dozvěděli od starověku. Základy analýzy jsou patrné u Archiméda, kořeny algebry u Diophanta , analytická geometrie u Apollonia atd. Ale to není to hlavní. Dva úspěchy řecké matematiky daleko přežily své tvůrce.

Za prvé, Řekové vybudovali matematiku jako celostní vědu s vlastní metodologií, založenou na dobře definovaných zákonech logiky (zaručujících pravdivost závěrů za předpokladu, že předpoklady jsou pravdivé).

Za druhé hlásali, že přírodní zákony jsou lidské mysli srozumitelné a matematické modely jsou klíčem k jejich poznání.

V těchto dvou ohledech je starověká řecká matematika docela příbuzná moderní.

Indie

Indické číslování (způsob zápisu čísel) bylo původně sofistikované. Sanskrt měl prostředky pro pojmenování čísel až . Pro čísla byl nejprve použit syro-fénický systém a od 6. století př.n.l. E. - hláskování " brahmi ", s oddělenými znaky pro čísla 1-9. Po určité změně se tyto ikony staly moderními čísly, které nazýváme arabština a samotní Arabové - Indové .

Asi 500 n.l. E. velký indický matematik, nám neznámý, vynalezl nový systém zápisu čísel - desítkový poziční systém . V něm se ukázalo provádění aritmetických operací nezměrně snazší než ve starých, s neohrabanými písmennými kódy, jako Řekové , nebo sexagesimálními , jako Babyloňané . Později indiáni používali počítací desky upravené pro poziční zápis. Vyvinuli kompletní algoritmy pro všechny aritmetické operace, včetně extrakce druhých mocnin a krychlových odmocnin.

Díla Aryabhaty , vynikajícího indického matematika a astronoma, pocházejí z 5.-6. století . V jeho práci "Aryabhatiam" existuje mnoho řešení výpočetních problémů. Další slavný indický matematik a astronom, Brahmagupta , pracoval v 7. století . Počínaje Brahmaguptou indičtí matematici volně nakládají se zápornými čísly a považují je za dluh.

Středověcí indičtí matematici dosáhli největšího úspěchu na poli teorie čísel a numerických metod . Indové jsou daleko pokročilí v algebře; jejich symbolika je bohatší než u Diophanta , i když poněkud těžkopádná (přeplněná slovy). Geometrie vzbudila mezi Indiány menší zájem. Důkazy teorémů se skládaly z kresby a slova „pohled“. S největší pravděpodobností zdědili vzorce pro oblasti a objemy, stejně jako trigonometrii , od Řeků.

Země islámu

Matematika východu, na rozdíl od řečtiny , byla vždy praktičtější povahy. V souladu s tím byly výpočetní a měřicí aspekty nejdůležitější. Hlavními oblastmi aplikace matematiky byly obchod , stavebnictví , geografie , astronomie a astrologie , mechanika , optika .

V 9. století žil al-Chwarizmi ,  syn zoroastrijského kněze, kterému se pro to přezdívalo al-Majusi (kouzelník). Po studiu indických a řeckých znalostí napsal knihu „O indickém účtu“, která přispěla k popularizaci pozičního systému v celém chalífátu až po Španělsko. Ve 12. století byla tato kniha přeložena do latiny, jménem jejího autora pochází naše slovo „ algoritmus “ (poprvé v blízkém smyslu použitém Leibnizem ). Další dílo al-Khwarizmiho, „ Stručná kniha o počtu al-Jabra a al-Mukabaly “, mělo velký vliv na evropskou vědu a dalo vzniknout dalšímu modernímu termínu „ algebra “.

Islámští matematici věnovali velkou pozornost nejen algebře, ale také geometrii a trigonometrii (hlavně pro astronomické aplikace). Nasir al-Din al-Tusi ( 13. století ) a Al-Kashi ( 15. století ) publikovali vynikající díla v těchto oblastech.

Celkově lze říci, že se matematikům islámských zemí v řadě případů podařilo pozvednout semiempirický indický vývoj na vysokou teoretickou úroveň a rozšířit tak svou moc. I když se případ ve většině případů omezoval na tuto syntézu. Mnoho matematiků bylo mistry klasických metod, ale bylo dosaženo jen málo nových výsledků.

Rusko

V roce 1136 sepsal novgorodský mnich Kirik matematické a astronomické dílo s podrobným výpočtem data stvoření světa. Úplný název jeho díla je následující: „Kirika z jáhna a domácího novgorodského kláštera Antonijeva učí je říkat člověku počet všech let“ [16] . Kromě chronologických výpočtů Kirik uvedl příklad geometrického postupu vyplývajícího z dělení dne na stále menší zlomky; Kirik se zastavil u jedné miliontiny a prohlásil, že „více z toho se nestane“ [2] .

V roce 1701 byla císařským výnosem v Sucharevově věži zřízena matematická a plavební škola , kde učil L. F. Magnitskij . Z pověření Petra I. napsal (v církevní slovanštině) známou učebnici počítání ( 1703 ), později vydal navigační a logaritmické tabulky. Magnitského učebnice na tehdejší dobu byla výjimečně dobrá a poučná. Autor pečlivě vybral vše nejlepší, co v tehdejších učebnicích bylo, a látku podal srozumitelně, s četnými příklady a vysvětleními.

Reformy M. M. Speranského sloužily jako silný impuls k rozvoji ruské vědy . Na počátku 19. století bylo vytvořeno ministerstvo veřejného školství , vznikly vzdělávací okresy a začaly se otevírat tělocvičny ve všech velkých městech Ruska. Přitom obsah kurzu matematiky byl poměrně rozsáhlý – algebra, trigonometrie, aplikace do fyziky atd.

Již v 19. století vynesla mladá ruská matematika kupředu světové vědce.

Prvním z nich byl Michail Vasiljevič Ostrogradskij . Jako většina ruských matematiků před ním rozvíjel především aplikované problémy analýzy . Jeho práce zkoumá šíření tepla, vlnovou rovnici , teorii pružnosti , elektromagnetismus . On také studoval teorii čísel . Akademik pěti světových akademií. Důležitou aplikovanou práci provedl Viktor Jakovlevič Bunjakovskij , extrémně všestranný matematik, vynálezce, uznávaný odborník na teorii čísel a teorii pravděpodobnosti , autor základního díla Základy matematické teorie pravděpodobnosti.

Základními otázkami matematiky v Rusku v první polovině 19. století se zabýval až Nikolaj Ivanovič Lobačevskij , který se postavil proti dogmatu euklidovského prostoru. Postavil Lobačevského geometrii a hluboce prozkoumal její neobvyklé vlastnosti. Lobačevskij tak předběhl dobu, že byl souzen podle zásluh až mnoho let po své smrti.

Několik důležitých obecných objevů učinila Sofia Kovalevskaya . Stala se první ženou na světě a v historii, která se stala profesorkou matematiky. V roce 1874 na univerzitě v Göttingenu obhájila práci „O teorii diferenciálních rovnic“ a získala titul Ph.D. V roce 1881 byla zvolena členkou Moskevské matematické společnosti jako Privatdozent. V roce 1889 získala Sofia Kovalevskaya velkou cenu od pařížské akademie za výzkum rotace těžkého asymetrického vrcholu [17] .

Ve druhé polovině 19. století také ruská matematika s obecným aplikovaným zkreslením publikovala nemálo zásadních výsledků. Pafnuty Lvovich Chebyshev , univerzální matematik, učinil mnoho objevů v nejrozmanitějších, od sebe vzdálených oblastech matematiky - teorie čísel, teorie pravděpodobnosti, teorie aproximace funkcí. Andrej Andrejevič Markov je známý svou prvotřídní prací v teorii pravděpodobnosti, ale vynikajících výsledků dosáhl i v jiných oblastech – v teorii čísel a matematické analýze. Do konce 19. století vznikly dvě aktivní domácí matematické školy - Moskva a Petrohrad.

Západní Evropa

Středověk, 4.-15. století

V V. století přišel konec Západořímské říše a území západní Evropy se na dlouhou dobu proměnilo v pole neustálých bojů s dobyvateli a lupiči ( Hunové , Gótové , Maďaři , Arabové , Normani atd.). Rozvoj vědy se zastavil. Potřeba matematiky se omezuje na aritmetiku a výpočet kalendáře církevních svátků a aritmetika se studuje podle antické učebnice Nikomacha z Gerazu ve zkráceném překladu Boethia do latiny.

Mezi nemnoho vysoce vzdělaných lidí lze zaznamenat irského Bedu Ctihodného (pracoval na kalendáři, paškálech , chronologii, teorii počítání na prstech) a mnicha Herberta, od roku 999  - papeže pod jménem Sylvester II . patron věd; je připočítán jako autor několika prací o astronomii a matematice. Oblíbenou sbírku zábavných matematických úloh vydal anglosaský básník a vědec Alcuin (VIII. století).

Stabilizace a obnova evropské kultury začala v 11. století . Objevují se první univerzity ( Salerno , Bologna ). Výuka matematiky se rozšiřuje: tradiční kvadrivium zahrnovalo aritmetiku, geometrii, astronomii a hudbu.

První seznámení evropských vědců se starověkými objevy se odehrálo ve Španělsku. Ve 12. století zde byla přeložena hlavní díla velkých Řeků a jejich islámských studentů (z řečtiny a arabštiny do latiny) . Od 14. století se hlavním místem vědecké výměny stala Byzanc . Prvky Euklida byly zvláště dychtivě překládány a vydávány ; postupně byly zarostlé komentáři místních geometrů. Jediným relativně významným matematikem v celé postantické historii Byzance byl Maximus Planud , komentátor Diophanta a popularizátor desítkové soustavy .

Na konci 12. století vznikla na základě několika klášterních škol Pařížská univerzita , kde studovaly tisíce studentů z celé Evropy; téměř současně vznikly v Británii Oxford a Cambridge . Zájem o vědu roste a jedním z projevů je i změna číselného systému. Po dlouhou dobu se v Evropě používaly římské číslice . Ve století XII-XIII byly publikovány první výklady systému desítkové poziční notace v Evropě (nejprve překlady al-Khwarizmiho , poté jeho vlastní příručky) a začalo se s jeho aplikací. Od 14. století začínají indoarabské číslice nahrazovat římské i na náhrobcích. Pouze v astronomii se po dlouhou dobu používala šestiletá babylonská aritmetika.

Prvním významným matematikem středověké Evropy byl ve 13. století Leonardo z Pisy, známý pod přezdívkou Fibonacci . Jeho hlavní dílo: " The Book of the Abacus " ( 1202 , druhé upravené vydání - 1228 ). Abacus Leonardo nazval aritmetické výpočty. Fibonacci byl dobře obeznámen (z arabských překladů) s úspěchy starověku a významnou část z nich systematizoval ve své knize. Jeho prezentace v úplnosti a hloubce se okamžitě stala vyšší než všechny starověké a islámské prototypy a po dlouhou dobu byla nepřekonatelná. Tato kniha měla obrovský vliv na šíření matematických znalostí, oblibu indických číslic a desítkové soustavy v Evropě.

V knihách „Aritmetika“ a „Na daných číslech“ od Jordana Nemorariuse jsou vidět základy symbolické algebry, prozatím neoddělené od geometrie [18] .

Robert Grosseteste a Roger Bacon zároveň vyzvali k vytvoření experimentální vědy, která by byla schopna popsat přírodní jevy matematickým jazykem [19] .

Ve 14. století vznikaly univerzity téměř ve všech velkých zemích ( Praha , Krakov , Vídeň , Heidelberg , Lipsko , Basilej aj.).

Filozofové z Oxford Merton College, kteří žili ve 14. století a byli součástí skupiny takzvaných oxfordských kalkulaček , vyvinuli logicko-matematickou doktrínu posilování a oslabování vlastností. Další verze stejné doktríny byla vyvinuta na Sorbonně Nicholasem Oresmem . Zavedl obraz závislosti pomocí grafu, zkoumal konvergenci řad . [20] V algebraických pracích zvažoval zlomkové exponenty .

Významný německý matematik a astronom 15. století Johann Müller se stal široce známým pod jménem Regiomontanus  , což je latinské jméno jeho rodného města Königsberg [C 3] . Publikoval první práci v Evropě specificky věnovanou trigonometrii . Ve srovnání s arabskými prameny je zde jen málo nového, ale zvláště je třeba poznamenat systematické a úplné podání.

Luca Pacioli , nejvýznamnější algebraista 15. století, přítel Leonarda da Vinciho , podal jasný (ačkoli nepříliš vhodný) náčrt algebraické symboliky.

16. století

16. století bylo zlomem pro evropskou matematiku. Poté, co plně asimiloval úspěchy svých předchůdců, prorazil daleko vpřed s několika silnými trhnutími [21] .

Prvním velkým úspěchem byl objev obecné metody řešení rovnic třetího a čtvrtého stupně. Italští matematici del Ferro , Tartaglia a Ferrari vyřešili problém, který nejlepší matematici světa nedokázali vyřešit několik staletí [22] . Zároveň bylo zjištěno, že v řešení se někdy objevily "nemožné" kořeny ze záporných čísel . Po analýze situace evropští matematici nazvali tyto kořeny " imaginární čísla " a vyvinuli pravidla pro zacházení s nimi, která vedla ke správnému výsledku. Tak do matematiky poprvé vstoupila komplexní čísla .

V roce 1585 vydává Vlámský Simon Stevin knihu „ Desátá “ o pravidlech jednání s desetinnými zlomky , po které desetinná soustava vyhrává konečné vítězství v oboru zlomkových čísel. Desetinný oddělovač ještě nebyl vynalezen a pro srozumitelnost Stevin uvedl nad každou číslicí (nebo za ní) její ciferné číslo uzavřené v kruhu, kladné pro celočíselnou část, záporné pro mantisu. S používáním čárky při psaní zlomků se poprvé setkali v roce 1592. Stevin také prohlásil úplnou rovnost racionálních a iracionálních čísel , stejně jako (s jistými výhradami) a záporných čísel [23] .

Nejdůležitější krok k nové matematice udělal Francouz François Viet . Ve svém Úvodu do analytického umění , vydaném v roce 1591, konečně formuloval symbolický metajazyk aritmetiky, doslovné algebry [24] . Svým vzhledem se otevřela možnost provádět výzkum nebývalé hloubky a obecnosti. V této knize Vieta ukázala příklady síly nové metody nalezením slavných vzorců Vieta . Symbolika Viety se ještě nepodobala té dnes přijaté, její moderní verzi později navrhl Descartes [25] .

Zároveň roste prestiž matematiky a v hojné míře se objevují mnohé praktické problémy, které je třeba řešit – v dělostřelectvu, navigaci, stavebnictví, průmyslu, hydraulice, astronomii, kartografii, optice atd. A na rozdíl od antiky, renesance vědci se takovým úkolům nevyhýbali. Ve skutečnosti neexistovali žádní čistí teoretičtí matematici. Objevují se první akademie věd. V 16.-17. století role univerzitní vědy upadala a objevilo se mnoho neprofesionálních vědců: Stevin byl vojenský inženýr, Viet a Fermat  byli právníci, Desargues a Ren  byli architekti, Leibniz  byl úředník, Napier, Descartes, Pascal  byly soukromé osoby [26] .

17. století

V 17. století pokračoval prudký rozvoj matematiky a koncem století se tvář vědy radikálně změnila.

Prvním velkým objevem 17. století byl vynález logaritmů . V roce 1614 vydal skotský amatérský matematik John Napier esej v latině s názvem „Popis úžasné tabulky logaritmů“ (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). Obsahoval stručný popis logaritmů a jejich vlastností, stejně jako 8místné tabulky logaritmů sinů, kosinů a tečen s krokem 1'. Termín logaritmus , navržený Napierem, se ve vědě prosadil. Napier nastínil teorii logaritmů ve své další knize „Construction of a Amazing Table of Logaritms“ (lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), kterou posmrtně vydal v roce 1619 jeho syn Robert. Složité výpočty byly mnohonásobně zjednodušeny a matematika dostala novou neklasickou funkci s širokým spektrem aplikací.

René Descartes v pojednání „ Geometrie “ (1637) opravil strategickou chybu starověkých matematiků a obnovil algebraické chápání čísla (místo geometrického) [27] . Navíc naznačil způsob, jak přeložit geometrická tvrzení do algebraického jazyka (pomocí souřadnicového systému ), po kterém se studium stává mnohem jednodušším a efektivnější. Tak se zrodila analytická geometrie . Descartes zvažoval mnoho příkladů ilustrujících velkou sílu nové metody a získal mnoho výsledků neznámých starověku. Za zvláštní zmínku stojí matematická symbolika , kterou vyvinul , která je blízká moderně.

Descartova analytická metoda byla okamžitě přijata Wallisem , Fermatem a mnoha dalšími významnými matematiky [28] .

Pierre Fermat, Huygens a Jacob Bernoulli vytvořili nový obor matematiky, který byl předurčen pro velkou budoucnost - teorii pravděpodobnosti . Jacob Bernoulli formuloval první verzi zákona velkých čísel [29] .

A nakonec se objevila nepříliš jasná, ale hluboká myšlenka - analýza libovolných hladkých křivek jejich rozkladem na nekonečně malé segmenty přímek. První realizací této myšlenky byla do značné míry nedokonalá metoda nedělitelných ( Kepler [30] , Cavalieri [31] , Fermat [32] ), s její pomocí již bylo učiněno mnoho nových objevů. Na konci 17. století myšlenku nedělitelných výrazně rozšířili Newton [33] a Leibniz [34] a objevil se výjimečně výkonný výzkumný nástroj - matematická analýza . Tento matematický směr se stal hlavním v příštím, XVIII století .

Teorie záporných čísel byla stále v plenkách. Například se aktivně diskutovalo o podivném poměru  - v něm je první termín vlevo větší než druhý a vpravo - naopak, a ukázalo se, že větší se rovná menšímu (" Arnaudův paradox ") [35] .

Komplexní čísla byla považována za fiktivní, pravidla pro nakládání s nimi nebyla nakonec zpracována. Navíc nebylo jasné, zda všechna „ imaginární čísla “ mohou být zapsána ve tvaru a + bi nebo, řekněme, při extrakci určitého kořene se mohou objevit imaginace, které nelze redukovat do tohoto tvaru (i Leibniz si to myslel). Teprve v 18. století d'Alembert a Euler prokázali, že komplexní čísla jsou uzavřena ve všech operacích, včetně zakořenění jakéhokoli stupně.

Ve druhé polovině 17. století se objevují vědecká periodika, která ještě nebyla specializovaná na typy věd. Londýn a Paříž položily základ, ale zvláště důležitou roli sehrál časopis Acta Eruditorum ( 1682 , Lipsko , latinsky). Francouzská akademie věd vydává své Memoáry od roku 1699. Tyto časopisy vycházely jen zřídka a korespondence byla nadále nepostradatelným prostředkem šíření informací.

18. století

18. století v matematice lze stručně popsat jako století analýzy , které se stalo hlavním předmětem snah matematiků. Analýza, která přispěla k rychlému rozvoji přírodních věd, sama postupovala a dostávala od nich stále složitější problémy. Na průsečíku této výměny myšlenek se zrodila matematická fyzika .

Kritika infinitezimální metody pro její špatnou platnost pod tlakem triumfálních úspěchů nového přístupu rychle utichla. Ve vědě díky Newtonovi vládla mechanika  - všechny ostatní interakce byly považovány za druhotné, důsledky mechanických procesů. Vývoj analýzy a mechaniky probíhal v těsném prolínání; Euler byl první, kdo provedl toto sjednocení , který odstranil archaické konstrukce z newtonovské mechaniky a přinesl analytický základ do dynamiky ( 1736 ). Od té doby se mechanika stala aplikovaným odvětvím analýzy. Proces dokončil Lagrange , jehož „Analytická mechanika“ [36] demonstrativně neobsahuje jediný výkres. Ve stejné době se analýza stala algebraickou a konečně (počínaje Eulerem) se oddělila od geometrie a mechaniky.

Hlavní metodou poznávání přírody je sestavování a řešení diferenciálních rovnic . Po dynamice bodu přišla na řadu dynamika tuhého tělesa, poté kapaliny a plynu. Pokrok v této oblasti značně napomohla polemika o struně , které se účastnili přední matematici Evropy.

Newtonova teorie gravitace zpočátku narážela na potíže při popisu pohybu Měsíce , ale práce Clairauta , Eulera a Laplacea [37] jasně ukázaly, že v nebeské mechanice neexistují žádné další síly kromě Newtonových .

Analýza se rozšiřuje na komplexní oblast. Analytické pokračování většiny funkcí nezpůsobilo problémy a byly nalezeny neočekávané souvislosti mezi standardními funkcemi ( Eulerův vzorec ) [38] . U složitého logaritmu se vyskytly potíže , ale Euler je úspěšně překonal. Byla zavedena konformní zobrazení a byla předložena domněnka o jedinečnosti analytického pokračování. Komplexní funkce dokonce našly uplatnění v aplikovaných vědách – hydrodynamice, teorii kmitů (D'Alembert, Euler).

Teorie a technika integrace pokročily daleko . Vícenásobné integrály (Euler, Lagrange) se široce používají, a to nejen v kartézských souřadnicích. Objevují se i plošné integrály (Lagrange, Gauss ). Intenzivně se rozvíjí teorie diferenciálních rovnic, obyčejných i parciálních. Matematici prokazují výjimečnou vynalézavost při řešení parciálních diferenciálních rovnic, vymýšlejí vlastní metody pro řešení každého problému. Vznikl koncept okrajového problému a vznikly první metody jeho řešení.

Na konci 18. století byl položen počátek obecné teorie potenciálu (Lagrange, Laplace, Legendre). Pro gravitaci zavedl potenciál Lagrange ( 1773 , termín navrhl Green v roce 1828 ). Brzy Laplace objevil spojení mezi potenciálem a Laplaceovou rovnicí a představil důležitou třídu ortogonálních sférických funkcí .

Vzniká slibný variační počet a variační principy fyziky (Euler, Lagrange).

Vůdcem matematiků v 18. století byl Euler, jehož výjimečný talent se podepsal na všech hlavních matematických úspěších století [39] . Byl to on, kdo udělal z analýzy dokonalý výzkumný nástroj. Euler významně obohatil řadu funkcí , vyvinul integrační techniku ​​a posunul téměř všechny oblasti matematiky. Spolu s Maupertuisem formuloval princip nejmenší akce jako nejvyšší a univerzální zákon přírody.

V teorii čísel jsou imaginární čísla konečně legalizována, ačkoli jejich úplná teorie dosud nebyla vytvořena. Základní věta algebry je dokázána (zatím ne zcela rigorózně) . Euler vyvinul teorii dělitelnosti celých čísel a teorii srovnání (zbytků), kterou dokončil Gauss. Euler představil koncept primitivního kořene , dokázal jeho existenci pro jakékoli prvočíslo a našel počet primitivních kořenů, objevil kvadratický zákon reciprocity . On a Lagrange publikovali obecnou teorii spojitých zlomků a s jejich pomocí vyřešili mnoho problémů v diofantické analýze. Euler také zjistil, že analytické metody by mohly být aplikovány na řadu problémů v teorii čísel .

Lineární algebra se rychle rozvíjí . První podrobný popis obecného řešení lineárních soustav podal v roce 1750 Gabriel Cramer . Symbolismus blízký moderně a hlubokou analýzu determinantů podal Alexander Theophilus Vandermonde (1735-1796). Laplace v 1772 dal expanzi determinantu v minors . Teorie determinantů rychle našla mnoho aplikací v astronomii a mechanice (sekulární rovnice), při řešení algebraických systémů, při studiu forem atd.

V algebře se rodí nové myšlenky, které vyvrcholily již v 19. století Galoisovou teorií a abstraktními strukturami. Lagrange se ve studiu rovnic pátého a vyššího stupně blíží Galoisově teorii ( 1770 ), když zjistil, že „skutečnou metafyzikou rovnic je teorie substitucí “.

V geometrii se objevují nové úseky: diferenciální geometrie křivek a ploch, deskriptivní geometrie ( Monge ), projektivní geometrie ( Lazar Carnot ).

Teorie pravděpodobnosti přestává být exotická a dokazuje svou užitečnost v nejneočekávanějších oblastech lidské činnosti. De Moivre a Daniel Bernoulli objevují normální rozdělení . Objevuje se pravděpodobnostní teorie chyb a vědecká statistika. Klasickou etapu ve vývoji teorie pravděpodobnosti završily práce Laplacea [40] . Jeho aplikace do fyziky však tehdy téměř chyběly (nepočítáme-li teorii chyb).

Akademie věd, většinou státní, se staly centry matematického výzkumu. Význam vysokých škol je malý (kromě zemí, kde ještě nejsou akademie), stále chybí katedry fyziky a matematiky. Hlavní roli hraje pařížská akademie . Anglická škola se po Newtonovi odděluje a snižuje vědeckou úroveň na celé století; počet prominentních matematiků v Anglii 18. století je malý - de Moivre (francouzský hugenotský emigrant), Coates , Taylor , Maclaurin , Stirling .

Z matematiků se stávají profesionálové, amatéři téměř mizí ze scény.

Na konci 18. století se objevily specializované matematické časopisy a zájem o dějiny vědy vzrostl. Vychází Montuclovy dvousvazkové Dějiny matematiky ( posmrtně přetištěné a rozšířené na 4 svazky). Rozšiřuje se vydávání populárně naučné literatury.

19. století

Nepopiratelná účinnost využití matematiky v přírodních vědách podnítila vědce k názoru, že matematika je takříkajíc zabudována do vesmíru, je jeho ideálním základem. Jinými slovy, znalosti v matematice jsou součástí znalostí skutečného světa. Mnoho vědců 17.-18. století o tom nepochybovalo. Jenže v 19. století byl evoluční vývoj matematiky narušen a tato zdánlivě neotřesitelná teze byla zpochybněna.

Obecně lze říci, že v 19. století znatelně rostla role a prestiž matematiky ve vědě a ekonomii a s tím rostla i její státní podpora. Matematika se opět stává převážně univerzitní vědou. Objevují se první matematické společnosti: Londýn , Americká , Francouzská , Moskva , stejně jako společnosti v Palermu a Edinburghu .

Podívejme se krátce na vývoj hlavních oblastí matematiky v 19. století.

Geometrie

Jestliže 18. století bylo stoletím analýzy, pak 19. století bylo par excellence stoletím geometrie . Rychle se rozvíjela deskriptivní geometrie vytvořená na konci 18. století ( Monge [42] , Lambert ) a obnovená projektivní geometrie (Monge, Poncelet , Lazare Carnot ) . Objevují se nové sekce: vektorový počet a vektorová analýza , Lobačevského geometrie , multidimenzionální Riemannovská geometrie , teorie transformačních grup . Probíhá intenzivní algebraizace geometrie - pronikají do ní metody teorie grup a vzniká algebraická geometrie . Na konci století vznikla "kvalitativní geometrie" - topologie .

Diferenciální geometrie získala silný impuls po publikaci Gaussovy mimořádně informativní práce „General Investigations on Curved Surfaces“ ( 1822 ) [43] , kde metrika ( první kvadratická forma ) a související vnitřní geometrie povrchu byly poprvé výslovně uvedeny definovaný . Ve výzkumu pokračovala pařížská škola. V roce 1847 Frenet a Serret publikovali Frenetovy slavné vzorce pro diferenciální atributy křivky [44] .

Největším úspěchem bylo zavedení konceptu vektoru a vektorového pole . Zpočátku byly vektory zavedeny W. Hamiltonem v souvislosti s jejich kvaterniony (jako jejich trojrozměrná imaginární část). Hamilton už měl součin teček a křížků . Hamilton navíc představil diferenciální operátor (" nabla ") a mnoho dalších konceptů vektorové analýzy, včetně definice vektorové funkce a tenzorového součinu .

Kompaktnost a neměnnost vektorového symbolismu používaného v Maxwellových raných spisech zaujala fyziky; Brzy vyšly Gibbsovy Elements of Vector Analysis (80. léta 19. století) a poté Heaviside ( 1903 ) dal vektorovému počtu moderní vzhled.

Projektivní geometrie po půldruhém století zapomnění opět přitáhla pozornost - nejprve Mongeho, poté jeho žáků - Ponceleta a Lazara Carnota. Carnot formuloval „princip spojitosti“, který umožňuje okamžitě rozšířit některé vlastnosti původního obrazce na obrazce z něj získané spojitou transformací (1801-1806). O něco později Poncelet jasně definoval projektivní geometrii jako vědu o projektivních vlastnostech obrazců a podal systematický výklad jejího obsahu ( 1815 ). V Ponceletu jsou nekonečně vzdálené body (i pomyslné) již zcela legalizovány. Formuloval princip duality (přímky a body na rovině).

Od konce 20. let 19. století se v Německu formuje škola projektivních geometrů ( Möbius , Plücker , Hesse , Steiner a další). V Anglii bylo nakladatelstvím Cayley publikováno množství děl . Současně se začaly používat analytické metody, zejména po objevu homogenních projektivních souřadnic , včetně bodu v nekonečnu, Möbiem. Ve Francii pokračoval v Ponceletově díle Michel Chall .

Velký vliv na vývoj matematiky měla Riemannova slavná řeč ( 1854 ) „O hypotézách spočívajících v geometrii“ [45] . Riemann definoval obecnou představu o n-rozměrném varietu a jeho metrice jako libovolná pozitivní určitá kvadratická forma . Riemann dále zobecnil teorii Gaussových povrchů na vícerozměrný případ; v tomto případě se objevuje slavný Riemannův tenzor křivosti a další koncepty Riemannovy geometrie. Existenci neeuklidovské metriky lze podle Riemanna vysvětlit buď diskrétností prostoru, nebo některými fyzikálními spojovacími silami. Na konci století dokončuje G. Ricci klasickou tenzorovou analýzu .

Ve druhé polovině 19. století konečně vzbudila všeobecnou pozornost Lobačevského geometrie. Skutečnost, že i klasická geometrie má alternativu, udělala obrovský dojem na celý vědecký svět. To také podnítilo přehodnocení mnoha zavedených stereotypů v matematice a fyzice.

Další zlom ve vývoji geometrie nastal v roce 1872 , kdy Felix Klein představil svůj „ Erlangenský program “. Geometrické vědy klasifikoval podle skupiny používaných transformací - rotace, afinní, projektivní, obecné spojité atd. Každý obor geometrie studuje invarianty odpovídající skupiny transformací. Klein také považoval za nejdůležitější koncept izomorfismu (strukturální identity), který nazval „přenos“. Tak byla nastíněna nová etapa v algebraizaci geometrie, druhá po Descartovi .

V letech 1872-1875 Camille Jordan publikoval sérii článků o analytické geometrii n-rozměrného prostoru (křivky a povrchy) a na konci století navrhl obecnou teorii míry .

Na samém konci století se zrodila topologie , nejprve pod názvem analysis situs . Topologické metody byly skutečně použity v řadě prací Eulera, Gausse, Riemanna, Jordana aj. Felix Klein ve svém Erlangen Program celkem jasně popisuje předmět nové vědy. Kombinatorická topologie se nakonec zformovala v dílech Poincarého (1895-1902).

Matematická analýza

Analýza v 19. století se vyvíjela rychlým, ale poklidným vývojem.

Nejvýznamnější změnou bylo vytvoření základu analýzy ( Cauchy , poté Weierstrass ). Díky Cauchymu [46] zmizel z matematiky mystický koncept skutečné infinitesimály (i když se ve fyzice stále používá). Pochybné akce s divergentními sériemi byly také umístěny mimo vědu. Cauchy postavil základy analýzy na základě teorie limitů blízké newtonovskému chápání a jeho přístup se stal obecně přijímaným; analýza se stala méně algebraickou, ale spolehlivější. Přesto před Weierstrassovými objasněními stále přetrvávalo mnoho předsudků: například Cauchy věřil, že spojitá funkce je vždy diferencovatelná a součet řady spojitých funkcí je spojitý.

Nejširšího rozvoje se dočkala teorie analytických funkcí komplexní proměnné, na které pracovali Laplace , Cauchy, Abel , Liouville , Jacobi , Weierstrass a další. Třída speciálních funkcí, zejména komplexních, byla značně rozšířena. Hlavní úsilí směřovalo k teorii abelovských funkcí, která sice plně neodůvodnila naděje do nich vkládané, nicméně přispěla k obohacení analytických nástrojů a vytvoření obecnějších teorií ve 20. století.

Četné aplikované problémy aktivně stimulovaly teorii diferenciálních rovnic , která se rozrostla v rozsáhlou a plodnou matematickou disciplínu. Podrobně jsou prozkoumány základní rovnice matematické fyziky , dokázány existenční teorémy pro řešení a vytvořena kvalitativní teorie diferenciálních rovnic ( Poincaré ).

Koncem století dochází k určité geometrizaci analýzy – objevuje se vektorová analýza , objevuje se tenzorová analýza , studují se nekonečněrozměrné funkční prostory (viz Banachův prostor , Hilbertův prostor ). Kompaktní invariantní zápis diferenciálních rovnic je mnohem pohodlnější a přehlednější než těžkopádný souřadnicový zápis.

Algebra a teorie čísel

Eulerovy analytické metody pomohly vyřešit mnoho obtížných problémů v teorii čísel ( Gauss [47] , Dirichlet a další). Gauss podal první bezchybný důkaz Základní věty algebry . Joseph Liouville dokázal existenci nekonečného množství transcendentálních čísel ( 1844 , více podrobností v roce 1851 ), poskytl dostatečnou známku transcendence a konstruoval příklady takových čísel jako součet řady. V roce 1873 publikoval Charles Hermite důkaz o transcendenci Eulerova čísla e a v roce 1882 Lindemann použil podobnou metodu na číslo .

W. Hamilton objevil úžasný nekomutativní svět čtveřic .

Objevila se teorie geometrických čísel ( Minkowski ) [48] .

Evariste Galois , předběhl svou dobu, představuje hlubokou analýzu řešení rovnic libovolných stupňů [49] . Klíčovými pojmy studie jsou algebraické vlastnosti permutační grupy a extenzních polí spojených s rovnicí . Galois dokončil práci Abela , který dokázal, že rovnice stupně větší než 4. jsou v radikálech neřešitelné .

Jak byly myšlenky Galois asimilovány, od druhé poloviny století se obecná algebra rychle rozvíjela . Joseph Liouville publikuje a komentuje práci Galois. V 50. letech 19. století Cayley představil koncept abstraktní skupiny . Termín "skupina" se stává obecně akceptovaným a proniká téměř do všech oblastí matematiky a ve 20. století do fyziky a krystalografie.

Formuje se koncept lineárního prostoru ( Grassmann a Cayley , 1843-1844 ) . V roce 1858 Cayley publikoval obecnou teorii matic , definoval operace na nich a zavedl pojem charakteristický polynom . V roce 1870 byly prokázány všechny základní věty lineární algebry , včetně redukce na Jordanovu normální formu .

V roce 1871 Dedekind zavádí pojmy prsten , modul a ideál . On a Kronecker vytvářejí obecnou teorii dělitelnosti .

Na konci 19. století vstupují do matematiky Lieovy grupy .

Teorie pravděpodobnosti

Teorie chyb, statistika a fyzikální aplikace jsou na prvním místě. To udělali Gauss , Poisson , Cauchy . Význam normálního rozdělení jako limitního rozdělení se ukázal v mnoha reálných situacích.

Ve všech vyspělých zemích existují statistická oddělení/společnosti. Díky práci Karla Pearsona vzniká matematická statistika s testováním hypotéz a odhadem parametrů.

Matematické základy teorie pravděpodobnosti však v 19. století ještě nebyly vytvořeny a Hilbert na počátku 20. století přiřadil tuto disciplínu aplikované fyzice [50] .

Matematická logika

Po neúspěchu Leibnizova projektu „Univerzální charakterizace“ uplynulo století a půl, než se pokus o vytvoření algebry logiky opakoval. Ale opakovalo se to na novém základě: koncept množiny pravdy umožnil sestrojit matematickou logiku jako teorii tříd s operacemi teorie množin. Průkopníky byli britští matematici Augustus (Augustus) de Morgan a George Boole .

V díle „Formální logika“ ( 1847 ) de Morgan popsal koncept vesmíru a symboly pro logické operátory, sepsal známé „ de Morganovy zákony “. Později představil obecný koncept matematického vztahu a operací s vztahy.

George Boole nezávisle vyvinul svou vlastní, úspěšnější verzi teorie. Ve svých dílech z let 1847-1854 položil základy moderní matematické logiky a popsal algebru logiky ( Booleova algebra ). Objevily se první logické rovnice, zavedl se pojem konstituentů (rozkladů logického vzorce).

William Stanley Jevons pokračoval v Booleově systému a dokonce postavil „logický stroj“ schopný řešit logické problémy [51] . V roce 1877 Ernest Schroeder formuloval logický princip duality. Dále Gottlob Frege postavil návrhový počet . Charles Peirce na konci 19. století nastínil obecnou teorii vztahů a výrokových funkcí a zavedl také kvantifikátory . Moderní verzi symboliky navrhl Peano . Poté bylo vše připraveno pro rozvoj teorie důkazů v Hilbertově škole .

Odůvodnění matematiky

Počátkem 19. století měla poměrně striktní logické (deduktivní) opodstatnění pouze euklidovská geometrie, i když již tehdy byla její přísnost právem považována za nedostatečnou. Vlastnosti nových objektů (například komplexní čísla , infinitesimals , atd.) byly jednoduše považovány za obecně stejné jako vlastnosti objektů již známých; pokud taková extrapolace nebyla možná, byly vlastnosti vybrány empiricky.

Budování základů matematiky začalo analýzou. V roce 1821 Cauchy publikoval Algebraickou analýzu, kde jasně definoval základní pojmy založené na pojmu limity. Přesto se dopustil řady chyb, např. integroval a rozlišoval řady termín po termínu, aniž by prokázal přípustnost takových operací. Základ analýzy dokončil Weierstrass , který objasnil roli důležitého konceptu jednotné kontinuity . Současně Weierstrass (60. léta 19. století) a Dedekind (70. léta 19. století) poskytli zdůvodnění pro teorii reálných čísel .

1837 : William Hamilton staví model komplexních čísel jako párů reálných čísel.

V 70. letech 19. století byly legalizovány neeuklidovské geometrie . Jejich modely založené na euklidovském prostoru se ukázaly být stejně konzistentní jako Euklidova geometrie.

1879 : Frege vydává systém axiomů matematické logiky .

1888 : Dedekind navrhuje náčrt systému axiomů pro přirozená čísla. O rok později Peano navrhl kompletní systém axiomů .

1899 : Hilbertovy základy geometrie jsou vydávány .

Výsledkem bylo, že do konce století byla téměř veškerá matematika postavena na základě přísné axiomatiky. Konzistence hlavních oborů matematiky (kromě aritmetiky) byla důsledně prokázána (přesněji redukována na konzistenci aritmetiky). Axiomatický základ pro teorii pravděpodobnosti a teorii množin se objevil později, ve 20. století.

Teorie množin a antinomie

V roce 1873 Georg Cantor představil koncept libovolné množiny čísel a poté obecný koncept množiny  , nejabstraktnější pojem v matematice. S pomocí zobrazení jedna ku jedné zavedl koncept ekvivalence množin, poté definoval srovnání mohutností pro více či méně a nakonec množiny klasifikoval podle jejich mohutnosti: konečné, spočetné , spojité atd.

Kantor považoval hierarchii mocnin za pokračování hierarchie (pořadí) celých čísel ( transfinitních čísel ). Tak bylo do matematiky zavedeno skutečné nekonečno ,  koncept, kterému se dřívější matematici pečlivě vyhýbali.

Zpočátku se teorie množin setkala s benevolentním přijetím mnoha matematiků. Pomohlo to zobecnit jordánskou teorii míry , bylo úspěšně použito v teorii Lebesgueova integrálu a mnohými bylo viděno jako základ budoucí axiomatiky celé matematiky. Následné události však ukázaly, že obvyklá logika není pro studium nekonečna vhodná a intuice ne vždy napomáhá ke správné volbě.

První rozpor vyšel najevo při zvažování největší množiny, množiny všech množin ( 1895 ). Muselo být vyloučeno z matematiky jako nepřijatelné. Objevily se však i další rozpory (antinomie).

Henri Poincare , který nejprve přijímal teorii množin a dokonce ji používal ve svém výzkumu, ji později důrazně odmítl a nazval ji „vážnou nemocí matematiky“. Nicméně, jiná skupina matematiků, včetně Bertranda Russella , Hilbert a Hadamard , vyšel na obranu “kantorismu” [52] .

Situaci ještě zhoršil objev „ axiomu volby “ ( 1904 , Zermelo ), který, jak se ukázalo, byl nevědomě aplikován v mnoha matematických důkazech (například v teorii reálných čísel). Tento axiom deklaruje existenci množiny, jejíž složení je neznámé a řada matematiků považovala tuto okolnost za zcela nepřijatelnou, zvláště když některé důsledky axiomu volby odporovaly intuici ( Banach-Tarski paradox atd.).

Na počátku 20. století bylo možné dohodnout se na variantě teorie množin oproštěné od dříve objevených rozporů ( teorie tříd ), takže teorii množin akceptovala většina matematiků. Dřívější jednota matematiky však již není, některé vědecké školy začaly rozvíjet alternativní názory na ospravedlnění matematiky [53] .

20. století

Prestiž profese matematiky se ve 20. století výrazně zvýšila. Matematika se vyvíjela exponenciálně a není možné vyjmenovat učiněné objevy nějakým úplným způsobem, ale některé z nejvýznamnějších úspěchů jsou zmíněny níže.

Nové směry

Ve 20. století se tvář matematiky výrazně změnila [54] .

  1. Výrazně se rozšířil jak předmět matematiky, tak rozsah jejího uplatnění. Objevily se nové úseky, byly objeveny nečekané souvislosti mezi úseky (například mezi teorií čísel a teorií pravděpodobnosti [55] ).
  2. Objevily se nové zobecňující pojmy, matematika postoupila na vyšší úroveň abstrakce a z této výšky se jednota matematické vědy stává jasnější. Zvláštní roli v tom sehrál převod základů téměř všech úseků matematiky na základ množinový . Geometrie již uvažuje o nejabstraktnějších prostorech, algebra abstrahovala od numerické aritmetiky a umožňuje operace s nejneobvyklejšími vlastnostmi.
  3. Byla provedena hluboká analýza základů matematiky a možností matematické logiky ve vztahu k důkazům matematických tvrzení.

V roce 1900 předložil David Hilbert na druhém mezinárodním kongresu matematiků seznam 23 nevyřešených matematických problémů . Tyto problémy pokrývaly mnoho oblastí matematiky a tvořily ohnisko úsilí matematiků 20. století. Dnes je deset problémů na seznamu vyřešeno, sedm částečně vyřešeno a dva problémy jsou stále otevřené. Zbývající čtyři jsou příliš zobecněné na to, aby mělo smysl mluvit o jejich řešení.

Nové oblasti matematiky prošly zvláštním rozvojem ve 20. století; kromě potřeb počítačů je to do značné míry způsobeno požadavky teorie řízení , kvantové fyziky a dalších aplikovaných disciplín.

Rychle se rozvíjelo i mnoho „starých“ oblastí matematiky.

Matematická logika a základy matematiky

V roce 1931 publikoval Kurt Gödel dva ze svých teorémů o neúplnosti , které stanovily omezení matematické logiky . Tím skončil plán Davida Hilberta na vytvoření úplného a konzistentního systému základů matematiky. O něco dříve, ve studiích Löwenheima a Skolema v letech 1915-1920 ( Löwenheim-Skolemova věta ), byl objeven další odrazující fakt: žádný axiomatický systém nemůže být kategorický . Jinými slovy, bez ohledu na to, jak pečlivě je systém axiomů formulován, vždy bude existovat výklad, který je zcela odlišný od toho, pro který byl tento systém navržen. Tato okolnost také podkopává víru v univerzálnost axiomatického přístupu.

Nicméně formální axiomatika je považována za nezbytnou pro objasnění základních principů, na kterých jsou založena odvětví matematiky. Axiomatizace navíc pomáhá identifikovat nezřejmé souvislosti mezi různými částmi matematiky a přispívá tak k jejich sjednocení [56] .

Kapitálové výsledky jsou získány v teorii algoritmů . Bylo dokázáno, že teorém může být správný, ale algoritmicky nepoddajný (přesněji, neexistuje žádný postup řešení, Church , 1936 ).

V roce 1933 Andrey Kolmogorov dokončil (nyní obecně přijímanou) axiomatiku teorie pravděpodobnosti .

V roce 1963 Paul Cohen dokázal, že Cantorova hypotéza kontinua je neprokazatelná (v obvyklé axiomatice teorie množin ).

Algebra a teorie čísel

Na začátku století dokončily Emmy Noether a Van der Waerden stavbu základů obecné algebry , jejíž struktury ( skupiny , pole , kruhy , lineární prostory atd.) nyní prostupují celou matematikou. Teorie grup se brzy s velkým úspěchem dostala do fyziky a krystalografie . Dalším důležitým objevem na počátku století bylo vytvoření a rozvoj plodné teorie p-adických čísel .

V 1910, Ramanujan formuloval více než 3000 teorémů, včetně vlastností rozdělovací funkce čísel a jejích asymptotických odhadů . Získal také důležité výsledky ve studiu funkce gama , modulárních forem , divergentních řad , hypergeometrických řad a teorie prvočísel .

Andrew Wiles dokázal Fermatovu poslední větu v roce 1995 , čímž uzavřel staletí starý problém.

Matematická analýza a matematická fyzika

Na počátku 20. století Lebesgue a Borel zobecnili teorii Jordanovy míry; na jeho základě byl postaven Lebesgueův integrál . Funkční analýza se objevila v Hilbertově škole a brzy našla přímé uplatnění v kvantové fyzice .

V 60. letech 20. století Abraham Robinson publikoval výklad nestandardní analýzy  , alternativního přístupu k ospravedlnění počtu na základě skutečných infinitesimálů .

Teorie vícerozměrných variet se intenzivně rozvíjí , stimulována potřebami fyziky ( GR , teorie strun atd.).

Geometrie a topologie

Obecná topologie se rychle vyvíjí a nachází uplatnění v různých oblastech matematiky. Fraktály objevené Benoitem Mandelbrotem ( 1975 ) vzbudily masový zájem .

Hermann Minkowski v roce 1907 vyvinul geometrický model kinematiky speciální teorie relativity , který později posloužil jako základ pro Obecnou teorii relativity (GR). Obě tyto teorie sloužily jako podnět k rychlému rozvoji vícerozměrné diferenciální geometrie libovolných hladkých variet  - zejména Riemannovy a pseudoRiemannovy .

Diskrétní a počítačová matematika

Ve druhé polovině 20. století došlo vlivem nástupu počítačů k výraznému přeorientování matematického úsilí. Významně vzrostla role takových sekcí, jako jsou numerické metody , teorie optimalizace , komunikace s velmi rozsáhlými databázemi , imitace umělé inteligence , kódování audio a video dat atd. Vznikly nové vědy - kybernetika , informatika , rozpoznávání vzorů , teoretické programování, teorie automatického překladu, počítačové modelování, kompaktní kódování audio a video informací atd.

Řada starých problémů byla vyřešena pomocí počítačových důkazů [57] . Wolfgang Haken a Kenneth Apel vyřešili problém čtyř barev pomocí počítače ( 1976 ).

21. století

V roce 2000 sestavil Clay Mathematical Institute seznam sedmi nejdůležitějších matematických problémů „důležitých klasických problémů, které nebyly po mnoho let vyřešeny“. V roce 2003 vyřešil Grigory Perelman jeden z úkolů tisíciletí – Poincarého hypotézu .

V 21. století má většina matematických časopisů online verzi a některé časopisy vycházejí pouze na internetu. Roste tlak na publikování s otevřeným přístupem, které poprvé zpopularizoval arXiv . Obliba distribuovaného počítání roste , což dává výzkumníkům možnost využít obrovský výpočetní výkon osobních počítačů z celého světa k numerickému testování různých matematických hypotéz, například projekt PrimeGrid hledá prvočísla zvláštního druhu. Navíc se zvyšují schopnosti počítačových nástrojů, pro důkazy člověk-stroj a pro automatické ověřování důkazů byl například v roce 2014 ověřen důkaz Keplerovy hypotézy pomocí počítačového systému.

Viz také

Poznámky

Komentáře
  1. ↑ „Podle většiny názorů byla geometrie poprvé objevena v Egyptě a vznikla z měření ploch“ // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. - Lipsko, 1873. - S. 64.
  2. ↑ „...takzvaní pythagorejci, kteří se chopili matematiky, byli první, kdo ji vyvinul, a když ji zvládli, začali ji považovat za počátky všeho, co existuje ... zdálo se jim, že všechno ostatní je jasné přirovnali k číslům v přírodě a že čísla jsou první v celé přírodě, pak předpokládali, že prvky čísel jsou prvky všeho, co existuje, a že celé nebe je harmonie a číslo“ // Aristoteles. Metafyzika, kapitola pátá. - M. - L. , 1934. - S. 26-27.
  3. ↑ To se nevztahuje na současný Kaliningrad, ale na Königsberg v Bavorsku .
Prameny
  1. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty, 1984 , s. 44-47.
  2. ↑ Mladý V. N. Eseje o ospravedlnění matematiky. - M .: Uchpedgiz, 1958. - S. 7.
  3. ↑ Wigner EP The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences  // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - č. 13 . - S. 1-14 . Viz ruský překlad v knize Etudy o symetrii . - M. : Mir, 1971. nebo v UFN za březen 1968 Archivní kopie z 23. března 2012 na Wayback Machine .
  4. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty, 1984 , s. 323-407.
  5. ↑ Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. - Moskva: Mir, 1987. - S. 53. - 428 s.
  6. ↑ Frolov B. A. Čísla v paleolitické grafice. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - 240 s.
  7. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. 12-13.
  8. ↑ Mach E. Poznání a klam // Albert Einstein a teorie gravitace. - M. : Mir, 1979. - S. 74 (poznámka pod čarou). — 592 s. : "než vyvstane pojem čísla, musí existovat zkušenost, že v určitém smyslu existují předměty stejné hodnoty mnohonásobné a neměnné ."
  9. ↑ Andronov, 1959 , s. 40-54.
  10. ↑ Andronov, 1959 , s. 60-77.
  11. ↑ Andronov, 1959 , s. 77-94.
  12. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. čtrnáct.
  13. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. 21-33.
  14. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. 30-32.
  15. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. 158.
  16. ↑ Přírodovědné znalosti starověkého Ruska (XI-XV století) . www.portal-slovo.ru. Získáno 19. května 2019. Archivováno z originálu dne 24. září 2020.
  17. ↑ Sofya Kovalevskaya: první profesorka matematiky na světě  // www.rosimperija.info. Archivováno 18. května 2019.
  18. ↑ Nemorální. O těchto číslech / Per. a cca. S. N. Schrader. Ed. I. N. Veselovský // Historický a matematický výzkum. - 1959. - T. XII . - S. 559-678 .
  19. ↑ Zubov V.P. Z dějin středověkého atomismu // Sborník Ústavu dějin přírodních věd. - 1947. - T. I. - S. 293 .
  20. ↑ Orem N. Pojednání o konfiguraci kvalit // Historický a matematický výzkum / Per. V. P. Zubová . - M. , 1958. - Vydání. 11 . - S. 601-732 .
  21. ↑ Alexandrov A.D. Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech svazcích). - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 1. - S. 39-40. — 296 s.
  22. ↑ Gindikin S. G. Příběhy fyziků a matematiků . - M .: Nauka, 1982. - (Bibl. "Quantum", číslo 14).
  23. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , svazek I, str. 304-305.
  24. ↑ Fr. víš . Úvod do analýzy umění. Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e phisiche, v. Já, 1868.
  25. ↑ Descartes R. Geometry Archivní kopie ze dne 13. listopadu 2007 na Wayback Machine // Diskuse o metodě s aplikacemi / Přeloženo, články a komentáře G. G. Slyusareva a A. P. Juškeviče. M.-L.: Ed. Akademie věd SSSR, 1953.
  26. ↑ Dějiny matematiky, 1970-1972 , II. díl, str. 21.
  27. ↑ Juškevič A.P. Descartes a matematika. // R. Descartes. Geometrie. M.-L.: 1938. S. 255-294.
  28. ↑ Descartes R. Geometrie. S aplikací vybraných děl P. Fermata a korespondence Descarta / Přeložil, poznámky a článek A. P. Juškeviče. M.-L.: 1938.
  29. ↑ Bernoulli J. O zákonu velkých čísel / Per. Ano, V. Uspenský. Předmluva A. A. Markova. Moskva: Nauka, 1986.
  30. ↑ I. Kepler. Nová stereometrie vinných sudů Archivováno 8. února 2013 na Wayback Machine / Per. a předmluvu G. N. Sveshnikov. Úvodní článek M. Ya. Vygodského. M.-L.: GTTI, 1935. S. 109.
  31. ↑ Cavalieri B. Geometrie, vyjádřená novým způsobem pomocí spojitých nedělitelných, s aplikací "Experimentu IV" o aplikaci nedělitelných na algebraické mocniny / Překlad, úvodní článek a komentáře S. Ya. Lurie. M.-L.: 1940.
  32. ↑ Fermat P. Úvod do studia plochých a prostorových míst. O maximu a minimu. Výňatky z korespondence s Descartem // R. Descartes. Geometrie. M.-L.: 1938. S. 137-196.
  33. ↑ I. Newton. Matematické práce / Překlad, články a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského. M.-L.: 1937.
  34. ↑ Leibniz G. V. Vybrané pasáže z matematických děl / Sestavil a přeložil A. P. Juškevič. - Hodně štěstí, Math. vědy, 1948. T. III. V. I (23). s. 165-204.
  35. ↑ Antoine Arnault . Nové počátky geometrie ( francouzské  Nouveaux elements de geometrie ), Paříž, 1667.
  36. ↑ J. Lagrange. Analytická mechanika, svazek I, II Archivní kopie z 1. srpna 2008 na Wayback Machine / Per. V. S. Gokhman, ed. L. G. Loitsyansky a A. I. Lurie. M.-L.: 1950.
  37. ↑ Laplace P. S. Prohlášení o systému světa. - L.: Nauka, 1982. 376 s.
  38. ↑ L. Euler. Úvod do analýzy nekonečna. Svazek I Archivováno 1. května 2013 na Wayback Machine / Per. E. L. Patsanovsky, článek A. Speisera, ed. I. B. Pogrebyssky. S. 109.
  39. ↑ Kotek V. V. Leonhard Euler. M.: Uchpedgiz, 1961
  40. ↑ Laplace P. Zkušenosti z filozofie teorie pravděpodobnosti / Per. AIB; vyd. A. K. Vlasová. M.: 1908.
  41. ↑ Panov V.F. Starověká a mladá matematika. - Ed. 2., opraveno. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 477. - 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  42. ↑ G. Monge. Deskriptivní geometrie / Per. V. F. Gaze, editoval D. I. Kargip. M.: 1947.
  43. ↑ Gauss K. F. Obecný výzkum zakřivených ploch Archivováno 5. března 2014 na Wayback Machine // Foundations of Geometry. M.: GITTL, 1956.
  44. ↑ Stroyk D. Esej o historii diferenciální geometrie. M.; L.: Gostekhizdat, 1941.
  45. ↑ Riemann B. Works Archived 1. května 2013 na Wayback Machine M.-L.: OGIZ. GITTL, 1948.
  46. ↑ O. L. Cauchy. Algebraická analýza / Per. F. Ewald, V. Grigorjev, A. Iljin. Lipsko: 1864. S. VI.
  47. ↑ K. F. Gauss Proceedings in number theory Archivní kopie ze 14. září 2011 na Wayback Machine / Per. B. B. Demjanová, generál ed. I. M. Vinogradov, komentáře B. N. Delaunaye. M.: Nakladatelství Akademie věd SSSR, 1959.
  48. ↑ Casssels J. Úvod do geometrie čísel M.: Mir, 1965.
  49. ↑ Galois E. Works. M.-L.: ONTI, 1936.
  50. ↑ Hilbert Issues Archived 1. června 2013 na Wayback Machine / Ed. P. S. Alexandrova. M.: "Nauka", 1969. S. 34.
  51. ↑ Jevons S. Základy vědy. Petrohrad: 1881.
  52. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty, 1984 , s. 228-250.
  53. ↑ Kline M. Matematika. Ztráta jistoty, 1984 , s. 251-299.
  54. ↑ Alexandrov A.D. Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech svazcích). - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 1. - S. 59-60. — 296 s.
  55. ↑ Postnikov A. G. Pravděpodobnostní teorie čísel. - M. : Knowledge, 1974. - 64 s. - (Novinka v životě, vědě).
  56. ↑ Weil G. Půl století matematiky, 1969 , s. 7-8.
  57. ↑ Graham, Ronald. Matematika a počítače: problémy a vyhlídky // Kvant . - 2016. - č. 3 . - S. 2-9.

Literatura

celé historické období Dávná historie Nový čas, XVI-XVIII století XIX-XX století

Odkazy

 Historie matematiky
Země a éry
Tematické
sekce
viz také