Tenzorový produkt

Tenzorový součin je operace s vektorovými prostory , stejně jako s prvky ( vektory , matice , operátory , tenzory atd.) násobených prostorů.

Tenzorový součin lineárních prostorů je lineární prostor označený . Pro prvky a jejich tenzorový součin leží v prostoru . $A$ $B$ $Někdy B$ $v A$ $b\in B$ $a\otimes b$ $Někdy B$

Zápis pro tenzorový součin vznikl analogicky se zápisem pro kartézský součin množin.

Tenzorový součin lineárních (vektorových) prostorů

Konecnorozměrné prostory

Nechť a být konečnorozměrné vektorové prostory nad polem , být základem v , a být základem v . Tenzorový součin prostorů budeme nazývat vektorový prostor generovaný prvky , nazývaný tenzorové součiny bázových vektorů . Tenzorový součin libovolných vektorů lze definovat nastavením operace jako bilineární : $A$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\tečky n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\tečky m}}$ $B$ $Někdy B$ $A$ $B$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $a\otimes b$ $a\v A,~b\v B$ $\otimes$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ v K

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \v K

V tomto případě je tenzorový součin libovolných vektorů vyjádřen jako lineární kombinace základních vektorů . Prvky v , reprezentovatelné jako , se nazývají rozložitelné . $A$ $b$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $Někdy B$ $a\otimes b$

Přestože je tenzorový součin prostorů definován z hlediska volby bází, jeho geometrické vlastnosti na této volbě nezávisí.

Definování pomocí obecné vlastnosti

Tenzorový součin je v jistém smyslu nejobecnějším prostorem, do kterého lze bilineárně mapovat původní prostory. Konkrétně pro jakýkoli jiný prostor a bilineární mapování existuje jedinečné lineární mapování takové, že $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f:A\okrát B\to C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

kde označuje složení funkcí . $\circ$

Zejména z toho vyplývá, že součin tenzoru nezávisí na volbě bází v a , protože všechny prostory splňující univerzální vlastnost se ukáží jako kanonicky izomorfní k . $A$ $B$ $Někdy B$

Zadání libovolného bilineárního zobrazení je tedy ekvivalentní zadání lineárního zobrazení : prostory a jsou kanonicky izomorfní. $L^{2}\ni \varphi :A\krát B\to C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\ L^{2}(A\krát B,C)$ $L(A\krát B,C)$

Součin více než dvou prostorů

Výše uvedená univerzální vlastnost může být rozšířena na produkty s více než dvěma prostory. Nechť , , a jsou například tři vektorové prostory. Tenzorový součin spolu s trilineárním mapováním z přímého součinu $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

má formu, jako jakékoli trilineární zobrazení z přímého součinu do vektorového prostoru $F$ $W$

F:V_{1}\krát V_{2}\krát V_{3}\to W

jedinečně prochází produktem tensor:

F=L\circ \varphi

kde je lineární zobrazení. Tenzorový součin je jedinečně charakterizován touto vlastností až do izomorfismu . Výsledek výše uvedené konstrukce se shoduje s opakováním tenzorového součinu dvou prostorů. Například, jestliže , a jsou tři vektorové prostory, pak existuje (přirozený) izomorfismus $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\otimes V_{3}.

Obecně je tenzorový součin libovolné indexované rodiny množin definován jako univerzální objekt pro multilineární zobrazení z přímého součinu . $V_i$ $i\v I$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Nechť je libovolné přirozené číslo. Pak se tenzorová mocnina prostoru nazývá tenzorový součin kopií : $n$ $n$ $PROTI$ $n$ $PROTI$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funkčnost

Tenzorový součin také působí na lineární zobrazení. Dovolit , být lineární operátory. Tenzorový součin operátorů je určen pravidlem $A\dvojtečka U_{1}\to U_{2}$ ${\displaystyle B\colon W_{1}\to W_{2))$ ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2))$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

Po této definici se tenzorový součin stává bifunktorem z kategorie vektorových prostorů do sebe, kovariantním v obou argumentech. [jeden]

Pokud matice operátorů A a B pro nějaký výběr bází mají tvar

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

pak se matice jejich tenzorového součinu zapíše do báze tvořené tenzorovým součinem bází ve formě blokové matice

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky &&&\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatrix}}

Odpovídající maticová operace se nazývá Kroneckerův produkt podle Leopolda Kroneckera .

Speciální případy

Tenzorový součin dvou vektorů

(Matricové) násobení sloupcového vektoru vpravo řádkovým vektorem popisuje jejich tenzorový součin:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Vlastnosti

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Následující algebraické vlastnosti jsou založeny na kanonickém izomorfismu:

Asociativnost

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Formálně řečeno, tenzorový součin není komutativní, ale existuje přirozený izomorfismus $A\otimes B\to B\otimes A$
Linearita

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

je vnější součet lineárních prostorů.

Tenzorový součin modulů

Dovolit být moduly přes nějaký komutativní kruh . Tenzorovým součinem modulů je modul přes , daný spolu s multilineárním zobrazením a mající vlastnost univerzálnosti, to znamená, že pro jakýkoli modul přes a jakékoli multilineární zobrazení existuje jedinečný homomorfismus modulů takový, že diagram $A_{1},A_{2},\tečky ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\dvojtečka A_{1}\times \tečky \times A_{n}\to B$ $C$ $R$ $g\dvojtečka A_{1}\times \tečky \times A_{n}\to C$ $h\dvojtečka B\to C$

komutativní. Tenzorový součin je označen . Z univerzálnosti tenzorového součinu vyplývá, že je jednoznačně definován až do izomorfismu. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

Abychom dokázali existenci tenzorového součinu libovolných modulů v komutativním kruhu, zkonstruujeme volný modul, jehož generátory jsou n prvky modulů , kde . Nechť je submodul generovaný následujícími prvky: $M$ $(x_{1},\tečky ,x_{n})$ $x_{i}\v A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\tečky ,x_{i}+y_{i},\tečky ,x_{n})-(x_{1},\tečky ,x_{i},\tečky ,x_{n}) -(x_{1},\tečky ,y_{i},\tečky ,x_{n})$
$(x_{1},\tečky ,\lambda x_{i},\tečky ,x_{n})-\lambda (x_{1},\tečky ,x_{i},\tečky,x_{n})$

Tenzorový součin je definován jako kvocientový modul , třída se označuje a nazývá se prvek tenzorový součin , a je definován jako odpovídající indukované zobrazení. $B=M/N$ $(x_{1},\tečky,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $F$

Z bodů 1) a 2) vyplývá, že zobrazení je multilineární. Dokažme, že pro jakýkoli modul a jakékoli multilineární zobrazení existuje jedinečný homomorfismus modulu , takový, že . $f\dvojtečka A_{1}\times \tečky \times A_{n}\to B$ $C$ $g\dvojtečka A_{1}\times \tečky \times A_{n}\to C$ $h$ $g=h\circ f$

Ve skutečnosti, protože je zdarma, existuje jedinečné mapování , které vytváří diagram $M$ $h^{*}$

komutativní, a vzhledem k tomu, že je multilineární, tak na , odtud, přejdeme k indukovanému zobrazení, dostaneme, že , bude jediný homomorfismus, jehož existenci bylo potřeba dokázat. $G$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\dvojtečka M/N\to C$

Prvky , které mohou být reprezentovány ve formě , se nazývají rozložitelné . $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$

Pokud jsou izomorfismy modulů, pak indukovaný homomorfismus odpovídá bilineárnímu zobrazení $f_{i}\dvojtečka A_{i}\to B_{i}$

f_{1}\otimes \tečky \otimes f_{n}\dvojtečka A_{1}\otimes \tečky \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \tečky \otimes B_{n}

existující vlastností univerzálnosti se nazývá tenzorový součin homomorfismů . $f_{i}$

Obzvláště jednoduchý případ je získán v případě volných modulů . Nechť je základem modulu . Vytvořme volný modul nad naším prstencem, jehož základem jsou prvky odpovídající n -kam , definující zobrazení a rozšíření o lineárnost. Pak je tenzorový součin, kde je tenzorový součin prvků . Pokud je počet modulů a všech jejich základen konečný, pak $e_{{i1}},\tečky ,e_{{in}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\tečky ,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\tečky ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\tečky ,e_{{ns }})$ $A_{1}\times\tečky\times A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\tečky ,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rank}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rank}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rank}} \,A_{n}

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebra. — M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 s.

Poznámky

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Naděžda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Algebry, kruhy a moduly (neopr.) . - Springer, 2004. - S. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .