Produkt Kronecker

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kroneckerův součin je binární operace na maticích libovolné velikosti, značená . Výsledkem je bloková matice . $\otimes$

Produkt Kronecker by neměl být zaměňován s běžným maticovým násobením . Operace je pojmenována po německém matematikovi Leopoldu Kroneckerovi .

Definice

Jestliže A je matice m × n a B je matice p × q , pak Kroneckerův součin je bloková matice mp × nq

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B \end{bmatrix}}.

Rozšířený

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}& \cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22} &\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\ vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\ cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vtečky \\\vtečky &\vtečky &&\vtečky &&\dtečky &\vtečky &\vtečky &&\vtečky \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\ctečky &a_{m1} b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1 }b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_ {pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Jestliže A a B jsou lineární transformace V 1 → W 1 a V 2 → W 2 , v tomto pořadí, pak A ⊗ B je tenzorový součin dvou zobrazení, V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2 .

Příklad

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\ cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\t3\7&cdot 5\ \cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}

Bilinearita, asociativita a nekomutativnost

Produkt Kronecker je speciálním případem produktu tensor , což znamená, že je bilineární a asociativní :

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,

(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,

(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),

kde A , B a C jsou matice a k je skalár.

Produkt Kronecker není komutativní . I když vždy existují permutační matice P a Q takové, že

A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.

Jestliže A a B jsou čtvercové matice , pak A B a B A jsou permutačně podobné , to znamená P = Q T . $\otimes$ $\otimes$

Transpozice

Operace transpozice a hermitovské konjugace mohou být zaměněny s produktem Kronecker:

(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},

(A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.

Smíšený produkt

Jestliže A , B , C a D jsou matice takové velikosti , že existují součiny AC a BD , pak

(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.

A B je reverzibilní tehdy a jen tehdy, když A a B jsou reverzibilní, a pak $\otimes$

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.

(A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)

, kde je produkt Hadamard

\odot

A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)

, kde je matice identity.

já

Součet a Kroneckerův exponent

Nechť A je matice n × n , B je matice m × m a je k × k matice identity . Pak lze definovat Kroneckerův součet jako $E_k$ $\oplus$

A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.

Také spravedlivé

e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.

Spektrum, stopa a determinant

Jestliže A a B jsou čtvercové matice velikosti n a q , v tomto pořadí. Jestliže λ 1 , …, λ n jsou vlastní čísla matice A a μ 1 , …, μ q jsou vlastní čísla matice B . Pak jsou vlastní hodnoty A B $\otimes$

\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.

Stopa a determinant produktu Kronecker jsou stejné

\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),

\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.

Dekompozice singulární hodnoty a pořadí

Pokud má matice A r A nenulové singulární hodnoty :

\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.

Nenulové singulární hodnoty matice B :

\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.

Pak má Kroneckerův součin A B r A r B nenulové singulární hodnoty $\otimes$

\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.

Hodnost matice se rovná počtu nenulových singulárních hodnot,

\operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).

Historie

Kroneckerův kus je pojmenován po Leopoldu Kroneckerovi , i když existuje jen málo důkazů, že on byl první, kdo operaci definoval a použil. V minulosti byl produkt Kronecker někdy nazýván Zefuss matrix .

Blokovat verze produktu Kronecker

V případě blokových matic lze použít maticové operace související s Kroneckerovým součinem a lišící se v pořadí odpovídajícího násobení bloku. Jedná se o díla Tracy-Singh ( angl. Tracy-Singh produkt ) a práce Khatri-Rao .

Artwork od Tracy-Singh

Naznačená operace násobení blokové matice spočívá ve skutečnosti, že každý blok levé matice je postupně násoben bloky pravé matice. V tomto případě se vytvořená struktura výsledné matrice liší od charakteristiky produktu Kronecker. Produkt Tracey-Singh je definován jako [1] [2]

\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\odot \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\ mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}

Například:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{c |  cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

{\begin{aligned}\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\odot \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\odot \mathbf {B} \end{array}}\right]={}&\left[{\begin{array}{c |  c |  c |  c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _ {12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21 }&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array }}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{cc |  cccc |  c |  cc}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}

Umělecké dílo od Khatri-Rao

Tato varianta násobení je definována pro matice se stejnou blokovou strukturou. Stanoví, že operace Kroneckerova součinu se provádí blok po bloku, v rámci stejnojmenných maticových bloků, analogicky s prvkovým Hadamardovým součinem , pouze v tomto případě se bloky matic objeví jako prvky a Kroneckerův součin je slouží k násobení bloků.

Poznámky

↑ Tracy, D.S.; Singh, R. P. (1972). „Nový maticový produkt a jeho aplikace v maticové diferenciaci“. Statistika Neerlandica . 26 (4): 143-157. DOI : 10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x .
↑ Liu, S. (1999). "Výsledky Matrixu na produktech Khatri-Rao a Tracy-Singh." Lineární algebra a její aplikace . 289 (1-3): 267-277. DOI : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .

Literatura

Horn R. Maticová analýza: Per. z angličtiny. / R. Horn, Ch. Johnson. – M.: Mir, 1989.– 655 s.