Projektivní geometrie

Projektivní geometrie je odvětví geometrie , které studuje projektivní roviny a prostory . Hlavním rysem projektivní geometrie je princip duality , který mnoha návrhům dodává půvabnou symetrii.

Projektivní geometrii lze studovat jak z čistě geometrického hlediska, tak z analytického (pomocí homogenních souřadnic ) az algebraického , přičemž projektivní rovinu považujeme za strukturu nad polem . Často a historicky je skutečná projektivní rovina považována za euklidovskou s přidáním „přímky v nekonečnu“.

Zatímco vlastnosti obrazců, kterými se zabývá euklidovská geometrie , jsou metrické (specifické hodnoty úhlů, segmentů, ploch) a ekvivalence obrazců je ekvivalentní jejich shodě (to znamená, když lze obrazce překládat jedna do druhé prostřednictvím pohyb při zachování metrických vlastností), existuje více „hlubokých“ vlastností geometrických obrazců, které jsou zachovány transformacemi obecnějšího typu než je pohyb. Projektivní geometrie se zabývá studiem vlastností obrazců, které jsou invariantní v rámci třídy projektivních transformací , jakož i těchto transformací samotných.

Projektivní geometrie doplňuje euklidovskou tím, že poskytuje krásná a jednoduchá řešení mnoha problémů komplikovaných přítomností rovnoběžných čar. Projektivní teorie kuželoseček je obzvláště jednoduchá a elegantní .

Historie

Ačkoli některé výsledky, které jsou nyní označovány jako projektivní geometrie, sahají až k práci starověkých řeckých geometrů, jako byl Pappus z Alexandrie , projektivní geometrie jako taková se zrodila v 17. století z přímé perspektivy v malířství a architektonickém kreslení. Myšlenka nekonečně vzdálených bodů, ve kterých se rovnoběžky protínají, se objevila nezávisle na francouzském architektovi Gerardu Desarguesovi a německém astronomovi Johannesu Keplerovi . Desargues dokonce navrhl, že by mohla existovat přímka sestávající pouze z bodů v nekonečnu.

V 19. století byl zájem o tuto oblast oživen díky spisům Jeana-Victora Ponceleta a Michela Challa . Poncelet odvodil projektivní prostor z Euklidova přidáním přímky v nekonečnu, na které se protínají všechny roviny rovnoběžné s danou, a dokázal princip duality. Pokračoval a výrazně prohloubil Ponceletovu práci. Později von Staudt vytvořil čistě syntetickou axiomatizaci, která kombinuje tyto linie se zbytkem.

Na konci 19. století Felix Klein navrhl použití homogenních souřadnic pro projektivní geometrii , kterou dříve zavedli Möbius , Plücker a Feuerbach .

Terminologie

Základními pojmy projektivní geometrie, které ve standardní axiomatizaci nejsou definovány, jsou bod a přímka . Soubor bodů na přímce se nazývá řada a soubor čar procházejících bodem se nazývá svazek . Množina bodů na přímkách v tužce A , které se protínají s přímkou BC , definuje rovinu ABC . Princip duality říká, že jakákoli konstrukce projektivní geometrie v n -rozměrném prostoru zůstává pravdivá, pokud ve všech případech nahradíme ( k )-rozměrné konstrukce ( n - k - 1)-rozměrnými. Jakákoli konstrukce v projektivní rovině tedy zůstane pravdivá, pokud nahradíme body úsečkami a úsečky body.

Převedením řádku čáry X na tužku bodu x , který není v této řadě, nebo naopak, identifikuje každý bod v řadě s čárou z tužky, která jej protíná, a je napsáno X ⌅ x . Sled několika takových transformací (z řady na svazek, pak zpět na řadu atd.) se nazývá projektivita . Perspektiva je posloupnost dvou projektivit (psaných X ⌆ X ′). Perspektiva dvou přímek prochází středem O a perspektiva dvou bodů prochází osou o . Bod je při projektivitě invariantní , pokud jej projektivita transformuje na stejný bod.

Trojúhelník jsou tři body spojené ve dvojicích přímkami. Úplný čtyřúhelník jsou čtyři body (vrcholy) v jedné rovině, z nichž žádný není kolineární , spojené ve dvojicích přímkami. Průsečík dvou těchto čar, který není vrcholem, se nazývá diagonální bod . Úplný čtyřstěn je definován podobně, ale s body místo čar a úsečkami místo bodů. Podobně lze definovat úplný n - úhelník a úplnou n -plochu .

Dva trojúhelníky jsou perspektivní , pokud je lze spojit perspektivou, tj. jejich plochy se protínají v kolineárních bodech (perspektiva přes čáru) nebo jejich vrcholy jsou spojeny konkurenčními čarami (perspektiva přes bod).

Základní přístupy

Existují tři hlavní přístupy k projektivní geometrii: nezávislá axiomatizace , doplnění euklidovské geometrie a struktura nad polem.

Axiomatizace

Projektivní prostor lze definovat pomocí jiné sady axiomů. Coxeter poskytuje následující:

Existuje čára a bod na ní není.
Každý řádek má alespoň tři body.
Prostřednictvím dvou bodů lze nakreslit právě jednu čáru.
Jestliže , , , a jsou různé body a a protínají se, pak a protínají. $A$ $B$ $C$ $D$ $AB$ $CD$ $AC$ $BD$
Jestliže je rovina, pak alespoň jeden bod není v rovině . $ABC$ $ABC$
Dvě odlišné roviny se protínají alespoň ve dvou bodech.
Tři diagonální body úplného čtyřúhelníku nejsou kolineární.
Pokud jsou tři body na přímce invariantní pod projektivitou , pak všechny body na přímce jsou invariantní pod . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$

Projektivní rovina (bez třetího rozměru) je definována poněkud odlišnými axiomy:

Prostřednictvím dvou bodů lze nakreslit právě jednu čáru.
Jakékoli dvě čáry se protínají.
Existují čtyři body, z nichž žádné tři nejsou kolineární.
Tři diagonální body úplných čtyřúhelníků nejsou kolineární.
Pokud jsou tři body na přímce invariantní pod projektivitou , pak všechny body na přímce jsou invariantní pod . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$
Desarguesův teorém : Pokud jsou dva trojúhelníky perspektivní skrz bod, pak jsou perspektivní přes přímku.

V přítomnosti třetí dimenze lze Desarguesovu větu dokázat bez zavedení ideálního bodu a přímky.

Doplňování euklidovské geometrie

Historicky byl projektivní prostor poprvé definován jako doplněk euklidovského prostoru ideálním prvkem, rovinou v nekonečnu. Každý bod v této rovině odpovídá směru v prostoru a je průsečíkem všech přímek tohoto směru.

Struktura nad polem

$n$ -rozměrný projektivní prostor nad polem je definován pomocí systému homogenních souřadnic nad , tedy množinou nenulových vektorů prvků . Bod a přímka jsou definovány jako množina vektorů, které se liší násobením konstantou. Bod je na čáře , pokud je bodový součin . Tedy, vzhledem k přímce , můžeme definovat lineární rovnici , která definuje řadu bodů na . Z toho vyplývá, že body , , a jsou kolineární, pokud pro nějakou přímku . $F$ $F$ $(n+1)$ $F$ $X$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $X$ $y$ $z$ $X\cdot x=X\cdot y=X\cdot z=0$ $X$

Důležité věty

Literatura

Buseman G., Kelly P. Projektivní geometrie a projektivní metriky . M., 1957.
Baer R. Lineární algebra a projektivní geometrie . M., 1955.
Volberg AO Základní myšlenky projektivní geometrie . M.–L.: Uchpedgiz, 1949.
Glagolev N. A. Projektivní geometrie . M.–L., 1936.
Courant R, Robbins G. Co je matematika , Kapitola IV. 2001
Hartshorne R. Základy projektivní geometrie . M., 1970.
Chetverukhin N. F. Projektivní geometrie . Moskva: Vzdělávání, 1969.
Projektivní geometrie Jung JW . M.: IL, 1949.