Vektorová analýza je odvětví matematiky, které rozšiřuje metody matematické analýzy na vektory , obvykle ve dvou nebo třech rozměrech.
Objekty aplikace vektorové analýzy jsou:
Vektorová analýza nachází své největší uplatnění ve fyzice a inženýrství . Hlavní výhody vektorových metod oproti tradičním souřadnicovým metodám:
Nejčastěji používané vektorové operátory jsou:
Operátor | Označení | Popis | Typ |
---|---|---|---|
Spád | Určuje směr a rychlost nejrychlejšího nárůstu skalárního pole. | Skalární vektor | |
Divergence | Charakterizuje divergenci, zdroje a propady vektorového pole. | Vektor skalární | |
Rotor | Charakterizuje vírovou složku vektorového pole. | vektorový vektor | |
laplacký | Kombinace divergence s gradientem. | skalární skalár | |
Laplaciánský vektor | [jeden] | vektorový vektor |
Skalární pole | vektorové pole | ||
---|---|---|---|
Tyto operace se nazývají diferenciální operace druhého řádu z toho důvodu, že jsou redukovány na dvojí diferenciaci skalárních nebo vektorových funkcí (formálně: v jejich symbolickém zápisu se Hamiltonův operátor vyskytuje dvakrát). [2]
Uveďme souhrn prakticky důležitých teorémů vícerozměrné analýzy ve vektorovém zápisu.
Teorém | Záznam | Vysvětlivky |
---|---|---|
gradientová věta | Křivočarý integrál gradientu skalárního pole se rovná rozdílu mezi hodnotami pole v hraničních bodech křivky. | |
Greenova věta | Křivočarý integrál přes uzavřený rovinný obrys lze převést na dvojitý integrál přes oblast ohraničenou obrysem. | |
Stokesova věta | Plošný integrál stočení vektorového pole se rovná cirkulaci podél hranice tohoto povrchu. | |
Ostrogradského-Gaussova věta | Objemový integrál divergence vektorového pole je roven průtoku tohoto pole hraničním povrchem. |
W. Hamilton jako první zavedl vektory v souvislosti s objevem v roce 1843 kvaternionů (jako jejich trojrozměrné imaginární části). Ve dvou monografiích (1853, 1866 posmrtně) Hamilton představil koncept vektoru a vektorové funkce , popsal diferenciální operátor (" nabla ", 1846) a mnoho dalších konceptů vektorové analýzy. Jako operace na nových objektech definoval skalární a vektorové součiny, které byly pro kvaterniony získány čistě algebraicky (s jejich obvyklým násobením). Hamilton také představil koncepty kolinearity a koplanarity vektorů, orientace vektorového trojitého atd.
Kompaktnost a neměnnost vektorového symbolismu používaného v prvních dílech Maxwella (1873) zajímala fyziky; Brzy vyšly Gibbsovy Elements of Vector Analysis (80. léta 19. století) a poté Heaviside ( 1903 ) dal vektorovému počtu moderní vzhled. Je pozoruhodné, že již v dílech Maxwella kvaternionová terminologie téměř chybí, ve skutečnosti je nahrazena terminologií čistě vektorovou. Termín "vektorová analýza" navrhl Gibbs (1879) ve svých přednáškách.
Slovníky a encyklopedie | |
---|---|
V bibliografických katalozích |
Odvětví matematiky | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Portál "Věda" | ||||||||||
Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky | ||||||||||
Teorie čísel ( aritmetika ) | ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
| ||||||||||
|