Vektorová analýza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Vektorová analýza  je odvětví matematiky, které rozšiřuje metody matematické analýzy na vektory , obvykle ve dvou nebo třech rozměrech.

Rozsah

Objekty aplikace vektorové analýzy jsou:

Vektorová analýza nachází své největší uplatnění ve fyzice a inženýrství . Hlavní výhody vektorových metod oproti tradičním souřadnicovým metodám:

  1. Kompaktnost. Jedna vektorová rovnice kombinuje několik souřadnicových a její studium lze nejčastěji provádět přímo, aniž by se nahrazovaly vektory jejich souřadnicovým zápisem.
  2. Invariance. Vektorová rovnice nezávisí na souřadnicovém systému a lze ji snadno převést do souřadnicového zápisu v jakémkoli vhodném souřadnicovém systému.
  3. viditelnost. Diferenciální operátory vektorové analýzy a vztahy s nimi spojené mají obvykle jednoduchou a jasnou fyzikální interpretaci.

Vektorové operátory

Nejčastěji používané vektorové operátory jsou:

Operátor Označení Popis Typ
Spád Určuje směr a rychlost nejrychlejšího nárůstu skalárního pole. Skalární vektor
Divergence Charakterizuje divergenci, zdroje a propady vektorového pole. Vektor skalární
Rotor Charakterizuje vírovou složku vektorového pole. vektorový vektor
laplacký Kombinace divergence s gradientem. skalární skalár
Laplaciánský vektor [jeden] vektorový vektor

Rozdílové operace druhého řádu

Skalární pole vektorové pole

Tyto operace se nazývají diferenciální operace druhého řádu z toho důvodu, že jsou redukovány na dvojí diferenciaci skalárních nebo vektorových funkcí (formálně: v jejich symbolickém zápisu se Hamiltonův operátor vyskytuje dvakrát). [2]

Základní poměry

Uveďme souhrn prakticky důležitých teorémů vícerozměrné analýzy ve vektorovém zápisu.

Teorém Záznam Vysvětlivky
gradientová věta Křivočarý integrál gradientu skalárního pole se rovná rozdílu mezi hodnotami pole v hraničních bodech křivky.
Greenova věta Křivočarý integrál přes uzavřený rovinný obrys lze převést na dvojitý integrál přes oblast ohraničenou obrysem.
Stokesova věta Plošný integrál stočení vektorového pole se rovná cirkulaci podél hranice tohoto povrchu.
Ostrogradského-Gaussova věta Objemový integrál divergence vektorového pole je roven průtoku tohoto pole hraničním povrchem.

Historický nástin

W. Hamilton jako první zavedl vektory v souvislosti s objevem v roce 1843 kvaternionů (jako jejich trojrozměrné imaginární části). Ve dvou monografiích (1853, 1866 posmrtně) Hamilton představil koncept vektoru a vektorové funkce , popsal diferenciální operátor (" nabla ", 1846) a mnoho dalších konceptů vektorové analýzy. Jako operace na nových objektech definoval skalární a vektorové součiny, které byly pro kvaterniony získány čistě algebraicky (s jejich obvyklým násobením). Hamilton také představil koncepty kolinearity a koplanarity vektorů, orientace vektorového trojitého atd.

Kompaktnost a neměnnost vektorového symbolismu používaného v prvních dílech Maxwella (1873) zajímala fyziky; Brzy vyšly Gibbsovy Elements of Vector Analysis (80. léta 19. století) a poté Heaviside ( 1903 ) dal vektorovému počtu moderní vzhled. Je pozoruhodné, že již v dílech Maxwella kvaternionová terminologie téměř chybí, ve skutečnosti je nahrazena terminologií čistě vektorovou. Termín "vektorová analýza" navrhl Gibbs (1879) ve svých přednáškách.

Viz také

Literatura

Poznámky

  1. V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Matematický slovník vyšší školy“. Nakladatelství MPI 1984. Článek "Laplaceův operátor" a "Vektorový polní rotor".
  2. V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Matematický slovník vyšší školy“. Nakladatelství MPI 1984. Článek "Diferenční operace druhého řádu".

Odkazy