Funkční vektor

Vektorová funkce je funkce, jejíž hodnoty jsou vektory ve vektorovém prostoru dvou, tří nebo více rozměrů. Argumenty funkce mohou být: $\mathbb {V}$

jedna skalární proměnná - pak se hodnoty vektorové funkce určí do nějaké křivky ; $\mathbb {V}$
m skalárních proměnných - pak hodnoty vektorové funkce tvoří , obecně řečeno, m - rozměrný povrch; $\mathbb {V}$
vektorová proměnná - v tomto případě je vektorová funkce obvykle považována za vektorové pole na . $\mathbb {V}$

Vektorová funkce jedné skalární proměnné

Pro názornost se dále omezujeme na případ trojrozměrného prostoru, i když rozšíření na obecný případ není obtížné. Vektorová funkce jedné skalární proměnné mapuje nějaký interval reálných čísel do množiny prostorových vektorů (interval může být i nekonečný). ${\mathbf {r}} (t)$ ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2))$

Po výběru souřadnicových vektorů můžeme vektorovou funkci rozložit na tři souřadnicové funkce x ( t ), y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)) , \mathbf {\hat {j)) ,\mathbf {\hat {k))$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)) +y(t)\mathbf {\hat {j)) +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Hodnoty vektorové funkce, považované za poloměrové vektory , tvoří určitou křivku v prostoru, pro kterou je t parametr.

O vektorové funkci se říká, že má limitu v bodě if (zde a níže označujeme modul vektoru ). Limita vektorové funkce má obvyklé vlastnosti: ${\mathbf {r}} (t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

Limita součtu vektorových funkcí je rovna součtu limit členů (za předpokladu, že existují).
Limita skalárního součinu vektorových funkcí je rovna skalárnímu součinu limit faktorů.
Limita vektorového součinu vektorových funkcí je rovna vektorovému součinu limit faktorů.

Spojitost vektorové funkce je definována tradičně.

Derivace vektorové funkce s ohledem na parametr

Definujme derivaci vektorové funkce s ohledem na parametr: ${\mathbf {r}} (t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Pokud v bodě existuje derivace , říká se, že vektorová funkce je v tomto bodě diferencovatelná. Souřadnicové funkce pro derivaci budou . $t$ $x'(t),\y'(t),\z'(t)$

Vlastnosti derivace vektorové funkce (všude se předpokládá, že derivace existují):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - derivace součtu je součtem derivací
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — zde f(t) je diferencovatelná skalární funkce.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenciace skalárního součinu .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\left[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\right]+\left[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — diferenciace vektorového součinu .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ je diferenciace smíšeného produktu .

Pro aplikace vektorových funkcí jedné skalární proměnné v geometrii viz: diferenciální geometrie křivek .

Vektorová funkce několika skalárních proměnných

Pro názornost se omezíme na případ dvou proměnných v trojrozměrném prostoru. Hodnoty vektorové funkce (jejich hodograf ) tvoří obecně dvourozměrnou plochu, na které lze argumenty u, v považovat za vnitřní souřadnice bodů plochy. $\mathbf {r} (u,v)$

V souřadnicích vypadá rovnice takto: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)

Podobně jako v případě jedné proměnné můžeme definovat derivace vektorové funkce, které nyní budou dvě: . Úsek plochy bude nedegenerovaný (tedy v našem případě dvourozměrný), pokud na něm nezanikne identicky. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$ $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Křivky na tomto povrchu jsou vhodně definovány jako:

u = u(t);\ v = v(t)

kde t je parametr křivky. Předpokládá se, že závislosti jsou diferencovatelné a v uvažované oblasti nesmí jejich deriváty současně zaniknout. Zvláštní roli hrají souřadnicové čáry , které tvoří mřížku souřadnic na povrchu: $u(t),\ v(t)$

u=t;\ v=const

- první souřadnicová čára.

u=const;\ v=t

je druhá souřadnicová čára.

Pokud na povrchu nejsou žádné singulární body ( nikde nemizí), pak každým bodem povrchu procházejí právě dvě souřadnicové čáry. $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Více o geometrických aplikacích vektorových funkcí několika skalárních proměnných viz: Teorie povrchu .

Literatura

Borisenko AI, Tarapov IE Vektorová analýza a principy tenzorového počtu. 3. vyd. Moskva: Vyšší škola, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Vektorová analýza. Nauka, 1978, 160 s. (2. vyd. URSS, 2002)
Kochin N. E. Vektorový počet a počátky tenzorového počtu. Archivováno 14. listopadu 2007 na Wayback Machine 9th ed. Moskva: Nauka, 1965.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný