Diferenciální geometrie křivek

Diferenciální geometrie křivek je obor diferenciální geometrie , který se zabývá studiem hladkých prostorových a rovinných křivek v euklidovském prostoru analytickými metodami.

Způsoby definování křivky

Nejobecnější způsob, jak nastavit rovnici prostorové křivky, je parametrický :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(jeden)

kde jsou hladké funkce parametru a (podmínka pravidelnosti). $x(t),\y(t),\z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Často je vhodné použít invariantní a kompaktní zápis rovnice křivky pomocí vektorové funkce :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

kde na levé straně je poloměrový vektor bodů křivky a pravá strana určuje jeho závislost na nějakém parametru . Rozšířením tohoto zápisu v souřadnicích získáme vzorec (1). $t$

V závislosti na vlastnostech diferencovatelnosti funkcí definujících křivku se hovoří o stupni hladkosti (pravidelnosti) křivky. Křivka se nazývá pravidelná , pokud pro některý z jejích bodů při vhodné volbě pravoúhlého kartézského souřadnicového systému umožňuje v blízkosti tohoto bodu zadat rovnice ve tvaru: $x(t),\y(t),\z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\ z=z(x)

kde a jsou diferencovatelné funkce. $y(x)\$ $z(x)\$

K tomu, aby bod křivky dané obecnou rovnicí (1) byl obyčejný bod (nikoli singulární bod ), stačí, aby v tomto bodě platila následující nerovnost

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

Diferenciální geometrie také uvažuje po částech hladké křivky, které se skládají z hladkých částí oddělených singulárními body. V singulárních bodech definiční funkce buď nesplňují podmínky regularity, nebo nejsou vůbec diferencovatelné.

Ploché křivky

Důležitou třídou křivek jsou rovinné křivky, tedy křivky, které leží v rovině. Rovinnou křivku lze také zadat parametricky, prvními dvěma ze tří rovnic (1). Další metody:

Explicitní zadání: . $y=f(x)\$
Implicitní zadání: . $F(x,\y)=0$

Předpokládá se, že funkce jsou průběžně diferencovatelné. Při implicitním přiřazení bude bod křivky obyčejný, pokud má funkce v jeho okolí spojité parciální derivace , které se zároveň nerovnají nule. $f,\F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Uveďme příklady singulárních bodů pro rovinné křivky.

Semikubická parabola : Obě derivace jsou na počátku nulové. Toto je singulární bod (vrchol prvního druhu), ve kterém tečný vektor náhle změní směr na opačný. $x=t^{2};\ \ y=at^{3}.$
Rovnice definuje křivku skládající se z přímky a izolovaného singulárního bodu v počátku. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

Bernoulliho lemniscate je singulární bod na samoprůsečíku. V singulárním bodě je funkce diferencovatelná, ale podmínka pravidelnosti je porušena.

Kontakt

Řada základních pojmů teorie křivek je představena pomocí pojmu kontaktu množin , který spočívá v následujícím. Dovolit a být dvě sady se společným bodem . O soupravě se říká , že má kontakt s objednávkou , pokud $M$ $m$ $Ó$ $M$ $m$ $Ó$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\to 0

v ,

X\do O

kde je vzdálenost nastaveného bodu od . $\delta (X)$ $X$ $M$ $m$

V případě křivek to znamená následující: dvě křivky ve společném bodě mají stupeň tečnosti alespoň k -tého řádu, pokud se jejich derivace ve společném bodě, až do k -tého řádu včetně, shodují.

Tangenta

Pokud vezmeme křivku jako a a přímku procházející bodem křivky, pak za podmínky kontaktu určuje tečnu ke křivce v bodě (obr. 1). Tečnu v bodě křivky lze také definovat jako limitní polohu sečny procházející skrz a blízko bodu , kdy má sklon k . $M$ $m$ $Ó$ $\alpha \geqslant 1$ $Ó$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

Hladká pravidelná křivka má v každém bodě určitou tečnu. Směr tečny v bodě křivky daný rovnicí (1) se shoduje se směrem vektoru . Ve vektorové notaci je to derivace . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

V diferenciální geometrii jsou tečné rovnice odvozeny pro různé způsoby analytické specifikace křivky. Zejména pro křivku danou rovnicí (1) budou rovnice tečny v bodě odpovídající hodnotě parametru $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} }{z_{0}'}}

kde index udává hodnotu funkcí a jejich derivátů v bodě . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

Pro rovinnou křivku má tečná rovnice v bodě následující tvar. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrický úkol: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicitní zadání: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Implicitní práce: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Spojitá rovina a normály

Vezmeme-li jako rovinu procházející bodem křivky , pak kontaktní podmínka u určuje dotykovou rovinu křivky (obr. 1). Dvojitě diferencovatelná křivka má v každém bodě souvislou rovinu. Buď je jednoznačná, nebo je tečnou jakákoliv rovina procházející tečnou křivky. $m$ $Ó$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Nechť je rovnice křivky. Potom se rovnice její souvislé roviny určí ze vztahu kde a v závorce je smíšený součin vektorů. V souřadnicích to vypadá takto: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

Přímka kolmá na tečnu a procházející bodem dotyku se nazývá normála ke křivce . Rovina kolmá na tečnu v daném bodě křivky se nazývá normální rovina ; všechny normály pro daný bod leží v normální rovině. Normála ležící v rovině dotyku se nazývá hlavní normála a normála kolmá k rovině dotyku se nazývá binormála [1] . Pro stručnost lze také jednotkové vektory podél těchto čar nazvat normální a binormální (v tomto případě se směr hlavního normálového vektoru obvykle volí tak, aby se shodoval se směrem vektoru křivosti křivky [2] ).

Vektorová rovnice binormály v bodě odpovídajícím hodnotě parametru má tvar: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Směr hlavní normály lze získat jako dvojitý křížový součin : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

U rovinné křivky se rovina, která ji obsahuje, shoduje s tečnou rovinou. Normála až po znaménko je pouze jedna - hlavní a její rovnice v bodě má následující tvar. $(x_{0},\ y_{0})$

Parametrický úkol: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Explicitní zadání: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Implicitní práce: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Souvislý kruh

Kružnice dotýkající se křivky v daném bodě má řádový kontakt s křivkou (obr. 2). Existuje v každém bodě dvojitě diferencovatelné křivky s nenulovým zakřivením (viz níže) a je také limitem procházející kružnice a dvou bodů blízko ní, když směřuje k . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Střed souvislé kružnice se nazývá střed křivosti a poloměr se nazývá poloměr křivosti . Poloměr zakřivení je převrácená hodnota zakřivení (viz níže). Střed dotykové kružnice vždy leží na hlavní normále; z toho vyplývá, že tato normála vždy směřuje ke konkávnosti křivky.

Místo středů zakřivení křivky se nazývá evoluce . Křivka ortogonálně protínající tečny křivky se nazývá evolventa . Konstrukce evoluty a evolventy jsou vzájemně inverzní operace, to znamená, že pro evolventu dané křivky je evoluta samotná křivka.

Délka oblouku křivky

Pro měření délky úseku (oblouku) libovolné křivky je tato křivka nahrazena křivkou obsahující body křivky jako body zlomu a maximální součet délek všech takových křivek se bere jako délka křivky (obr. 3). V invariantní podobě je vzorec pro výpočet délky oblouku ( narovnání křivky ) následující:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Totéž v kartézských souřadnicích:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

V polárních souřadnicích pro plochou křivku:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\theta .

Parametrizace

Křivka připouští nekonečné množství různých způsobů parametrického přiřazení rovnicemi tvaru (1). Mezi nimi má zvláštní význam tzv. přirozená parametrizace , kdy jako parametr slouží délka oblouku křivky, měřená od nějakého pevného bodu.

Mezi výhody této parametrizace patří:

${\mathbf {r))'$ má jednotkovou délku, a proto se shoduje s jednotkovým vektorem tečny.
${\mathbf {r))''$ se délkou shoduje se zakřivením a ve směru s hlavní normálou.

Zakřivení

Při pohybu po křivce její tečna mění směr. Rychlost této rotace (poměr úhlu natočení tečny za nekonečně malý časový úsek k tomuto intervalu) při rovnoměrném, s jednotkovou rychlostí, pohybu po křivce se nazývá zakřivení křivky. Časová derivace kladného jednotkového vektoru tečny se v tomto případě nazývá vektor křivosti křivky . Obě jsou funkcemi bodu na křivce. Zakřivení je absolutní hodnota vektoru zakřivení.

V případě libovolné parametrické specifikace křivky [3] , je zakřivení křivky v trojrozměrném prostoru určeno vzorcem

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\right|^{3}}}

kde je vektorová funkce se souřadnicemi . ${\mathbf {r}} (t)$ $x(t),\y(t),\z(t)$

V souřadnicích:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

Pro křivku ve vícerozměrném prostoru lze nahradit křížový součin , zde označený hranatými závorkami, vnějším součinem .

Pro křivku v prostoru libovolné dimenze můžete také použít vzorec vektoru křivosti:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

a skutečnost, že zakřivení je jeho modul, stejně jako výraz pro jednotkový vektor tečny

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

dl=|{\mathbf r}'|dt,

a získejte vzorec pro zakřivení:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\right) '\right|,

nebo otevírací závorky:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Rovné čáry a pouze přímky mají všude nulové zakřivení. Zakřivení tedy jasně ukazuje, jak se (v daném bodě) křivka liší od přímky: čím blíže je zakřivení nule, tím je tento rozdíl menší. Zakřivení kružnice o poloměru R je 1/R.

Dvojitě diferencovatelná křivka v každém bodě, kde je zakřivení nenulové, má jednu souvislou rovinu.

U rovinných křivek lze rozlišit směr rotace tečny při pohybu po křivce, takže křivosti lze přiřadit znaménko v závislosti na směru této rotace. Zakřivení rovinné křivky dané rovnicemi je určeno vzorcem $x=x(t),\y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

Znaménko nebo je převzato podle konvence, ale je zachováno podél celé křivky. $+$ $-$

Torze

Při pohybu po křivce v blízkosti daného bodu se dotyková rovina otáčí a tečna ke křivce je okamžitou osou této rotace. Rychlost rotace kontaktní roviny při rovnoměrném, s jednotkovou rychlostí, pohybu se nazývá kroucení . Směr otáčení určuje znaménko zkroucení.

Třikrát diferencovatelná křivka má určitou torzi v každém bodě s nenulovým zakřivením. V případě libovolné parametrické specifikace křivky rovnicemi (1) je kroucení křivky určeno vzorcem

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ krát \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

zde označuje smíšený produkt a je vektorovým součinem , tj. $(*,*,*)$ $[*,*]$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

Pro přímku není kroucení definováno, protože tečná rovina je definována nejednoznačně. Rovinná křivka má nulovou torzi v každém bodě. Naopak křivka se shodně nulovou torzí je plochá.

Frenetovy vzorce

Obrazec složený z tečny, hlavní normály a binormály, jakož i tří rovin obsahujících tyto přímky ve dvojicích, se nazývá přirozený triedr ( Frenetův triedr , viz obr. 4). O tečné a normálové rovině již byla řeč; třetí rovina obsahující tečnu a binormál se nazývá usměrňovač .

Pokud jsou hrany přirozeného trojstěnu v daném bodě křivky brány jako osy pravoúhlého kartézského souřadnicového systému, pak se rovnice křivky v přirozené parametrizaci rozšiřuje v okolí tohoto bodu do řady podél souřadnice podél křivka:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\tečky ...,

kde a jsou zakřivení a kroucení křivky v určeném bodě. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Jednotkové vektory pro tečnu, hlavní normálu a binormálu křivky se při pohybu po křivce mění. Při vhodné volbě směru těchto vektorů se z definice křivosti a kroucení získají následující vzorce: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

kde diferenciace jde podél oblouku křivky. Vzorce (2) se nazývají Frenetovy vzorce nebo Frenet- Serretovy vzorce .

Kinematická interpretace

Délku oblouku dané křivky budeme považovat za čas a Frenetův trojstěn za tuhé těleso pohybující se po křivce. Pak se tento pohyb v každém časovém okamžiku skládá z translačního (po tečně) a okamžité rotace s úhlovou rychlostí ( Darbouxův vektor ). Frenetovy vzorce znamenají: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

To znamená, že vektor okamžité rotace leží v rektifikační rovině a je rozdělen na 2 složky: rotace kolem binormály s rychlostí (rotace) a rotace kolem tečny s rychlostí (torze). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Rovnice přirozených křivek

Křivka s nenulovým zakřivením je zcela definována (až do polohy v prostoru) zadáním jejího zakřivení a kroucení jako funkcí oblouku křivky. V tomto ohledu soustava rovnic $s$

k_{1}=k_{1}(s),~~k_{2}=k_{2}(s)

se nazývají přirozené rovnice křivky .

Příklad

Uvažujme šroubovici (obr. 4) danou rovnicí:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

Podle výše uvedených vzorců dostaneme:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}

Zakřivení a torze šroubovice jsou tedy konstantní. Protože přirozené rovnice jednoznačně určují tvar křivky, neexistují žádné jiné křivky s konstantním zakřivením a torzí. Limitními případy šroubovice jsou kružnice (získává se v ) a přímka ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Poznámky

↑ Binormal // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Rovina dotýkající se křivky v daném bodě je tedy rovinou, ve které leží vektor tečny a vektor křivosti, za předpokladu, že každý z těchto vektorů vzniká v daném bodě křivky.
↑ tj. při pohybu po křivce, obecně řečeno, ne konstantní rychlostí, protože parametr t roste .

Viz také

Literatura

Pogorelov A. V. Diferenciální geometrie (6. vydání). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Kurz diferenciální geometrie (3. vydání). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Diferenciální geometrie křivek a ploch . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .