Přirozená parametrizace

Přirozená parametrizace (neboli přirozená parametrizace ) - parametrizace křivky délkou jejího oblouku. To znamená, že jako parametr slouží délka oblouku křivky, měřená od nějakého pevného bodu O , který lze libovolně zvolit. Takový parametr se nazývá přirozený (často se označuje s ).

Přirozená parametrizace křivky je tedy jednoznačně definována až do volby referenčního bodu O (odpovídajícího nulové hodnotě přirozeného parametru) a orientace, tedy volby směru, ve kterém se parametr zvětšuje se vzdáleností od Ó.

Definice

Křivka v metrickém prostoru je opatřena přirozenou parametrizací, pokud je pro libovolné dvě hodnoty parametru a délka oblouku rovna . $\gamma$ $A$ $b$ $\gamma |_{[a,b]}$ $|ba|$

Vlastnosti

Křivka připouští přirozenou parametrizaci právě tehdy, když je lokálně rektifikovatelná .
Přirozená parametrizace časově diferencovatelné (analytické) křivky bez singulárních bodů je také časově diferencovatelná (analytická). $k$ $k$
Derivace vektoru poloměru má jednotkovou délku, a proto se shoduje s jednotkovým vektorem tečny , který je označen ${\frac {d\mathbf {r} }{ds))$ $\mathbf {v} .$
Druhá derivace vektoru poloměru je ortogonální k první, tedy ortogonální k tečně ke křivce v daném bodě, a proto je normála. Kromě toho se podél délky shoduje se zakřivením křivky a ve směru s její hlavní normálou . ${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{ds^{2}}}={\frac {d\mathbf {v} }{ds}}$ $k$ $\mathbf {n}$
Pro křivku v rovině vedou výše uvedené vlastnosti k následujícím vztahům, nazývaným Frenetovy vzorce :

{\frac {d\mathbf {v} }{ds}}=k\,\mathbf {n} ,\ \ \ {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-k\ ,\mathbf {v} .

První z Frenetových vztahů zjevně vyplývá z předchozí vlastnosti a definice zakřivení . K prokázání druhého vztahu používáme identity

k

\langle \mathbf {n} (s),\mathbf {n} (s)\rangle \equiv 1,\ \ \ \langle \mathbf {n} (s),\mathbf {v} (s) \rangle \equiv 0,

kde trojúhelníkové závorky označují skalární součin okolní euklidovské roviny. Při diferenciaci s ohledem na první identitu dostaneme význam, že vektor je rovnoběžný s vektorem , tedy s nějakým skalárním koeficientem . Odlišením druhé identity získáme Substituting here a , dostaneme Tedy, vezmeme-li v úvahu , získáme to, co bylo požadováno k prokázání.