Vektorový produkt

Vektorový součin dvou vektorů v trojrozměrném euklidovském prostoru je vektor kolmý na oba původní vektory, jehož délka je číselně rovna ploše rovnoběžníku tvořeného původními vektory a je určena volba dvou směrů. aby trojice vektorů v pořadí v součinu a výsledný vektor byl správný . Vektorový součin kolineárních vektorů (zejména, pokud je alespoň jeden z faktorů nulový vektor ) je považován za rovný nulovému vektoru.

Pro určení křížového součinu dvou vektorů je tedy nutné určit orientaci prostoru, tedy říci, která trojice vektorů je pravá a která levá. V tomto případě není povinné nastavit jakýkoli souřadnicový systém v uvažovaném prostoru . Zejména pro danou orientaci prostoru výsledek vektorového součinu nezávisí na tom, zda je uvažovaný souřadnicový systém pravý nebo levý. V tomto případě se vzorce pro vyjádření souřadnic vektorového součinu pomocí souřadnic původních vektorů v pravém a levém ortonormálním pravoúhlém souřadnicovém systému liší znaménkem.

Vektorový součin nemá vlastnosti komutativnosti a asociativnosti . Je antikomutativní a na rozdíl od bodového součinu vektorů je výsledkem opět vektor.

Užitečné pro "měření" kolmosti vektorů - modul křížového součinu dvou vektorů se rovná součinu jejich modulů, pokud jsou kolmé, a klesá na nulu, pokud jsou vektory kolineární .

Široce používán v mnoha technických a fyzikálních aplikacích. Například moment hybnosti a Lorentzova síla jsou matematicky zapsány jako křížový součin.

Historie

Vektorový součin zavedl W. Hamilton v roce 1846 [1] současně se skalárním součinem v souvislosti s kvaterniony - respektive jako vektorovou a skalární část součinu dvou kvaternionů, jejichž skalární část je rovna nule [2 ] .

Definice

Vektorový součin vektoru vektorem v trojrozměrném euklidovském prostoru je vektor , který splňuje následující požadavky: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

délka vektoru se rovná součinu délek vektorů a krát sinus úhlu mezi nimi (tj. plocha rovnoběžníku tvořeného vektory a ); ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektor je ortogonální ke každému z vektorů a ; ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektor je nasměrován tak, aby trojice vektorů byla pravá . ${\vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Označení:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Poznámky

Jako definici můžete použít křížové vyjádření produktu popsané níže v souřadnicích v pravém (nebo levém) pravoúhlém souřadnicovém systému .

Také, soubor algebraických vlastností vektorového součinu může být vzat jako počáteční definice.

Pravé a levé trojice vektorů v trojrozměrném euklidovském prostoru

Uvažujme uspořádanou trojici nekomplanárních ( lineárně nezávislých ) vektorů v trojrozměrném euklidovském prostoru. V orientovaném prostoru bude taková trojice vektorů buď "vpravo" nebo "vlevo". ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Geometrické definice

Spojme počátky vektorů v jednom bodě. Uspořádaná trojice nekoplanárních vektorů v trojrozměrném prostoru se nazývá pravá , jestliže od konce vektoru je pro pozorovatele viditelná nejkratší odbočka z vektoru na vektor proti směru hodinových ručiček . Naopak, pokud je nejkratší zatáčka vidět ve směru hodinových ručiček , pak se trojka nazývá levá . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Definice ruky

Další definice je spojena s pravou rukou člověka, od které je jméno převzato. Na obrázku je trojice vektorů , , správná . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Algebraická definice

Existuje také analytický způsob, jak určit pravou a levou trojici vektorů, což vyžaduje nastavení pravého nebo levého souřadnicového systému v uvažovaném prostoru a nemusí být nutně pravoúhlý a ortonormální .

Je nutné vytvořit matici, jejíž první řádek bude souřadnicemi vektoru , druhý - vektor , třetí - vektor . Potom v závislosti na znaménku determinantu této matice můžeme vyvodit následující závěry: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Pokud je determinant kladný, pak má trojice vektorů stejnou orientaci jako souřadnicový systém .
Pokud je determinant záporný, pak má trojice vektorů orientaci opačnou než souřadnicový systém .
Pokud je determinant nulový, pak jsou vektory koplanární (lineárně závislé).

Poznámky

Definice „pravé“ a „levé“ trojice vektorů závisí na orientaci prostoru, ale nevyžadují, aby byl v uvažovaném prostoru specifikován žádný souřadnicový systém , stejně jako definice samotného vektorového součinu nevyžaduje tento. V tomto případě se vzorce pro vyjádření souřadnic vektorového součinu prostřednictvím souřadnic původních vektorů budou lišit znaménkem v pravém a levém pravoúhlém souřadnicovém systému .

Všechny vpravo (a vlevo od sebe) trojice vektorů se nazývají stejně orientované .

Pro danou prostorovou orientaci se souřadnicový systém nazývá pravý ( levý ), pokud je trojice vektorů se souřadnicemi , , pravá (levá). $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

Geometrická definice a definice pomocí ruky samy určují orientaci prostoru. Algebraická definice určuje způsob, jak rozdělit trojice nekoplanárních vektorů do dvou tříd stejně orientovaných vektorů, ale nespecifikuje orientaci prostoru, ale používá tu již danou - tu, na základě které je daná souřadnice systém je považován za pravý nebo levý. V tomto případě, je-li orientace souřadného systému neznámá, můžete porovnat znaménko determinantu se znaménkem determinantu jiné trojice nekoplanárních vektorů, jejichž orientace je známa - pokud jsou znaménka stejná , pak jsou trojky orientovány stejně, pokud jsou znaménka protilehlá, jsou trojky orientovány opačně.

Vlastnosti

Geometrické vlastnosti vektorového součinu

Nezbytnou a postačující podmínkou pro kolinearitu dvou nenulových vektorů je rovnost jejich vektorového součinu k nule.
Modul křížového produktu se rovná ploše rovnoběžníku , postaveného na vektorech redukovaných na společný počátek a (viz obrázek 1). $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $S$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Pokud je jednotkový vektor ortogonální k vektorům a a a je vybrán tak, že trojice je správná a je to plocha na nich postavená rovnoběžník (redukována na společný počátek), pak pro vektorový součin platí následující vzorec : $\vec{e}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Jestliže je libovolný vektor, je jakákoli rovina obsahující tento vektor, je jednotkový vektor ležící v rovině a kolmý k , je jednotkový vektor ortogonální k rovině a směřuje tak, že trojice vektorů je správná, pak pro jakýkoli vektor ležící v rovina vzorec je platný ${\vec {c}}$ $\pi$ $\vec{e}$ $\pi$ ${\vec {c}}$ ${\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

Při použití vektorových a skalárních součinů můžete vypočítat objem rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech a , b a c zmenšeném na společný počátek (viz obrázek 2). Takový součin tří vektorů se nazývá smíšený .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

Obrázek ukazuje, že tento objem lze nalézt dvěma způsoby: geometrický výsledek je zachován, i když jsou „skalární“ a „vektorové“ produkty zaměněny:

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

Hodnota křížového součinu závisí na sinu úhlu mezi původními vektory, takže křížový součin lze považovat za stupeň "kolmosti" vektorů, stejně jako bodový součin lze považovat za stupeň "rovnoběžnost". Křížový součin dvou jednotkových vektorů je roven 1 (jednotkový vektor), pokud jsou počáteční vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), pokud jsou vektory paralelní nebo antiparalelní.

Algebraické vlastnosti křížového součinu

Dále , a označují, v tomto pořadí, vektor a skalární součin vektorů a . $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Výkon	Popis
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Antikomutativnost .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alpha \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	Asociativita násobení skalárem.
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Distributivita s ohledem na sčítání.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	Jacobiho identita .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	Formule "BAC minus CAB", Lagrangeova identita .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	Speciální případ multiplikativnosti kvaternionové normy .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	Hodnota tohoto výrazu se nazývá smíšený součin vektorů , , . $A$ $b$ $C$

Vyjádření v souřadnicích

Na správném ortonormálním základě

Jsou-li dva vektory a reprezentovány v pravé ortonormální bázi souřadnicemi $\vec a$ ${\vec {b))$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

pak jejich vektorový součin má souřadnice

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

Pro zapamatování tohoto vzorce je vhodné použít mnemotechnický determinant :

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

kde , , , nebo $\mathbf {i} =(1,0,0)$ $\mathbf {j} =(0,1,0)$ $\mathbf {k} =(0,0,1)$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

kde je symbol Levi-Civita . $\varepsilon_{{ijk}}$

Na levém ortonormálním základě

Pokud je základ ponechán ortonormální, pak vektorový součin v souřadnicích má tvar

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

Pro zapamatování podobně:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

nebo

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

Vzorce pro levý souřadnicový systém lze získat ze vzorců pro pravý souřadnicový systém zápisem stejných vektorů do pomocného pravého souřadného systému ( ): $\vec a$ ${\vec {b))$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.

V libovolném afinním souřadnicovém systému

Vektorový součin v libovolném afinním souřadnicovém systému má souřadnice $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Variace a zobecnění

Čtveřice

Souřadnice vektorového součinu na pravém ortonormálním základě lze také zapsat ve formě čtveřice , takže písmena , , jsou standardním zápisem pro orts v : jsou považovány za imaginární čtveřice. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Všimněte si, že křížové součinové vztahy mezi , a odpovídají pravidlům násobení pro čtveřice , a . Pokud vektor reprezentujeme jako čtveřici , pak vektorový součin dvou vektorů získáme tím, že vektorovou část součinu odpovídajících čtveřic získáme. Bodový součin těchto vektorů je opakem bodového součinu těchto kvaternionů. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $i$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Transformace do maticového tvaru

Vektorový součin dvou vektorů v souřadnicích v pravé ortonormální bázi lze zapsat jako součin šikmo symetrické matice a vektoru:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}},

kde

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatrix}}.

Nechť se rovná vektorovému součinu: ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

pak

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\vec {d}}^{T}.

Tato forma zápisu umožňuje zobecnit vektorový součin do vyšších dimenzí, reprezentujících pseudovektory ( úhlová rychlost , indukce atd.) jako takové šikmo symetrické matice. Je jasné, že takové fyzikální veličiny budou mít v -rozměrném prostoru nezávislé složky . V trojrozměrném prostoru se získají tři nezávislé složky, takže takové veličiny lze reprezentovat jako vektory tohoto prostoru. $n(n-1)/2$ $n$

S touto formou zápisu se také často lépe pracuje (například v epipolární geometrii ).

Z obecných vlastností vektorového součinu vyplývá, že

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

a protože je šikmo symetrický, pak $[{\vec {a}}]_{\times }$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

V této formě zápisu se Lagrangeova identita snadno prokáže (pravidlo „BAC minus CAB“).

Rozšíření na matrice

V trojrozměrném případě lze v souřadnicích na libovolném základě definovat vektorový součin matic a součin matice vektorem. To činí výše uvedený izomorfismus zřejmým a umožňuje nám zjednodušit mnoho výpočtů. Představme si tedy matici jako sloupec vektorů $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.

Násobení maticových vektorů vlevo je definováno podobně, když je reprezentováno jako řetězec vektorů. Transpozice matice převádí řadu vektorů do sloupce vektorů a naopak. Je snadné zobecnit mnoho vztahů pro vektory na vztahy pro vektory a matice, například ( je matice, , jsou vektory): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec {y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y)))=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

Poté můžete změnit zápis vektorového produktu:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$E$ je matice identity. Z toho je zřejmá existence a tvar matice odpovídající vektorovému násobení vektorem vlevo. Podobně lze získat výraz pro matici násobení pomocí vektoru vpravo. Rozšířením operací s vektory na matice komponentu po komponentě, reprezentující je jako "vektory vektorů", lze standardní vztahy pro vektory snadno zobecnit na matice. Například Stokesova věta má tvar: $\mathbb {R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _{{\partial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

kde se zvlnění matice vypočítá jako vektorový součin matice a Hamiltonova operátoru vlevo (předpokládá se, že základ je pravý ortonormální). V tomto zápisu je velmi snadné dokázat například následující formy Stokesovy věty: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operatorname {grad}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\partial \Sigma }}u\,d {\mathbf {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits _{{\ částečný \Sigma }}{\mathbf a}\times d{\mathbf {r}}.

Rozměry se nerovnají třem

Nechť je rozměr prostoru. $n$

Vektorový součin, který má všechny vlastnosti běžného trojrozměrného vektorového součinu, tj. binární bilineární antisymetrické nedegenerované zobrazení , lze zavést pouze pro rozměry 3 a 7 . ${\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$

Existuje však jednoduché zobecnění na další přírodní dimenze, počínaje 3, a v případě potřeby i do dimenze 2 (ta však poměrně specifickým způsobem). Pak se toto zobecnění, na rozdíl od nemožného popsaného výše, zavádí nikoli pro dvojici vektorů, ale pouze pro množinu faktorových vektorů. Je to zcela analogické se smíšeným produktem , který je přirozeně zobecněn v -dimenzionálním prostoru na operaci s faktory. Pomocí symbolu Levi-Civita s indexy lze explicitně napsat takový -valentní křížový produkt jako $(n-1)$ $n$ $n$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $n$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\dotsc )=\sum _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} , \ldots ,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ end{vmatrix}}.$

Takové zobecnění poskytuje hyperplochu dimenze . $n-1$

Pokud potřebujete zavést operaci pouze pro dva faktory, která má geometrický význam, který je extrémně blízký významu vektorového součinu (tj. představující orientovanou oblast), pak výsledkem již nebude vektor, protože při faktory. Lze zavést bivektor, jehož složky se rovnají průmětům orientované oblasti rovnoběžníku překlenutého dvojicí vektorů na souřadnicové roviny: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Tato konstrukce se nazývá vnější produkt .

Pro dvourozměrný případ operace

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

se nazývá pseudoskalární součin , protože výsledný prostor je jednorozměrný a výsledkem je pseudoskalární . (Dvouindexový vnější součin popsaný výše lze také zavést pro dvourozměrný prostor, ale zjevně zcela triviálně souvisí s pseudoskalárním součinem, totiž vnější součin je v tomto případě reprezentován maticí s nulami na diagonále a zbývající dva mimodiagonální prvky se rovnají pseudoskalárnímu součinu a mínus pseudoskalární součin.)

Lieova algebra vektorů

Vektorový součin zavádí strukturu Lieovy algebry (protože splňuje oba axiomy – antisymetrii i Jacobiho identitu ). Tato struktura odpovídá identifikaci s Lieovou tečnou algebrou k Lieově grupe ortogonálních lineárních transformací trojrozměrného prostoru. ${\mathbb {R}}^{{3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $tak (3)$ $SO(3)$

Viz také

Součin vektorů

Pseudoskalární produkt (pouze v letadle!)
Bodový součin vektorů
Smíšený (skalární-vektorový) součin vektorů (pouze v ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Dvojitý (vektor-vektorový) součin vektorů (pouze v ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Vektorový produkt v sedmirozměrném prostoru

jiný

Poznámky

↑ Crowe MJ Historie vektorové analýzy – Vývoj myšlenky vektorového systému . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 s. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR na kvaternionech; aneb o novém systému imaginací v algebře // Filosofický časopis. 3. série. - Londýn, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Literatura

1. Kochin N.E. Vektorový počet a počátky tenzorového počtu. Akademie věd SSSR: Nakladatelství "NAUKA", M. 1965.

Odkazy

Multidimenzionální vektorové umění archivováno 5. září 2015 na Wayback Machine
Vektorový součin a jeho vlastnosti. Příklady řešení problémů Archivováno 23. února 2011 na Wayback Machine
V. I. Gervids. Pravá a levá rotace . NRNU MEPhI (10.03.2011). - Fyzické ukázky. Získáno 3. května 2011. Archivováno z originálu dne 23. prosince 2015. (neurčitý)

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný