Jacobiho identita
Jacobiho identita je matematická identita pro bilineární operaci na lineárním prostoru . Má následující podobu:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Pojmenován po Carlu Gustavu Jacobim .
Ponětí o Jacobi identitě je obyčejně spojené s Lie algebras .
Příklady
Následující operace splňují Jacobiho identitu:
- Přepínač operátora
- komutátor v Lieově algebře
- Ležové závorky vektorových polí
- Poissonovy závorky funkcí na symplektické varietě
- Křížový součin vektorů
Význam v Lieových algebrách
Pokud je násobení antikomutativní , pak Jacobiho identita může dostat mírně odlišný tvar pomocí přidružené reprezentace Lie algebry :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
Zápis identity Jacobi do formuláře
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
získáme, že je ekvivalentní podmínce splnění Leibnizova pravidla pro operátora :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Jde tedy o odvození v Lieově algebře. Jakékoli takové odvození se nazývá vnitřní .
Identita Jacobi může mít také formu
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
To znamená, že operátor definuje homomorfismus dané Lie algebry na Lieovu algebru jejích odvozenin.
Graded Jacobi identity
Nechť je stupňovaná algebra a je v ní násobení. Říkáme, že násobení v splňuje odstupňovanou Jacobiho identitu pro nějaké prvky
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l} ]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Příklady
- algebra vnějších forem ;
- algebra derivací diferenciálních forem ;
- algebra tangenciálně hodnotných forem s násobením daným FN -závorkami nebo NR -závorkami;