Přidružená reprezentace Lie algebry

Adjungovaná reprezentace Lie algebry je lineární reprezentace algebry v modulu , jednající podle vzorce $\mathfrak g$ $\operatorname {ad}$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

\operatorname {ad} _{x}y=[x,y],\ \ x,y\in {\mathfrak {g)),

kde je operace v algebře . $[\cdot ,\cdot ]$ $\mathfrak g$

Vlastnosti

Jádro je centrem Lie algebry . $\ker \operatorname {ad}$ $\mathfrak g$
Sdružené operátory jsou odvozeniny algebry a nazývají se vnitřní derivace . $\operatorname {ad} _{x}$ $\mathfrak g$
Obraz se nazývá adjoint algebra a je ideálem v Lie algebře všech odvozenin algebry a existuje prostor 1-rozměrné cohomologie Lie algebry definovaný adjungovanou reprezentací. $\operatorname {ad}$ $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}$ $\mathfrak g$ $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}/\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ $H^{1}({\mathfrak {g)),{\mathfrak {g)))$ $\mathfrak g$
- Konkrétně, jestliže je
polojednoduchá Lieova algebra nad polem charakteristiky 0. $\operatorname {Der} \,{\mathfrak {g}}=\operatorname {ad} \,{\mathfrak {g}}$ $\mathfrak g$

Literatura

Jacobson N. Lie algebry, - M. , 1964;
Pontryagin L. S. Spojité skupiny, 3. vyd. - M. , 1973;
Serre J. - P. Lieovy algebry a Lieovy grupy, přel. z angličtiny a francouzsky, Moskva , 1969;
Humphreys J. Lineární algebraické grupy, přel. z angličtiny, M., 1980.

Viz také

Přidružené zastoupení Lieovy skupiny