Přidružené zastoupení Lieovy skupiny

Adjoint reprezentace Lieovy grupy je lineární reprezentace Lieovy grupy na jeho Lieově algebře . Obvykle se označuje . $\operatorname {Ad}$

Definice

Nechť je skupina lži . Prostor tečny u identity grupy je její Lieova algebra . Pro každý prvek zvažte diferenciál $G$ $T_{e}G$ $\mathfrak g$ $v G$

{\displaystyle \operatorname {Ad} _{a}=d(\operatorname {Int} _{a})_{e))

vnitřní automorfismus

\operatorname {Int} _{a}:x\mapsto axa^{-1}.

Výsledná akce se nazývá připojený pohled. $\operatorname {Ad} \colon G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g)))$

Poznámky

Jestliže je lineární grupa v prostoru , pak $G\subset GL(V)$ $PROTI$ $\operatorname {Ad} _{a}X=aXa^{-1},$

Diferenciál adjointové reprezentace grupy u identity je adjointovou reprezentací její Lieovy algebry .

G

Obraz Lieovy grupy v adjungované reprezentaci se nazývá adjoint grupa grupy a značí se . $G$ $G$ $\operatorname {Ad} G$

Vlastnosti

Jádro obsahuje střed skupiny . $\operatorname {Ker} \operatorname {Ad}$ $G$
- Navíc v případě, kdy
je připojeno a hlavní pole má charakteristiku , se shoduje se středem. $G$ $0$

Spojená polojednoduchá Lieova grupa je izomorfní ke své přidružené grupě právě tehdy, když její kořeny generují skupinu racionálních znaků maximálního torusu ; střed takové skupiny je triviální.

Pokud má základní pole charakteristiku 0 a je připojeno , pak je jednoznačně určeno Lieovou algebrou a někdy se nazývá adjoint grupa nebo skupina vnitřních automorfismů Lie algebry .

G

\operatorname {Ad} G

\mathfrak g

\mathfrak g

Zejména, pokud je

semisimple , pak se shoduje s připojenou složkou identity v .

G

\operatorname {Ad} G

\operatorname {Aut} {\mathfrak {g}}

Viz také

Spolupřipojené zastoupení

Literatura

Vinberg E. B., Onishchik A. L. Základy teorie Lieových grup . - M .: VINITI , 1988. - S. 5-101. - (Výsledky vědy a techniky. Ser. "Moderní problémy matematiky. Základní trendy." Vol. 20).