Divergence

Divergence (z latinského divergere - detekovat diskrepanci) - diferenciální operátor , mapující vektorové pole na skalární (to znamená, že v důsledku aplikace derivační operace na vektorové pole je získáno skalární pole), které určuje (pro každý bod) „jak moc se příchozí a odchozí toky rozcházejí z malého okolí daného bodového pole“, přesněji, jak daleko se rozcházejí příchozí a odchozí toky .

Pokud vezmeme v úvahu, že toku lze přiřadit algebraické znaménko, pak není potřeba brát zvlášť v úvahu příchozí a odchozí toky, vše se automaticky zohlední při sčítání se znaménkem. Proto můžeme dát kratší definici divergence:

divergence je lineární diferenciální operátor na vektorovém poli, který charakterizuje tok daného pole povrchem dostatečně malého (za podmínek konkrétního problému) okolí každého vnitřního bodu domény definice pole.

Operátor divergence aplikovaný na pole je označen jako $\ {\mathbf F}$

\ \operatorname {div}{\mathbf F}

nebo

\ \nabla \cdot {\mathbf F}

Definice

Definice divergence vypadá takto:

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}({\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} } \over V},

kde je tok vektorového pole sférickou plochou s plochou ohraničující objem . Ještě obecnější, a proto pohodlnější k použití, je definice, kdy je dovoleno, aby tvar plochy s povrchem a objemem byl libovolný. Jediným požadavkem je, aby byla uvnitř koule s poloměrem blížícím se nule (to znamená, aby celý povrch byl v nekonečně malém okolí daného bodu, což je nutné, aby divergence byla lokální operací, a pro kterou zjevně nestačí, aby povrch a objem jeho nitra inklinovaly k nule). V obou případech se předpokládá, že $\Phi _{\mathbf {F} }$ $F$ $S$ $PROTI$ $S$ $PROTI$

{\mathit {\Phi }}_{\ \mathbf {F} }=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\ podmnožina \!\supset \;({\vec {F}},d{\vec {S}}).

Tato definice, na rozdíl od níže uvedené, není vázána na určité souřadnice , například na kartézské , což může být v určitých případech další výhoda. (Například, pokud zvolíte okolí ve tvaru krychle nebo rovnoběžnostěnu , snadno získáte vzorce pro kartézské souřadnice).

Definici lze snadno a přímo zobecnit na jakoukoli dimenzi prostoru: v tomto případě se objemem rozumí -rozměrný objem a povrchová plocha ( ) je rozměrová oblast (hyper)povrchu odpovídajícího dimenze. $n$ $n$ $n-1$

Definice v kartézských souřadnicích

Předpokládejme, že vektorové pole je v nějaké oblasti diferencovatelné. Potom v trojrozměrném kartézském prostoru bude divergence určena výrazem

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}={\frac {\částečné F_{x}}{\částečné x}}+{\frac {\částečné F_{y}}{\částečné y}} +{\frac {\částečné F_{z}}{\částečné z}}\ \ \

(zde F je určité vektorové pole s kartézskými složkami ): $F_x, F_y, F_z$

Stejný výraz lze zapsat pomocí operátoru nabla

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}\ \ \

Vícerozměrná, stejně jako dvourozměrná a jednorozměrná divergence je definována v kartézských souřadnicích v prostorech odpovídající dimenze zcela podobným způsobem (v horním vzorci se mění pouze počet členů, zatímco spodní zůstává stejný, implikuje operátor nabla příslušné dimenze).

Fyzická interpretace

Z hlediska fyziky (jak v užším slova smyslu, tak ve smyslu intuitivního fyzikálního obrazu matematické operace) je divergence vektorového pole indikátorem toho, do jaké míry daný bod v prostoru (přesněji řečeno , dostatečně malé okolí bodu) je zdrojem nebo propadem tohoto pole:

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}>0

— bod pole je zdrojem;

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}<0

— polní bod je odtok;

\operatorname {div}\,{\mathbf {F}}=0

- chybí jímky a zdroje, nebo se vzájemně kompenzují.

Jednoduchým, i když možná poněkud schematickým příkladem je jezero (pro jednoduchost konstantní jednotková hloubka s všude horizontální rychlostí vodního toku, která nezávisí na hloubce, čímž vzniká dvourozměrné vektorové pole na dvourozměrném prostoru) . Pokud chcete mít realističtější obraz, můžete zvážit projekci horizontální rychlosti integrovanou přes vertikální prostorovou souřadnici, která poskytne stejný obraz dvourozměrného vektorového pole ve dvourozměrném prostoru a obraz bude kvalitativně pro naše účely se příliš neliší od zjednodušeného prvního, ale kvantitativně to bude zobecnění (velmi realistické). V takovém modelu (jak v první, tak ve druhé verzi) prameny tryskající ze dna jezera poskytnou kladnou divergenci aktuálního rychlostního pole a podvodní stoky (kaverny, kde voda vytéká) dávají zápornou divergenci. .

Divergence vektoru proudové hustoty udává mínus rychlost akumulace náboje v elektrodynamice (protože náboj je zachován, to znamená, že nezmizí a neobjeví se, ale může se pohybovat pouze přes hranice určitého objemu, aby se v něm akumuloval nebo nechat to; a pokud existují nebo někde zmizí kladné a záporné náboje - pak pouze ve stejném množství). (Viz rovnice kontinuity ).

Divergence pole, které má silovou povahu, stejně jako intenzita pole v elektrostatice, elektrodynamice nebo Newtonově teorii gravitace, divergence určuje také polohu zdrojů pole, které se v tomto případě nazývají náboje (elektrický náboj v případě elektrostatika a elektrodynamika , hmotnost v případě Newtonovy gravitace ). V těchto teoriích je divergence intenzity pole až do konstantního faktoru [1] rovna hustotě náboje (v elektrostatice a elektrodynamice hustota elektrického náboje; v případě gravitace hustota hmoty; navíc případ gravitace se liší znaménkem této konstanty).

\operatorname {div} \,\mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0))}\rho

- pro elektrické pole a hustotu elektrického náboje v SI ,

\operatorname {div} \,\mathbf {g} =-4\pi G\rho

— pro newtonské gravitační pole.

Geometrická interpretace

Pravděpodobně nejzřejmější a nejjednodušší obecnou geometrickou interpretací divergence (kromě definice samotné, která je také poměrně geometrická) je interpretace využívající jejích integrálních čar k reprezentaci vektorového pole (také nazývané siločáry v případě polí silové povahy nebo proudnice v případě pole rychlosti proudění tekutiny).nebo plynu). Body, kde se objevují nové čáry (se směrem od tohoto bodu), jsou body, kde je divergence pole kladná; kde přímky končí (se směrem přímky k bodu), tam je divergence záporná. Tam, kde je počet čar konstantní podél jejich průběhu, tedy tam, kde tolik čar začíná jako končí, je nulová divergence pole.

Tento výklad je založen na dohodě, podle níž uvažované čáry podléhají podmínce, že hustota čar v blízkosti daného bodu je úměrná velikosti vektorového pole v této oblasti čáry libovolně velké, a dokonce nekonečné, pouze důležitá je úměrnost hustoty někde k velikosti vektoru pole). Jinak by ovšem, alespoň v případě souvislého rozložení zdrojů (nábojů), mohla pokračovat jakákoliv celistvá linie pole a představa jejich někdejšího začátku či konce by postrádala smysl, snad kromě diskrétních míst, a nikoli průběžně distribuovaných zdrojů.

Pokud vezmeme množinu směrů nejstrmějšího sestupu na zemském povrchu jako vektorové pole (na dvourozměrném prostoru), pak divergence ukáže umístění vrcholů a propadů a ve vrcholech bude divergence kladná. (směry sestupu se od vrcholů rozcházejí) a záporné u žlabů (směry ke žlabům směru sestupu se sbíhají). To však nijak neurčuje znaménko nebo rovnost nule divergence takového pole na svazích. [2]

Divergence ve fyzice

Divergence je jednou z nejpoužívanějších operací ve fyzice. Je to jeden z mála základních pojmů teoretické fyziky a je jedním ze základních prvků fyzikálního jazyka.

Ve standardní formulaci klasické teorie pole zaujímá divergence ústřední místo (v alternativních formulacích nemusí být v samém centru prezentace, ale stále zůstává důležitým technickým nástrojem a důležitou myšlenkou).

V elektrodynamice je divergence zahrnuta jako hlavní konstrukce ve dvou ze čtyř Maxwellových rovnic . Základní rovnice teorie newtonské gravitace ve tvaru pole obsahuje jako hlavní konstrukci také divergenci (síly gravitačního pole). V tenzorových teoriích gravitace (včetně obecné teorie relativity a s ohledem na ni především) základní rovnice pole (v obecné teorií relativity, ale zpravidla - tak či onak - i v alternativních moderních teoriích) zahrnuje divergenci v některých zobecnění. Totéž lze říci o klasické (tedy ne kvantové) teorii téměř kteréhokoli ze základních oborů, experimentálně známých i hypotetických.

Kromě toho, jak je patrné z výše uvedených příkladů, divergence je použitelná také v čistě geometrických termínech a také - zvláště často - na různé materiálové toky (divergence v rychlosti proudění kapaliny nebo plynu, divergence v hustotě el. proud atd.).

Vlastnosti

Následující vlastnosti lze odvodit z obvyklých rozlišovacích pravidel.

Linearita : pro libovolná vektorová pole F a G a pro všechna reálná čísla a a b

\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} \mathbf {F} +b\;\operatorname {div} \mathbf {G }

Pokud φ je skalární pole a F je vektorové pole, pak:

\operatorname {div} \varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} \mathbf {F} ,

nebo

\nabla \cdot (\varphi {\mathbf {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\mathbf {F}}+\varphi \;(\nabla \cdot {\mathbf {F}}).

Vlastnost, která dává do vztahu vektorová pole F a G , daná v trojrozměrném prostoru, s rotorem :

\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G} ,

nebo

\nabla \cdot ({\mathbf {F}}\times {\mathbf {G}})=(\nabla \times {\mathbf {F}})\cdot {\mathbf {G}}-{\mathbf { F}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {G}}).

Divergence od gradientu je Laplacián :

\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi =\Delta \varphi

Divergence od rotoru :

\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0

Divergence v ortogonálních křivočarých souřadnicích

\operatorname {div}({\mathbf {A}})=\operatorname {div}({\mathbf {q_{1}}}A_{1}+{\mathbf {q_{2}}}A_{2} +{\mathbf {q_{3}}}A_{3})=

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3))}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1))}(A_{1}H_{2} H_{3})+{\frac {\částečné }{\částečné q_{2))}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\částečné }{\částečné q_{3 }}}(A_{3}H_{1}H_{2})\vpravo]$ , kde jsou Lameovy koeficienty . $Ahoj$

Válcové souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix))

Odtud:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}r )+{\frac {1}{r}}{\frac {\částečný }{\částečný \theta }}(A_{\theta })+{\frac {\částečný }{\částečný z}}(A_{ z})

Sférické souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\phi }=r\sin {\theta }.\end{matrix))

Odtud:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\ vlevo[A_{r}r^{2}\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[A_{ \theta }\sin {\theta }\right]+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\big [}A_{ \phi }{\big ]}

Parabolické souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{\xi }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}};\\H_{\eta }= {\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\eta }}}};\\H_{\phi }={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix} }

Odtud:

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {4}{\xi +\eta }}{\frac {\partial }{\partial \xi } }\left[A_{\xi }{\frac {{\sqrt {\xi ^{2}+\xi \eta }}}{2}}\right]+{\frac {4}{\xi +\ eta )){\frac {\částečný }{\částečný \eta ))\left[A_{\eta }{\frac ({\sqrt {\eta ^{2}+\xi \eta ))}{2} }\right]+{\frac {1}({\sqrt {\xi \eta }}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\ Velký ]}

Eliptické souřadnice

Lame koeficienty:

{\begin{matrix}H_{\xi }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2)){\xi ^{2}-1))} ,\\H_{\eta }=\sigma {\sqrt {\frac {\xi ^{2}-\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}}},\\H_{\ phi }=\sigma {\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}.\end{matrix}}

Odtud

\operatorname {div}{\mathbf {A}}(\xi ,\eta ,\phi )={\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2}))){ \frac {\partial }{\partial \xi }}\left[A_{\xi }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(\xi ^{2}-1) }}\vpravo]+

+{\frac {1}{\sigma (\xi ^{2}-\eta ^{2))))){\frac {\partial }{\partial \eta ))\left[A_{ \ eta }{\sqrt {(\xi ^{2}-\eta ^{2})(1-\eta ^{2})))\right]+{\frac {1}{\sigma {\sqrt { (\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2}))))}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{ \ Velký ]}.

Divergence v libovolných křivočarých souřadnicích a její zobecnění

Vzorec pro divergenci vektorového pole v libovolných souřadnicích (v libovolném konečném rozměru) lze snadno získat z obecné definice ve smyslu limitu poměru průtoku k objemu pomocí zápisu tenzoru smíšeného součinu a vzorce tenzoru objemu.

Dochází k zobecnění operace divergence na působení nejen na vektory, ale i na tenzory vyššího řádu.

Obecně je divergence definována kovariančním derivátem :

\operatorname {div}=(\nabla \cdot )={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot

, kde jsou souřadnicové vektory .

{\vec {R}}^{\alpha }

To vám umožní najít výrazy pro divergenci v libovolných souřadnicích pro vektor:

\nabla \cdot {\vec {v}}={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot v^{i}{\vec {R}}_{i}= \nabla _{i}v^{i}

nebo tenzorové pole:

\nabla \cdot T={\vec {R}}^{\alpha }\nabla _{\alpha }\cdot T^{{ij}}{\vec {R}}_{i}{\vec {R }}_{j}={\vec {R}}_{j}\nabla _{i}T^{{ij}}

Divergence obecně snižuje hodnost tenzoru o 1.

Divergenční vlastnosti tenzoru

\nabla \cdot {\vec {v}}{\vec {v}}={\vec {v}}\nabla \cdot {\vec {v}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}

Viz také

Poznámky

↑ Pro teorii ve vakuu, která je fundamentální, je tato konstanta fundamentální konstantou závislou pouze na soustavě jednotek; pro fenomenologickou teorii v prostředí schopném polarizace se věc poněkud zkomplikuje, protože koeficient úměrnosti je ovlivněn vlastnostmi (polarizovatelností) prostředí - pro homogenní prostředí se však tento koeficient také ukazuje jako konstantní , i když není zásadní, ale závisí na podstatě média.
↑ Pokud definujeme vektorové pole tohoto druhu tak, že modul vektoru tohoto pole je vždy jednotný (pouze udává směr), pak na jednoduchých příkladech (řekněme pro zcela symetrickou horu) je snadné vidět, že divergence bude kladná, dokud sklon neskončí (nicméně pro uložení podmínky jednoty směrového vektoru nejrychlejšího klesání v bodech vrcholů a děr bude nedefinovaná a divergence v nich bude nekonečná); pokud nezavedeme podmínky jednotkového vektoru, ale vezmeme (jako nejjednodušší) mínus výškový gradient , pak bude divergence záviset na konvexitě nebo konkávnosti svahu (v jeho různých bodech), které se obecně mohou všude lišit na svahu, a to jak ve znamení, tak i ve velikosti (na rozdíl od vrcholů, které jsou vždy konvexní, a jam, které jsou vždy konkávní - pokud máme na mysli samotné body extrémů výšky).

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata