Rovnice kontinuity

Rovnice kontinuity jsou (silnou) lokální formou zákonů zachování . Následují příklady rovnic kontinuity, které vyjadřují stejnou myšlenku spojité změny v nějakém množství.

Diferenciální forma

Diferenciální tvar obecné rovnice kontinuity je:

${\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma ,$

kde

\nabla \cdot

- divergence ,

\rho

- množství množství na jednotku objemu (hustota množství ),

q

q

t

- čas,

j

je kvantitativní hustota toku (viz níže),

q

\sigma

- přídavek na jednotku objemu za jednotku času. Členové, kteří přidávají ( ) nebo odebírají ( ) , se nazývají „zdroje“ a „sinks“.

q

\sigma >0

\sigma <0

q

Tuto obecnou rovnici lze použít k odvození jakékoli rovnice kontinuity, od jednoduché rovnice kontinuity po Navier-Stokesovu rovnici.

Jestliže je konzervovaná veličina , kterou nelze vytvořit ani zničit (například energie ), pak , a rovnice kontinuity nabývá tvaru $q$ $\sigma =0$

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \cdot \mathbf {j} =0.

Elektromagnetismus

V elektrodynamice je rovnice kontinuity odvozena z Maxwellových rovnic . Uvádí, že divergence proudové hustoty se rovná změně hustoty náboje se znaménkem minus,

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\partial \rho \over \partial t}=0.

Závěr

Amperův zákon říká:

\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t)).

Vezmeme-li divergenci z obou částí výrazu, dostaneme

\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {H} =\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {D} ,

ale divergence rotoru je nulová

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {div} \mathbf {D} =0.

Podle Gaussovy věty ,

\operatorname {div} \mathbf {D} =\rho .

Dosazením tohoto výrazu do předchozí rovnice získáme požadovanou rovnici kontinuity.

Výklad

Proudová hustota je pohyb nábojů. Rovnice kontinuity říká, že pokud náboj opustí diferenciální objem (tj. divergence proudové hustoty je kladná), pak se množství náboje uvnitř objemu sníží. V tomto případě je přírůstek hustoty náboje záporný.

Vlnová teorie

V teorii vln rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování energie v elementárním objemu, ve kterém se šíří vlny libovolné povahy. Jeho diferenciální forma

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial w}{\partial t))=0,

kde je vektor hustoty toku energie v bodě se souřadnicemi v okamžiku času , je hustota energie. ${\mathbf {j}}={\mathbf {j}}(x,y,z,t)$ $\left(x,y,z\right)$ $t$ $w=w(x,y,z,t)$

Závěr

Vektor hustoty energetického toku je podle definice vektor, jehož modul se rovná energii přenesené přes jednotkovou plochu kolmou ke směru přenosu energie za jednotku času, tj . a jeho směr se shoduje se směrem přenosu energie. Pak energie proudící za jednotku času z nějakého makroskopického objemu V, $j={\frac {dW}{dtdS_{{\bot ))))$

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} ={\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}.

Podle zákona zachování energie , kde je energie obsažená v objemu V . Podle definice je hustota energie energie jednotkového objemu, celková energie obsažená v daném objemu se pak rovná ${\frac {dW_{\text{out}}}{dt}}=-{\frac {dW_{\text{in}}}{dt}}$ $W_{\text{in))$

W_{\text{in}}=\int \limits _{V}w\,dV.

Potom výraz pro tok energie nabývá tvaru

\oint \limits _{S}\mathbf {j} \,d\mathbf {S} =-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}w\,dV=- \int \limits _{V}{\frac {\částečné w}{\částečné t))\,dV.

Aplikováním Gauss-Ostrogradského vzorce na levou stranu výrazu získáme

\int \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {j} \,dV=-\int \limits _{V}{\frac {\partial w}{\partial t))\, dV.

Vzhledem k libovolnosti zvoleného objemu docházíme k závěru, že integrandy jsou si rovny, z čehož získáme diferenciální tvar rovnice kontinuity.

Hydrodynamika a mechanika deformovatelného tělesa

Variace názvu

V hydrodynamické literatuře , např. v dílech Žukovského [1] , Chaplygina [2] , Kochina [3] , Loitsjanského [4] se rovnice vyjadřující zákon zachování hmoty nazývá rovnice kontinuity ( podmínka kontinuity ) . , zatímco ve fyzikální literatuře se např. v kurzu Landau a Lifshitz [5] , Zel'dovich a Raiser [6] , ruský překlad Feynmanova kurzu [7] , používá termín rovnice kontinuity . Ve staré literatuře se také vyskytoval název rovnice kontinuity [8] . Všechny tři názvy jsou různými překlady názvu rovnice, kterou zavedl Euler [9] v západoevropských jazycích ( anglická rovnice kontinuity , francouzská équation de continuité a podobně).

Různé formy psaní

Rovnice vyjadřuje zákon zachování hmoty v elementárním objemu, tedy vztah mezi prostorovou změnou hmotnostního toku kapaliny nebo plynu a rychlostí změny hustoty v čase. Jeho diferenciální forma

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operatorname {div} \rho \mathbf {v} ={\frac {\partial \rho }{\partial t))+\rho \operatorname {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \operatorname {grad} \rho =0,

kde je hustota kapaliny (nebo plynu), je vektor rychlosti kapaliny (nebo plynu) v bodě se souřadnicemi v čase . $\rho =\rho (x,y,z,t)$ $\mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z,t)$ $(x,y,z)$ $t$

Vektor se nazývá hustota proudění tekutiny . Jeho směr se shoduje se směrem proudění tekutiny a absolutní hodnota určuje množství hmoty protékající za jednotku času jednotkovou plochou umístěnou kolmo k vektoru rychlosti. $\mathbf {j} =\rho \mathbf {v}$

Pro homogenní nestlačitelné kapaliny . Proto se rovnice stává $\rho ={\text{const))$

\operatorname {div} \mathbf {v} =0,

z čehož vyplývá solenoidalita rychlostního pole.

Pro toky v kanálech (toky v potrubí, krevních cévách atd.) lze rovnici kontinuity zapsat jako průměrné hodnoty přes průřez kanálu. Například pro proudění v kanále se známou závislostí plochy průřezu na souřadnici podél kanálu má (přibližná) rovnice kontinuity tvar $S$ $X$ $S=S(x)$

S{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\frac {\partial }{\partial x))(\rho vS)=0,

kde a jsou průměrné hodnoty hustoty a axiální průmět rychlosti přes průřez. Zde se předpokládá, že se plocha průřezu kanálu mění poměrně pomalu (tzv. hydraulická aproximace ), což umožňuje při odvozování rovnice nahradit průměrnou hodnotu z produktu produktem z průměrů. V konkrétním případě stacionárního proudění to dává rovnici kontinuity ve tvaru $\rho =\rho (x,t)$ $v=v(x,t)$

\rho vS={\text{const)),

což má zřejmý fyzikální význam stálost hmotnostního toku a v případě prostředí s konstantní hustotou rovnice

vS={\text{const)),

vyjadřující stálost objemového toku.

Podobnou strukturu má rovnice kontinuity pro průtoky v kanálech s volnou hladinou, která se v hydraulice široce používá k popisu průtoků v kanálech (průtoky v řekách, kanálech atd., pohyb bahenních proudů, lavin atd.), k popisu průtoků ve filmech atd. V nejjednodušším případě proudění tekutiny s konstantní hustotou v kanále s pravoúhlým průřezem má přesná rovnice kontinuity (někdy nazývaná Saint-Venantova rovnice ) tvar

{\frac {\částečné h}{\částečné t))+{\frac {\částečné }{\částečné x))(vh)=0,

kde je hloubka kapaliny, je průměrná rychlost kapaliny přes průřez. $h=h(x,t)$ $v=v(x,t)$

V mechanice deformovatelného pevného tělesa je často vhodné napsat rovnici kontinuity ve formě spojení mezi počáteční a konečnou hustotou hmotné částice [10] . Například v případě malých deformací má rovnice kontinuity tvar

\rho =\rho _{0}(1-\jméno operátora {div} \mathbf {w} ),

kde , je počáteční a konečná hustota materiálové částice a je vektor posunutí (v případě malých posunů a deformací lze divergenci brát se stejnou přesností jak v Eulerově, tak v Lagrangově proměnných). $\rho _{0}$ $\rho$ $\mathbf {w}$

Rovnice kontinuity má univerzální charakter a platí pro jakékoli spojité médium (bez ohledu na jeho reologii ). Existují zobecnění rovnice kontinuity pro pohyby vícefázového [11] a vícesložkového [10] spojitého prostředí.

Historické pozadí

Ve speciálních případech, například pro osově symetrické proudění nestlačitelné tekutiny, rovnici kontinuity (ve formě parciální diferenciální rovnice ) poprvé získal d'Alembert , v obecné formě Euler v 50. letech 18. století. Ve formě algebraického vztahu vyjadřujícího (pro případ nestlačitelné tekutiny) stálost objemového toku podél proudové trubky byla rovnice kontinuity poprvé publikována Castellim v první polovině 17. století [12] .

Kvantová mechanika

V nerelativistické kvantové mechanice vede zachování pravděpodobnosti také k rovnici kontinuity . Nechť je hustota pravděpodobnosti , pak bude rovnice zapsána ve tvaru $P(x,t)$

\operatorname {div} \mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial t))P(x,t)=0,

kde je pravděpodobnostní proud . $j$

Poznámky

↑ Žukovskij N. E. Teoretická mechanika. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 691. - 812 s.
↑ Chaplygin S. A. Vybrané práce z mechaniky a matematiky. - M. : GITTL, 1954. - S. 11. - 568 s.
↑ Kochin N. E., Kibel I. A., Rose N. V. Theoretical hydromechanics / Ed. I. A. Kibelya. - M. : GITTL, 1955. - T. 1. - S. 23, 24. - 560 s.
↑ Loitsyansky L. G. Mechanika kapaliny a plynu. - M. : Nauka, 1970. - S. 79. - 904 s.
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Hydrodynamika / Teoretická fyzika. V 10 svazcích - M . : Nauka, 1986. - T. 6. - S. 15. - 736 s.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fyzika rázových vln a vysokoteplotní hydrodynamické jevy. - M. : Nauka, 1966. - S. 14. - 688 s.
↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Přednášky o fyzice / Per. z angličtiny. vyd. Ano, A. Smorodinsky. - M .: Mir, 1966. - T. 7. Fyzika spojitých médií. - S. 236. - 292 s.
↑ „Používáme zde v návaznosti na A. A. Fridmana termín „rovnice kontinuity“. V ruské literatuře je také běžný termín „rovnice kontinuity“ ( Frank F., Mises R. Diferenciální a integrální rovnice matematické fyziky / Přeloženo z němčiny pod vedením L. E. Gureviche. - L.-M.: ONTI. Glavn vyd., všeobecná technická literatura, 1937. - T. 2. - S. 348 (pozn. red.) - 1000 s. ).
↑ „Výsledná rovnice představuje podmínku objemové neměnnosti. Euler to nazval stavem kontinuity tekutiny “ (Zhukovsky, str. 691).
↑ 1 2 Sedov L.I. Mechanika kontinua. - M. : Nauka, 1970. - T. 1. - 492 s.
↑ Nigmatulin R.I. Základy mechaniky heterogenních prostředí. — M .: Nauka, 1978. — 336 s.
↑ Některé přehledové články a primární zdroje o historii rovnic mechaniky tekutin Archivováno 3. prosince 2013 na Wayback Machine .

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata