Ampérův zákon

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. února 2021; kontroly vyžadují 16 úprav .

Ampérův zákon - zákon vzájemného působení elektrických proudů . Poprvé jej instaloval André Marie Ampère v roce 1820 pro stejnosměrný proud. Z Ampérova zákona vyplývá, že paralelní vodiče s elektrickými proudy tekoucími v jednom směru se přitahují a v opačných se odpuzují. Ampérův zákon se také nazývá zákon, který určuje sílu, kterou magnetické pole působí na malý segment vodiče s proudem. Síla se ukáže být lineárně závislá jak na proudu, tak na magnetické indukci . Výraz pro sílu , kterou magnetické pole působí na objemový prvek vodiče s proudovou hustotou , který se nachází v magnetickém poli s indukcí , má v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) tvar: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Pokud proud protéká tenkým vodičem, pak , kde je "délkový prvek" vodiče - vektor rovný v absolutní hodnotě a shodující se ve směru s proudem. Potom se výraz pro sílu přepíše jako . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}}$

Fyzikální obsah Ampérova zákona

Ampérův zákon je chápán jako soubor výroků a vzorců, které charakterizují silové působení na vodič s proudem od magnetického pole - případně vytvořeného jiným vodičem s proudem. Zákon definuje:

síla vlivu malého segmentu vodiče s proudem na jiný malý segment s proudem : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $já_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, kde a jsou poloměrové vektory délkových prvků vodičů a , a je síla prvku (vytvoření pole v bodě ) na prvek ; je magnetická konstanta;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

síla interakce dvou vodivých uzavřených smyček tvaru a s proudy a : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $já_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, kde a jsou vektory poloměrů procházející všemi body obrysů , , a je síla, kterou obrys-1 působí na obrys-2. Ve skutečnosti se jedná o integraci výrazu z předchozího odstavce;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

síla, kterou magnetické pole působí na segment vodiče s proudem (A), plochý úsek s proudem (A / m) nebo malý objem s proudem (A / m 2 ): $dl$ $já$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ krát {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}

. Směr síly je určen pravidlem pro výpočet křížového součinu . Jeho modul v případě drátu je jako , kde je úhel mezi a směr proudu. Síla je maximální, když je vodič kolmý k čarám magnetické indukce ( ). Integrace vám umožní získat sílu pole na objekt jako celek.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alpha

{\vec {B}}

\alpha =90^{\circ }

Pouzdro dvou paralelních vodičů

Nejslavnějším příkladem ilustrujícím Ampérovu sílu je následující problém. Ve vakuu jsou dva nekonečné paralelní vodiče umístěny ve vzájemné vzdálenosti, ve kterých proudy a proudí ve stejném směru . Je potřeba zjistit sílu působící na jednotku délky vodiče. $r$ $I_1$ $já_{2}$

V souladu s Biot-Savart-Laplaceovým zákonem nekonečný vodič s proudem v bodě ve vzdálenosti vytváří magnetické pole s indukcí. $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

kde je magnetická konstanta , je jednotkový vektor podél kruhu, jehož osa symetrie je drát s proudem . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Podle Ampérova zákona najdeme sílu, kterou první vodič působí na malý úsek druhého: $d{\vec {l))$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).

Podle pravidla levé ruky směřuje k prvnímu vodiči (podobně síla působící na první vodič směřuje k druhému vodiči). Proto jsou vodiče přitahovány. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Modul této síly ( je vzdálenost mezi vodiči): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Integrujeme přes úsek délky vodiče (limity integrace od 0 do ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

If - unit length, pak tento výraz nastavuje požadovanou sílu interakce. $L$

Výsledný vzorec je použit v SI pro stanovení číselné hodnoty magnetické konstanty . Ampér , který je jednou ze základních jednotek SI, je v něm totiž definován jako „síla neměnného proudu, který při průchodu dvěma rovnoběžnými přímočarými vodiči nekonečné délky a nevýznamně malým kruhovým průřezem, umístěným v vakuum ve vzdálenosti 1 metr od sebe, způsobené by na každém úseku vodiče dlouhém 1 metr, interakční síla rovna 2⋅10 −7 Newtonů “ [1] . $\mu_0$

Ze získaného vzorce a definice ampéru tedy vyplývá, že magnetická konstanta je rovna H /A² nebo, což je stejné, H / m přesně . $\mu_0$ $4\pi \times 10^{{-7}}$ $4\pi \times 10^{{-7}}$

Projevy Ampérova zákona

Elektrodynamická deformace pneumatik (vodičů) třífázového střídavého proudu v rozvodnách vlivem zkratových proudů .
Odtlačování vodičů railgunů při výstřelu.

Aplikace

Jakékoli uzly v elektrotechnice, kde pod vlivem elektromagnetického pole dochází k pohybu jakýchkoli prvků, využívají Ampérův zákon. Princip činnosti elektromechanických strojů (pohyb části vinutí rotoru vůči části vinutí statoru ) je založen na použití Ampérova zákona a nejrozšířenější a nejpoužívanější jednotkou téměř ve všech technických konstrukcích je elektromotor , popř. , který je konstrukčně téměř stejný, generátor . Rotor se otáčí pod vlivem ampérové síly, protože magnetické pole statoru ovlivňuje jeho vinutí a uvádí jej do pohybu. Jakákoli elektrická vozidla používají sílu Ampér k otáčení hřídelí, na kterých jsou umístěna kola (tramvaje, elektromobily, elektrické vlaky atd.).

Také magnetické pole uvádí do pohybu mechanismy elektrických zámků (elektrické dveře, posuvné brány, výtahové dveře). Jinými slovy, jakákoli zařízení, která fungují na elektřinu a mají pohyblivé části, jsou založena na využívání Ampérova zákona.

Také nachází uplatnění v mnoha dalších typech elektrotechniky , například v dynamické hlavě (reproduktoru): v reproduktoru (reproduktoru) se permanentní magnet používá k buzení membrány, která generuje zvukové vibrace, a při působení elektromagnetické pole vytvořené blízkým vodičem s proudem, působí síla Ampér, která se mění v souladu s požadovanou frekvencí zvuku.

Taky:

Elektrodynamická komprese plazmatu ; například v tokamacích , nastavení Z-pinch .
Elektrodynamická metoda lisování .
Elektromagnetické čerpadlo

Ampérová síla a třetí Newtonův zákon

Nechť existují dva tenké vodiče s proudy a , mající tvar křivek a , které jsou dány poloměrovými vektory a . $I_1$ $já_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

Pro interakční síly nekonečně malých úseků těchto vodičů není splněn třetí Newtonův zákon . Ampérova síla pro dopad prvku prvního vodiče na prvek druhého se totiž nerovná síle s opačným znaménkem, která působí od prvku druhého vodiče na prvek prvního : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Zde a jsou pole vytvořená sekcí prvního a sekcí druhého drátu. Tato skutečnost nijak neohrožuje Newtonovu dynamiku, protože stejnosměrný proud může protékat pouze v uzavřeném obvodu - a proto třetí Newtonův zákon musí fungovat pouze pro síly, kterými interagují dva uzavřené vodiče s proudem. Na rozdíl od jednotlivých prvků platí pro uzavřené smyčky Newtonův zákon: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

kde a je pole vytvořené zcela prvním a zcela druhým drátem (a ne jejich oddělenými sekcemi). Pole se v každém případě zjistí pomocí vzorce Biot-Savart-Laplace . $\mathbf {B} _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{2))$

podrobnější prezentace

Nechť existují dva tenké vodiče s proudy a , mající tvar křivek a , které jsou dány poloměrovými vektory a . Síla působící na proudový prvek jednoho drátu ze strany proudového prvku druhého drátu se zjistí podle Biot-Savart-Laplaceova zákona: proudový prvek umístěný v bodě vytváří v bodě elementární magnetické pole . $I_1$ $já_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Podle Ampérova zákona je síla působící ze strany pole na proudový prvek umístěný v bodě rovna $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ ${\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2))$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Prvek proudu umístěný v bodě vytváří v bodě elementární magnetické pole ${\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2))$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Ampérová síla působící ze strany pole na aktuální prvek umístěný v bodě je rovna $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

V obecném případě pro libovolné a síly a nejsou ani kolineární, což znamená, že se neřídí třetím Newtonovým zákonem: . ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Tento výsledek však v tomto případě nenaznačuje selhání Newtonovy dynamiky. Obecně řečeno, stejnosměrný proud může protékat pouze v uzavřené smyčce. Třetí Newtonův zákon by se proto měl vztahovat pouze na síly, kterými interagují dva uzavřené vodiče s proudem. Je vidět, že pro dva takové vodiče je splněn třetí Newtonův zákon.

Nechte křivky a být uzavřeny. Poté proud vytvoří v bodě magnetické pole $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

kde integrace over se provádí ve směru toku proudu . Ampérová síla působící ze strany pole na obvod s proudem je rovna $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $já_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \přes 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

kde integrace over se provádí ve směru toku proudu . Na pořadí integrace nezáleží. $C_{2}$ $já_{2}$

Podobně je ampérova síla působící ze strany pole vytvořeného proudem na obvodu s proudem rovna $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $já_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Rovnost je ekvivalentem rovnosti $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Abychom dokázali tuto poslední rovnost, poznamenejme, že výraz pro ampérovou sílu je velmi podobný výrazu pro cirkulaci magnetického pole v uzavřeném obvodu, ve kterém je součin vnější tečky nahrazen součinem kříže.

Pomocí Lagrangeovy identity lze dvojitý vektorový součin na levé straně dokazované rovnosti zapsat takto:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Pak má levá strana dokazované rovnosti tvar:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Zvažte samostatně integrál , který lze přepsat do následující podoby: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Změnou proměnné ve vnitřním integrálu na , kde se vektor mění podél uzavřené kontury , zjistíme, že vnitřní integrál je cirkulace gradientového pole podél uzavřené kontury. Takže se rovná nule: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

To znamená, že celý dvojitý křivočarý integrál je roven nule. V tomto případě lze sílu zapsat: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Výraz pro sílu lze odvodit z výrazu pro sílu , jednoduše z úvah o symetrii. Abychom to udělali, nahradíme indexy: změníme 2 na 1 a 1 na 2. V tomto případě pro sílu můžeme napsat: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Nyní je zcela zřejmé, že . To znamená, že Ampérova síla splňuje třetí Newtonův zákon v případě uzavřených vodičů. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Některé historické aspekty

Detekce efektů

V roce 1820 Hans Christian Oersted objevil, že drát, kterým prochází proud, vytváří magnetické pole a způsobuje vychýlení střelky kompasu. Všiml si, že magnetické pole je kolmé k proudu, a nikoli rovnoběžné s ním, jak by se dalo očekávat. Ampere, inspirovaný ukázkou Oerstedova experimentu, zjistil, že dva paralelní vodiče, kterými prochází proud, se přitahují nebo odpuzují v závislosti na tom, zda proud teče stejným nebo opačným směrem. Proud tedy nejen vytváří magnetické pole, ale magnetické pole na proud působí. Již týden poté, co Oersted oznámil svůj zážitek, nabídl Ampère vysvětlení: vodič působí na magnet, protože proud teče v magnetu po mnoha malých uzavřených drahách [2] [3] .

Výběr vzorce pro sílu

Zákon vzájemného ovlivňování dvou elementárních elektrických proudů, známý jako Ampérův zákon, byl ve skutečnosti později navržen Grassmannem (to znamená, že by bylo správnější nazývat jej Grassmannovým zákonem).

Původní Ampérův zákon měl trochu jinou podobu: síla působící ze strany aktuálního prvku umístěného v bodě na aktuální prvek umístěný v bodě je rovna ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2))$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\right)

Sílu působící ze strany aktuálního prvku umístěného v bodě na aktuální prvek umístěný v bodě lze získat ze vzorce síly jednoduše z úvah o symetrii nahrazením indexů: 2 za 1 a 1 za 2. ${\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2))$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

V tomto případě , to znamená, že původní Ampérův zákon splňuje třetí Newtonův zákon již pro diferenciální formu. Ampere, který vyzkoušel řadu výrazů, se usadil právě u tohoto. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Pokud při zvažování jakékoli úlohy výpočtu interakční síly (ve skutečnosti nekonstantních) otevřených proudů není možné smířit se s porušením třetího Newtonova zákona, existuje možnost použít původní Ampérův zákon. V případě Grassmannova zákona musí být do úvahy zahrnuta další fyzická entita, magnetické pole, aby se kompenzovalo nedodržení třetího zákona.

Lze dokázat, že v integrálním tvaru původního Ampérova zákona jsou síly, kterými interagují dva uzavřené vodiče se stejnosměrnými proudy, stejné jako v Grassmannově zákoně.

důkaz

Abychom to dokázali, zapíšeme sílu v následujícím tvaru: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

Je zřejmé, že aby síla byla stejná jako v Grassmannově zákoně, stačí dokázat, že druhý člen je roven nule. Dále budeme uvažovat druhý člen bez jakýchkoli koeficientů před znaménky integrálů, protože tyto koeficienty se v obecném případě nerovnají nule, a proto i samotný dvojitý křivočarý integrál musí být roven nule.

Takže označme . A to musíte dokázat $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Předpokládejme, že integrace se provádí nejprve podél obrysu . V tomto případě je možné provést změnu proměnné: , kde se vektor mění v uzavřené smyčce . Pak se dá psát ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Nyní, když integrujete přes obrys , získá se nějaká vektorová funkce , která bude poté integrována přes obrys . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Dá se dokázat, že to může být reprezentováno jako , kde oba gradienty jsou převzaty proměnnou . Důkaz je triviální, stačí provést postup snímání gradientů. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{jeden})$ $\mathbf {r}$

Dále, podle identity Lagrange, můžeme psát:

{\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\částečný \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{aligned}}.

Zde se ukázalo, že nula je rotor s gradientem pole. Výsledkem je totální diferenciál vektorové funkce

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Nyní to tedy můžeme reprezentovat jako . Tento integrál lze získat integrací každé projekce samostatně. Například integrujme promítání x. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }X).

Integrál totálního diferenciálu v jakékoli uzavřené smyčce je roven nule: , proto bude mít tvar: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ ${\displaystyle P_{x))$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

Tentokrát musíme nejprve integrovat přes obrys . Udělejme změnu proměnné: , kde se vektor mění podél uzavřené kontury . Pak se dá psát $C_{1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

kde gradient je opět převzat proměnnou . $\mathbf {r}$

Protože se ve výrazu opět objevila cirkulace gradientního pole podél uzavřeného obrysu, pak . $P_{x}=0$

Podobně můžeme napsat pro zbývající dvě projekce:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Takže . $\mathbf {P} =0$

Maxwell navrhl nejobecnější formu zákona interakce dvou elementárních vodičů s proudem, ve které je přítomen součinitel k (nelze jej určit bez některých předpokladů založených na experimentech, ve kterých aktivní proud tvoří uzavřený obvod) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aligned}}\right).

Ve své teorii Ampère vzal , Gauss řekl , jako Grassmann a Clausius . V non-éterické elektronické teorie , Weber adoptoval a Riemann adoptoval . Ritz zůstal ve své teorii nedefinovaný. $k=-1$ $k=+1$ $k=-1$ $k=+1$ $k$

Pro sílu interakce dvou uzavřených obrysů a se standardním výrazem se získá. $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

detaily výpočtu

{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \přes 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\right)\\\end{aligned}}.

Zde byly první dva termíny zkombinovány podle Lagrangeovy identity, zatímco třetí termín, když je integrován přes uzavřené obrysy , dá nulu. Opravdu, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Tak získáme tvar Ampérova zákona, který dal Maxwell:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Přestože je síla vždy stejná pro různé , moment sil se může lišit. Například, když se dva nekonečné dráty zkřížené v pravém úhlu vzájemně ovlivňují, interakční síla bude nulová. Spočítáme-li moment sil působících na každý z drátů pomocí Grassmannova vzorce, žádný z nich nebude roven nule (ačkoliv v součtu budou rovny nule). Spočítáme-li moment sil podle původního Ampérova zákona, bude každá z nich rovna nule. $k$