Gauss-Ostrogradského vzorec

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. července 2021; kontroly vyžadují 10 úprav .

Gauss-Ostrogradského vzorec spojuje tok spojitě diferencovatelného vektorového pole uzavřeným povrchem a integrál divergence tohoto pole přes objem ohraničený tímto povrchem.

Vzorec se používá k převodu integrálu objemu na integrál na uzavřené ploše a naopak.

Formulace

Vektorový tok uzavřeným povrchem je roven integrálu převzatého přes objem ohraničený povrchem [1] $\mathbf {a}$ $S$ $\operatorname {div} \mathbf {a}$ $V$ $S$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

V souřadnicovém zápisu má Ostrogradského-Gaussův vzorec tvar:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits _{ V}\left({\frac {\částečné a_{x}}{\částečné x}}+{\frac {\částečné a_{y}}{\částečné y}}+{\frac {\částečné a_{z }}{\částečné z}}\vpravo)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- vektorové projekce

\mathbf {a}

Důsledky Ostrogradského-Gaussova teorému: 1) v solenoidovém poli ( ) je vektorový tok libovolnou uzavřenou plochou roven nule.

\operatorname {div} \mathbf {a} =0

\mathbf {a}

2) pokud je uvnitř uzavřeného povrchu zdroj nebo jímka , pak tok vektoru tímto povrchem nezávisí na jeho tvaru.

S

\mathbf {a}

Poznámky

V díle Ostrogradského je vzorec napsán v následující podobě:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

kde a jsou objemové a povrchové diferenciály. jsou funkce spojité spolu se svými parciálními derivacemi prvního řádu v uzavřené oblasti prostoru ohraničené uzavřenou hladkou plochou [2] . $d\omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Moderní zápis vzorce:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

kde a . _ V moderní notaci - prvek objemu, - prvek plochy [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

Zobecněním Ostrogradského vzorce je Stokesův vzorec pro variety s hranicí.

Historie

Teorém byl poprvé založen Lagrangeem v roce 1762 [3] .

Obecnou metodu převodu trojného integrálu na plošný integrál poprvé ukázal Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) na příkladu problémů v elektrodynamice [4] .

V roce 1826 M. V. Ostrogradsky odvodil vzorec v obecné formě a představil jej jako větu (publikoval v roce 1831 ). M. V. Ostrogradsky publikoval v roce 1834 vícerozměrné zobecnění vzorce [4] . S pomocí tohoto vzorce našel Ostrogradsky výraz pro derivaci s ohledem na parametr -násobného integrálu s proměnnými limity a získal vzorec pro variaci -násobného integrálu. $n$ $n$

V zahraničí se vzorec obvykle nazývá "divergenční teorém" ( anglicky divergenční teorém ), někdy - Gaussův vzorec nebo "Gauss-Ostrogradského vzorec (teorém)."

Viz také

Poznámky

↑ "Matematický slovník vyšší školy" V.G. Vodněv, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Nakladatelství MPI. článek "Ostrogradského teorém" strana 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. et al. Matematická analýza. Pokračování kurzu / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. Ed. A. N. Tichonova. - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1987. - 358 s.
↑ V práci o teorii zvuku z roku 1762 uvažuje Lagrange o zvláštním případu věty: Lagrange (1762) „Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son“ (Nové studie o povaze a šíření zvuku), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Dotisk: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Archivováno 15. května 2016 ve Wayback Machine v JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (Paříž , Francie: Gauthier -Villars, 1867), sv. 1, str. 151-316; na stranách 263-265 Archivováno 13. května 2016 na Wayback Machine Lagrange převádí trojné integrály na dvojné integrály pomocí integrace po částech .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematické pojmy.(Příručka). Moskva: Vyšší škola, 1978, s. 150-151.

Literatura

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrationes definies. //Pam. l'Acad. (VI), 1, str. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variations desintegres multiples. //Pam. l'Acad., 1, str. 35-58, 24. 1. 1834 (1838).

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)