Matematický model

Matematický model  je matematická reprezentace reality [1] , jedna z variant modelu jako systému , jejíž studium umožňuje získat informace o nějakém jiném systému. Zejména matematický model má předpovídat chování reálného objektu, ale vždy představuje ten či onen stupeň jeho idealizace [B: 1] .

Matematické modelování se nazývá jak aktivita samotná, tak souhrn přijatých metod a technik pro konstrukci a studium matematických modelů.

Všechny přírodní a společenské vědy, které používají matematický aparát, se ve skutečnosti zabývají matematickým modelováním: nahrazují předmět studia jeho matematickým modelem a ten pak studují. Pomocí matematických metod je zpravidla popsán ideální objekt nebo proces, vybudovaný ve fázi smysluplného modelování . Propojení matematického modelu s realitou se uskutečňuje pomocí řetězce empirických zákonů , hypotéz , idealizací a zjednodušení.

Definice

Matematický model  je přibližný popis nějaké třídy jevů vnějšího světa, vyjádřený matematickými symboly. [B:2]

Podle Ljapunova je matematické modelování nepřímé praktické nebo teoretické studium objektu, ve kterém se přímo nestuduje objekt, který nás zajímá, ale nějaký pomocný umělý nebo přírodní systém (model), který je v nějaké objektivní shodě s objektem, který je předmětem zájmu. známý, schopný jej v určitých ohledech nahradit a při jeho studiu v konečném důsledku poskytnout informaci o samotném modelovaném objektu [B: 3] .

V jiných verzích je matematický model definován jako objektová náhražka původního objektu, poskytující studium některých vlastností originálu [B: 4] , jako ""ekvivalent "objektu, odrážející v matematické podobě jeho nejvíce důležité vlastnosti - zákony , kterým se řídí, souvislosti obsažené v jejích částech" [B: 5] , jako systém rovnic nebo aritmetických vztahů nebo geometrických obrazců nebo kombinace obojího, jejichž studium pomocí matematika by měla odpovídat na otázky položené o vlastnostech určitého souboru vlastností objektu reálného světa [B: 6] , jako souboru matematických vztahů, rovnic, nerovnic, které popisují hlavní vzorce vlastní procesu, objektu nebo systému podle studie [B: 7] .

V automatizovaných řídicích systémech se k určení algoritmu činnosti regulátoru používá matematický model. Tento algoritmus určuje, jak by se měla řídicí akce změnit v závislosti na změně v masteru, aby bylo dosaženo cíle řízení. [B:8]

Žádná definice nemůže plně pokrýt činnost matematického modelování v reálném životě . Navzdory tomu jsou definice užitečné v tom, že se pokoušejí zvýraznit nejvýznamnější rysy.

Univerzálnost modelů

Nejdůležitější matematické modely mají obvykle důležitou vlastnost univerzálnosti : zásadně odlišné reálné jevy lze popsat stejným matematickým modelem. Například harmonický oscilátor popisuje nejen chování zátěže na pružině, ale i další oscilační procesy, často zcela odlišného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísání hladiny kapaliny v nádobě tvaru, popř. změna síly proudu v oscilačním obvodu. Když tedy studujeme jeden matematický model, studujeme najednou celou třídu jevů, které popisuje. Právě tento izomorfismus zákonů vyjádřený matematickými modely v různých segmentech vědeckého poznání vedl Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoření „ obecné teorie systémů “.

Zároveň je třeba pamatovat na to, že model sám o sobě je objekt a může mít některé své vlastní vlastnosti, které nesouvisí se skutečným modelovaným objektem; existují však publikace i v renomovaných časopisech, kde jsou studovány právě ty vlastnosti složitých matematických modelů, které s modelovaným objektem nesouvisejí. [B:9]

Klasifikace modelů

Formální klasifikace modelů

Formální klasifikace modelů je založena na klasifikaci použitých matematických nástrojů. Často stavěný ve formě dichotomií . Například jedna z oblíbených sad dichotomií [2] :

a tak dále. Každý konstruovaný model je lineární nebo nelineární, deterministický nebo stochastický, ... Přirozeně jsou možné i smíšené typy: koncentrované v jednom ohledu (z hlediska parametrů), distribuované modely v jiném atd.

Klasifikace podle způsobu znázornění objektu

Spolu s formální klasifikací se modely liší ve způsobu, jakým představují objekt:

Strukturální modely představují objekt jako systém s vlastním zařízením a fungujícím mechanismem. Funkční modely takové reprezentace nevyužívají a odrážejí pouze zvenčí vnímané chování (fungování) objektu. Ve svém extrémním výrazu se jim také říká „black box“ modely . [6] Možné jsou i kombinované typy modelů, někdy označované jako modely „ grey box “.

Smysluplné a formální modely

Téměř všichni autoři popisující proces matematického modelování uvádějí, že nejprve je postavena speciální ideální konstrukce, smysluplný model [7] . Neexistuje zde ustálená terminologie a jiní autoři tento ideální objekt nazývají konceptuální model [8] , spekulativní model [B: 10] [9] nebo premodel [10] . V tomto případě se konečná matematická konstrukce nazývá formální model nebo jednoduše matematický model získaný jako výsledek formalizace tohoto obsahového modelu (předmodelu). Smysluplný model lze postavit pomocí sady hotových idealizací, jako v mechanice, kde ideální pružiny, tuhá tělesa, ideální kyvadla, elastická média atd. poskytují hotové konstrukční prvky pro smysluplné modelování. Avšak v oblastech znalostí, kde neexistují žádné plně dokončené formalizované teorie (špičková fyzika , biologie , ekonomie , sociologie , psychologie a většina dalších oblastí), se vytváření smysluplných modelů stává mnohem složitější.

Smysluplná klasifikace modelů

Peierls [11] uvádí klasifikaci matematických modelů používaných ve fyzice a v širším měřítku v přírodních vědách. V knize A. N. Gorbana a R. G. Khleboprose [12] je tato klasifikace rozebrána a rozšířena. Tato klasifikace je zaměřena především na fázi konstrukce smysluplného modelu.

Hypotéza

Modely prvního typu - hypotézy ( "to by mohlo být" ), "představují zkušební popis jevu a autor buď věří v jeho možnost, nebo ji dokonce považuje za pravdivou." Podle Peierlse se jedná např. o Ptolemaiův model sluneční soustavy a Koperníkův model (vylepšený Keplerem ), Rutherfordův model atomu a model velkého třesku .

Modelové hypotézy ve vědě nelze jednou provždy dokázat, lze pouze hovořit o jejich vyvrácení či nevyvrácení v důsledku experimentu [13] .

Pokud je postaven model prvního typu, znamená to, že je dočasně uznán jako pravdivý a lze se soustředit na jiné problémy. To však nemůže být bod ve výzkumu, ale pouze dočasná pauza: stav modelu prvního typu může být pouze dočasný.

Fenomenologický model

Druhý typ, fenomenologický model ( „chováme se, jako by…“ ), obsahuje mechanismus pro popis jevu, ačkoli tento mechanismus není dostatečně přesvědčivý, nelze jej dostatečně potvrdit dostupnými daty nebo je málo konzistentní s dostupnými teoriemi. a nashromážděné znalosti o předmětu. Proto mají fenomenologické modely status dočasných řešení. Má se za to, že odpověď je stále neznámá a hledání „skutečných mechanismů“ musí pokračovat. K druhému typu odkazuje Peierls například kalorický model a kvarkový model elementárních částic.

Role modelu ve výzkumu se může v čase měnit, může se stát, že nová data a teorie potvrdí fenomenologické modely a ty jsou povýšeny do stavu hypotézy. Podobně se nové poznatky mohou postupně dostat do konfliktu s modely-hypotézami prvního typu a mohou se přenést do druhého. Kvarkový model se tak postupně přesouvá do kategorie hypotéz; atomismus ve fyzice vznikl jako dočasné řešení, ale postupem dějin přešel do prvního typu. Ale éterové modely přešly z typu 1 na typ 2 a nyní jsou mimo vědu.

Myšlenka zjednodušení je při stavbě modelů velmi populární. Zjednodušení je ale jiné. Peierls rozlišuje tři typy zjednodušení v modelování.

Aproximace

Třetím typem modelů jsou aproximace ( „uvažujeme o něčem velmi velkém nebo velmi malém“ ). Pokud je možné sestrojit rovnice popisující zkoumaný systém, neznamená to, že je lze řešit i pomocí počítače. Běžnou technikou je v tomto případě použití aproximací (modely typu 3). Mezi nimi jsou modely lineární odezvy . Rovnice jsou nahrazeny lineárními. Standardním příkladem je Ohmův zákon .

Pokud použijeme model ideálního plynu k popisu dostatečně zředěných plynů, pak se jedná o model typu 3 (aproximaci). Při vyšších hustotách plynu je také užitečné si pro kvalitativní pochopení a vyhodnocení představit jednodušší situaci ideálního plynu, ale pak je to již typ 4.

Zjednodušení

Čtvrtým typem je zjednodušení ( „pro přehlednost vynecháváme některé detaily“ ), u tohoto typu jsou vyřazeny detaily, které mohou výsledek znatelně a ne vždy kontrolovatelně ovlivnit. Stejné rovnice mohou sloužit jako model typu 3 (aproximace) nebo typu 4 (s vynecháním některých podrobností pro jasnost), v závislosti na jevu, který se model používá ke studiu. Pokud se tedy modely lineární odezvy používají v nepřítomnosti složitějších modelů (to znamená, že nelineární rovnice nejsou linearizovány, ale lineární rovnice popisující objekt se jednoduše hledají), jedná se již o fenomenologické lineární modely a patří mezi následující typ 4 (všechny nelineární detaily jsou pro přehlednost vynechány).

Příklady: aplikace modelu ideálního plynu na neideální, van der Waalsova stavová rovnice , většina modelů pevných látek , fyzika kapalin a jaderné fyziky . Cesta od mikropopisu k vlastnostem těles (nebo médií) skládajících se z velkého množství částic je velmi dlouhá. Mnoho detailů je třeba vynechat. To vede k modelům čtvrtého typu.

Heuristický model

Pátým typem je heuristický model ( „neexistuje žádné kvantitativní potvrzení, ale model přispívá k hlubšímu vhledu do podstaty věci“ ), takový model si zachovává pouze kvalitativní podobnost s realitou a dává předpovědi pouze „v pořadí velikost“. Typickým příkladem je aproximace střední volné dráhy v kinetické teorii . Dává jednoduché vzorce pro koeficienty viskozity , difúze , tepelné vodivosti , v souladu s realitou v řádové velikosti.

Ale při budování nové fyziky není zdaleka okamžitě získán model, který poskytuje alespoň kvalitativní popis objektu - model pátého typu. V tomto případě se často používá analogicky model , který alespoň nějakým způsobem odráží realitu.

Analogie

Šestým typem je analogický model ( „vezměme v úvahu jen některé vlastnosti“ ). Peierls uvádí historii použití analogií v Heisenbergově prvním článku o povaze jaderných sil [14] .

Myšlenkový experiment

Sedmým typem modelu je myšlenkový experiment ( „hlavní věcí je vyvrátit možnost“ ). Tento typ simulace často používal Einstein, konkrétně jeden z těchto experimentů vedl ke konstrukci speciální teorie relativity . Předpokládejme, že v klasické fyzice sledujeme světelnou vlnu rychlostí světla. Budeme pozorovat elektromagnetické pole periodicky se měnící v prostoru a konstantní v čase . Podle Maxwellových rovnic to tak být nemůže. Odtud Einstein došel k závěru: buď se přírodní zákony změní, když se změní referenční soustava, nebo rychlost světla nezávisí na vztažné soustavě , a zvolil druhou možnost.

Ukázka možnosti

Osmý typ je demonstrací možnosti ( „hlavní věcí je ukázat vnitřní konzistenci možnosti“ ), takové modely jsou také myšlenkovými experimenty s imaginárními entitami, které demonstrují, že údajný jev je v souladu se základními principy a je vnitřně konzistentní. To je hlavní rozdíl od modelů typu 7, které odhalují skryté rozpory.

Jedním z nejznámějších těchto experimentů je Lobachevského geometrie . ( Lobačevskij to nazval „imaginární geometrií“.) Paradox Einstein-Podolsky-Rosen byl koncipován jako myšlenkový experiment, který měl demonstrovat nekonzistentnost kvantové mechaniky, ale časem se neplánovaně proměnil v model typu 8 – demonstraci možnosti kvantové teleportace informací .

Věcná klasifikace je založena na fázích předcházejících matematické analýze a výpočtům. Osm typů modelů podle Peierlse je osm typů výzkumných pozic v modelování.

Složitost modelovaného systému

Bylo navrženo [B: 11] [B: 12] rozlišovat tři úrovně složitosti systémů: jednoduché fyzikální, složité fyzikální a biologické systémy a bylo poznamenáno, že ve většině případů je redukce složitějších systémů na jednodušší nepřijatelné. .

Tvrdé a měkké modely

Akademik A. A. Andronov [B: 1] vyčlenil tři typy nestability modelu spojené s prováděním malých změn v systému: 1) nestabilita vůči změně výchozích podmínek (porušení podmínky stability Ljapunova), 2) nestabilita vůči malým změnám v systému. parametry, které nevedou ke změně počtu stupňů volnosti systému a 3) nestabilita vůči malým změnám parametrů, které mají za následek změnu počtu stupňů volnosti systému. Systémy, u kterých dochází k nestabilitě při malých změnách parametrů se změnou počtu stupňů volnosti systému, bylo zvykem označovat jako „ nehrubé “. Později byly označovány jako „tvrdé“ modely.

Harmonický oscilátor  je příkladem "tvrdého" modelu; je získána jako výsledek silné idealizace skutečného fyzického systému:

,

kde znamená druhou derivaci s ohledem na čas: . Podle formální klasifikace je tento model lineární, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. V procesu jeho konstrukce bylo učiněno mnoho předpokladů (o nepřítomnosti vnějších sil, nepřítomnosti tření, malosti výchylek atd.), které ve skutečnosti nemusí být naplněny.

Ve vztahu k realitě se jedná nejčastěji o model zjednodušení 4. typu („pro přehlednost vynecháváme některé detaily“), protože jsou vynechány některé zásadní univerzální rysy (např. disipace ). V určité aproximaci (řekněme, zatímco odchylka zatížení od rovnováhy je malá, s malým třením, po nepříliš dlouhou dobu a za určitých dalších podmínek), takový model docela dobře popisuje skutečný mechanický systém, protože vyloučené faktory mají zanedbatelný vliv na jeho chování. Model však lze upřesnit zohledněním některých z těchto faktorů. To povede k novému modelu s širším (i když opět omezeným) záběrem.

Vlastnosti harmonického oscilátoru se kvalitativně mění malými poruchami. Například, když přidáme malý člen (tření) (  - nějaký malý parametr) na pravou stranu, pak dostaneme exponenciálně tlumené kmity, když změníme znaménko doplňkového členu, pak se tření změní na pumpování a kmitání amplituda se bude exponenciálně zvyšovat.

K vyřešení problému použitelnosti rigidního modelu je nutné pochopit, jak významné jsou faktory, které jsme zanedbali. Je nutné zkoumat měkké modely získané malou poruchou rigidního. Pro harmonický oscilátor mohou být dány například následující rovnicí:

.

Zde  je nějaká funkce, která může vzít v úvahu třecí sílu nebo závislost koeficientu tuhosti pružiny na míře jejího natažení. Explicitní podoba funkce nás v tuto chvíli nezajímá.

Pokud prokážeme, že chování měkkého modelu se zásadně neliší od chování tvrdého modelu (bez ohledu na explicitní formu rušivých faktorů, pokud jsou dostatečně malé), problém se zredukuje na studium tvrdého modelu. V opačném případě bude aplikace výsledků získaných při studiu rigidního modelu vyžadovat další výzkum.

Pokud si systém zachová své kvalitativní chování i při malém narušení, říká se, že je strukturálně stabilní. Harmonický oscilátor je příkladem strukturně nestabilního (nehrubého) systému. [B:13] Tento model však lze použít ke studiu procesů v omezených časových intervalech.

Přímé a inverzní úlohy matematického modelování

S matematickým modelováním je spojeno mnoho problémů. Nejprve je třeba vymyslet základní schéma modelovaného objektu, reprodukovat jej v rámci idealizací této vědy. Vagón se tak promění v soustavu desek a složitějších karoserií vyrobených z různých materiálů, každý materiál je specifikován jako jeho standardní mechanická idealizace (hustota, moduly pružnosti, standardní pevnostní charakteristiky), načež se podél cesty sestavují rovnice. některé detaily jsou vyřazeny jako nepodstatné, jsou provedeny výpočty, porovnány s měřeními, model je zpřesněn a tak dále. Pro vývoj technologií matematického modelování je však užitečné tento proces rozebrat na jeho hlavní základní prvky.

Tradičně existují dvě hlavní třídy problémů spojených s matematickými modely: přímé a inverzní.

Přímý úkol : struktura modelu a všechny jeho parametry jsou považovány za známé, hlavním úkolem je studovat model za účelem získání užitečných znalostí o objektu. Jaké statické zatížení most vydrží? Jak bude reagovat na dynamickou zátěž (například na pochod roty vojáků nebo na průjezd vlaku různou rychlostí), jak letadlo překoná zvukovou bariéru, zda se rozpadne od flutteru - to jsou typické příklady přímého úkolu. Nastavení správného přímého problému (položení správné otázky) vyžaduje speciální dovednosti. Pokud nejsou položeny správné otázky, most se může zřítit, i když byl pro jeho chování postaven dobrý model. V roce 1879 se ve Spojeném království zřítil kovový železniční most přes Firth of Tay , jehož konstruktéři postavili model mostu, vypočítali jej pro 20násobnou bezpečnostní rezervu pro užitečné zatížení, ale zapomněli na neustále foukající větry. v těch místech. A po roce a půl se to zhroutilo. [patnáct]

V nejjednodušším případě (například rovnice jednoho oscilátoru) je přímý problém velmi jednoduchý a redukuje se na explicitní řešení této rovnice.

Inverzní problém : je známo mnoho možných modelů, je nutné vybrat konkrétní model na základě dalších údajů o objektu. Nejčastěji je struktura modelu známá a je potřeba určit některé neznámé parametry. Další informace mohou spočívat v dodatečných empirických datech nebo v požadavcích na objekt ( problém návrhu ). Další data mohou pocházet nezávisle na procesu řešení inverzního problému ( pasivní pozorování ) nebo být výsledkem experimentu speciálně naplánovaného v průběhu jeho řešení ( aktivní pozorování ).

Jedním z prvních příkladů virtuózního řešení inverzního problému s maximálním využitím dostupných dat byla Newtonova metoda pro rekonstrukci třecích sil z pozorovaných tlumených kmitů.

Dalším příkladem je matematická statistika . Úkolem této vědy je vyvinout metody pro záznam, popis a analýzu pozorovacích a experimentálních dat za účelem sestavení pravděpodobnostních modelů hromadných náhodných jevů [B: 14] . To znamená, že množina možných modelů je omezena pravděpodobnostními modely. Ve specifických problémech je množina modelů omezenější.

Počítačové simulační systémy

Pro podporu matematického modelování byly vyvinuty počítačové matematické systémy, např. Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim , [B: 15] a Scilab atd. Umožňují vytvářet formální i blokové modely jednoduchých i složitých procesů a zařízení a snadno měnit parametry modelu během simulace. Blokové modely jsou reprezentovány bloky (nejčastěji grafickými), jejichž sestavu a zapojení určuje modelové schéma.

Příklady

Malthusův model

Podle modelu navrženého Malthusem je rychlost růstu úměrná velikosti současné populace , to znamená, že je popsána diferenciální rovnicí:

,

kde  je určitý parametr určený rozdílem mezi porodností a úmrtností. Řešením této rovnice je exponenciální funkce . Pokud porodnost převyšuje úmrtnost ( ), velikost populace se neomezeně a velmi rychle zvyšuje. Ve skutečnosti se to kvůli omezeným zdrojům stát nemůže. Když je dosaženo určité kritické velikosti populace, model přestává být adekvátní, protože nebere v úvahu omezené zdroje. Zpřesnění Malthusova modelu může sloužit jako logistický model , který je popsán Verhulstovou diferenciální rovnicí :

,

kde  je "rovnovážná" velikost populace, při které je porodnost přesně kompenzována úmrtností. Velikost populace v takovém modelu směřuje k rovnovážné hodnotě a toto chování je strukturálně stabilní.

Model Bonhoeffer-van der Pol

Model navržený v článku Richarda FitzHugha z roku 1961 [A:2] je běžně považován za klasický příklad studia konceptuálních modelů rychle-pomalých systémů . Ve své kanonické podobě se píše [A: 3] jako

.

Richard FitzHugh odvodil tento model jako výsledek zobecnění rovnice van der Pol a modelu navrženého německým chemikem Karlem-Friedrichem Bonhoefferem . Zatímco rovnice van der Pol (a odpovídající systém) je konceptuální model limitního cyklu , Bonhoeffer-van der Pol rovnice (a odpovídající systém) je klasifikován jako konceptuální model procesů autovln . Na jeho základě bylo vytvořeno velké množství předmětových, formálně kinetických, modelů chemických a biologických oscilačních systémů.

Systém predátor-kořist

Řekněme, že v určité oblasti žijí dva druhy zvířat : králíci (požírají rostliny ) a lišky (požírají králíky). Nechť počet králíků , počet lišek . Pomocí modelu Malthus s nezbytnými korekcemi, s přihlédnutím k požírání králíků liškami, dojdeme k následujícímu systému, který nese název modelu Lotka-Volterra :

Chování tohoto systému není strukturálně stabilní : malá změna parametrů modelu (například zohlednění omezených zdrojů potřebných pro králíky) může vést ke kvalitativní změně chování .

Pro některé hodnoty parametrů má tento systém rovnovážný stav , kdy je počet králíků a lišek konstantní. Odchylka od tohoto stavu vede k postupně tlumenému kolísání početnosti králíků a lišek.

Možná je i opačná situace, kdy jakákoli malá odchylka od rovnovážné polohy povede ke katastrofálním následkům, až k úplnému vyhynutí některého z druhů. Na otázku, který z těchto scénářů se realizuje, model Volterra-Lotka nedává odpověď: je zde nutný další výzkum.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ „Matematické znázornění reality“ (Encyclopaedia Britanica)
  2. ↑ Přístupy redukce modelu a hrubého zrnění pro víceškálové  jevy . Springer, řada Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4 . Získáno 18. června 2013. Archivováno z originálu 18. června 2013.
  3. ↑ „Teorie je považována za lineární nebo nelineární v závislosti na tom, zda se jedná o lineární nebo nelineární matematický aparát, jaké lineární nebo nelineární matematické modely používá. ... aniž bych to druhé popřel. Moderní fyzik, pokud by náhodou předefinoval tak důležitou entitu jako nelinearitu, by s největší pravděpodobností jednal jinak, a preferoval by nelinearitu jako důležitější a společný ze dvou protikladů, definoval by linearitu jako „ne- linearita“. Danilov Yu.A. , Přednášky o nelineární dynamice. Elementární úvod. Synergetika: řada od minulosti k budoucnosti. Ed.2. — M.: URSS, 2006. — 208 s. ISBN 5-484-00183-8
  4. ↑ Anishchenko, 1997 , „Dynamické systémy modelované konečným počtem obyčejných diferenciálních rovnic se nazývají soustředěné nebo bodové systémy. Jsou popsány pomocí konečnorozměrného fázového prostoru a jsou charakterizovány konečným počtem stupňů volnosti. Jeden a tentýž systém za různých podmínek lze považovat za koncentrovaný nebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémů jsou parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice nebo obyčejné rovnice s retardovaným argumentem. Počet stupňů volnosti distribuovaného systému je nekonečný a k určení jeho stavu je zapotřebí nekonečné množství dat.
  5. ↑ 1 2 3 Sovetov, 2001 , „V závislosti na povaze studovaných procesů v systému S lze všechny typy modelování rozdělit na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétní, spojité a diskrétně spojité. Deterministické modelování zobrazuje deterministické procesy, tedy procesy, u kterých se předpokládá nepřítomnost jakýchkoli náhodných vlivů; stochastické modelování zobrazuje pravděpodobnostní procesy a události. … Statické modelování se používá k popisu chování objektu v libovolném okamžiku, zatímco dynamické modelování odráží chování objektu v průběhu času. Diskrétní modelování se používá k popisu procesů, o kterých se předpokládá, že jsou diskrétní, respektive spojité modelování umožňuje reflektovat spojité procesy v systémech a diskrétně spojité modelování se používá pro případy, kdy chcete zvýraznit přítomnost jak diskrétních, tak spojitých procesů.
  6. ↑ Myshkis, 2007 , Obvykle se struktura (zařízení) modelovaného objektu odráží v matematickém modelu , vlastnosti a propojení komponent tohoto objektu, které jsou pro účely výzkumu zásadní; takový model se nazývá strukturální. Pokud model odráží pouze to, jak objekt funguje – například jak reaguje na vnější vlivy – pak se nazývá funkční nebo přeneseně černá skříňka. Možné jsou i kombinované modely.
  7. ↑ Myshkis, 2007 , „Samozřejmou, ale nejdůležitější počáteční fází při konstrukci nebo výběru matematického modelu je získat co nejjasnější představu o modelovaném objektu a upřesnit jeho obsahový model na základě neformálních diskuzí. V této fázi by se nemělo šetřit časem a úsilím, na tom do značné míry závisí úspěšnost celé studie. Nejednou se stalo, že nemalá práce vynaložená na řešení matematického problému se ukázala jako neefektivní nebo dokonce zmařená pro nedostatečnou pozornost této stránce věci. 35.
  8. ↑ Sověti, 2001 , “ Popis koncepčního modelu systému. V této dílčí fázi budování modelu systému: a) je konceptuální model M popsán v abstraktních termínech a konceptech; b) popis modelu je uveden pomocí typických matematických schémat; c) hypotézy a předpoklady jsou nakonec přijaty; d) je zdůvodněna volba postupu aproximace reálných procesů při sestavování modelu.», str. 93.
  9. ↑ Myshkis, 2006 , kapitola 2.
  10. ↑ Samarsky, 2001 , „Konstrukce modelu začíná verbálním a sémantickým popisem předmětu nebo jevu. … Tuto fázi lze nazvat formulací předmodelu.“, str. 25.
  11. ↑ Peierls R. Model-Making in Physics. — Contemp. Phys., leden/únor 1980, v. 21, str. 3-17; Překlad: R. Peierls , Konstrukce fyzických modelů, UFN, 1983, č. 6.
  12. ↑ Gorban A. N., Khlebopros R. G. , Darwinův démon: Idea optimality a přirozeného výběru . - M: Věda. Vedoucí ed. Fyzikální matematika lit., 1988. - 208 s. - (Problémy vědy a technologického pokroku) - ISBN 5-02-013901-7 (kapitola " Vytváření modelů " archivována 7. října 2008 na Wayback Machine )
  13. ↑ „Vždy máme schopnost vyvrátit teorii, ale všimněte si, že nikdy nemůžeme dokázat, že je správná. Předpokládejme, že předložíte úspěšnou hypotézu, spočítáte, kam vede, a zjistíte, že všechny její důsledky jsou experimentálně potvrzeny. Znamená to, že vaše teorie je správná? Ne, to jednoduše znamená, že se vám to nepodařilo vyvrátit “
    Feynman P. , Povaha fyzikálních zákonů. Knihovna "Quantum", číslo 62. - M .: Nauka, Ed. druhý, revidovaný, 1987; Přednáška 7. Hledání nových zákonů. Archivováno 5. března 2016 na Wayback Machine
  14. ↑ „Stalo se to po objevu neutronu , a přestože W. Heisenberg sám chápal, že jádra lze popsat jako skládající se z neutronů a protonů , stále se nemohl zbavit myšlenky, že neutron by se měl nakonec skládat z protonu a elektron . V tomto případě vznikla analogie mezi interakcí v systému neutron-proton a interakcí atomu vodíku a protonu. Právě tato analogie ho přivedla k závěru, že mezi neutronem a protonem musí existovat výměnné síly interakce, které jsou analogické s výměnnými silami v systému v důsledku přechodu elektronu mezi dvěma protony. ... Později však byla prokázána existence výměnných sil interakce mezi neutronem a protonem, i když zcela nevyčerpaly interakci mezi dvěma částicemi ... Ale podle stejné analogie W. Heisenberg dospěl k závěr, že neexistují žádné jaderné síly interakce mezi dvěma protony, a k předpokladu odpuzování mezi dvěma neutrony. Oba tyto poslední závěry jsou v rozporu se závěry pozdějších studií.
  15. ↑ Science-Building Archived 23. května 2009 na Wayback Machine , Technical Encyclopedia

Literatura

Knihy

  1. ↑ 1 2 Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teorie oscilací. - 2. vyd., přepracováno. a opraveno - M .: Nauka , 1981. - 918 s.
  2. ↑ Matematický encyklopedický slovník / Ch. vyd. Prochorov Yu.V. - M .: Sov. Encyklopedie, 1988. - 847 s.
  3. ↑ Novik I. B. K filozofickým otázkám kybernetického modelování . - M .: Vědění, 1964.
  4. ↑ Sovetov B. Ya. , Yakovlev S. A. Systémové modelování: Proc. pro univerzity . - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : Vyssh. škola, 2001. - 343 s. — ISBN 5-06-003860-2 .
  5. ↑ Samarsky A. A. , Michajlov A. P. Matematické modelování. Nápady. Metody. Příklady . — 2. vyd., opraveno. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
  6. ↑ Myshkis A. D. Prvky teorie matematických modelů . - 3. vydání, Rev. - M. : KomKniga, 2007. - 192 s. — ISBN 978-5-484-00953-4 .
  7. ↑ Sevostyanov, A. G. , Sevostyanov, P. A. Modelování technologických procesů: učebnice. - M. : Lehký a potravinářský průmysl, 1984. - 344 s.
  8. ↑ Rotach V. Ya. Teorie automatického řízení. - 1. - M. : CJSC "Nakladatelství MPEI", 2008. - 333 s. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
  9. ↑ Skorinkin A.I. Matematické modelování biologických procesů. - Kazaň: Kazaň. un-t, 2015. - 86 s.
  10. ↑ Blekhman I. I. , Myshkis A. D. , Panovko N. G. Aplikovaná matematika: Předmět, logika, rysy přístupů. S příklady z mechaniky: Učebnice. - 3. vydání, Rev. a další .. - M . : URSS, 2006. - 376 s. — ISBN 5-484-00163-3 .
  11. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodické pohyby a bifurkační procesy v singulárně narušených systémech . - M .: Fizmatlit, 1995. - 336 s. — ISBN 5-02-015129-7 .
  12. ↑ Mishchenko E. F. , Sadovnichiy V. A. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Spousta chaosu . - M .: Fizmatlit, 2012. - 432 s. — ISBN 978-5-9221-1423-3 .
  13. ↑ Arnold V. I. Rigidní a měkké matematické modely . - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-134-4 .
  14. ↑ Pravděpodobnostní úseky matematiky / Ed. Yu.D. Maksimova . - Petrohrad. : "Ivan Fedorov", 2001. - S.  400 . — 592 s. — ISBN 5-81940-050-X .
  15. ↑ Dyakonov V.P. Matlab R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Základy aplikace. - M. : Solon-Press, 2008. - 800 s. - (Knihovna profesionála). - ISBN 978-5-91359-042-8 .

Články

  1. ↑ Anishchenko V.S. Dynamic systems // Soros Educational Journal. - 1997. - č. 11 . - S. 77-84 .
  2. ↑ FitzHugh R. Impulzy a fyziologické stavy v teoretických modelech nervové membrány   // Biophys . J.: časopis. - 1961. - Sv. 1 . — S. 445–466 .
  3. ↑ Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. K otázce současného stavu teorie oscilací  // Preprinty IAM im. M. V. Keldysh  : deník. - 2019. - č. 44 . — S. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-44 .

Další čtení

 Odvětví matematiky
Portál "Věda"
Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky
Teorie čísel ( aritmetika )
  • Portál "Matematika"
  • Kategorie "Matematika"
  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie