Van der Pol oscilátor

Van der Polův oscilátor je nelineárně tlumený oscilátor, který se řídí rovnicí

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0

, kde

X

je souřadnice bodu v závislosti na čase ;

t

\mu

je koeficient charakterizující nelinearitu a tlumicí sílu kmitů.

Historie

Van der Pol oscilátor navrhl holandský inženýr a fyzik Balthasar van der Pol , když byl ve společnosti Philips . [1] Van der Pol našel stabilní oscilace, které se nazývaly relaxační oscilace, [ 2] známé jako "limitní cykly" , které jsou vždy blízko přirozeným frekvencím vln. Toto bylo jedno z prvních pozorování deterministického chaosu . [čtyři]

Van der Polova rovnice se používá jak ve fyzice , tak v biologii . Tak například v biologii vznikl model Fitz Hugh-Nagumo, který se používal i v seismologii k modelování geologických zlomů . [5]

Dvourozměrné pouzdro

Pomocí Liénardovy věty lze dokázat, že systém má limitní cyklus. Z této věty vyplývá, že . Z toho můžeme odvodit [6] rovnice van der Polových oscilátorů pro dvourozměrný případ: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.

Můžete také provést další náhradu a získat $y={\frac {dx}{dt))$

\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ konec{zarovnaný}}\vpravo.

Oscilátor s volnými vibracemi

Van der Pol oscilátor má dva zajímavé režimy: at a at . Je zřejmé, že třetí režim - - neexistuje, protože útlum v systému nemůže být záporný. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) Když je oscilátor počítán bez tlumení, pak se výše uvedené rovnice převedou do tvaru

\mu=0

{d^{2}x \over dt^{2}}+x=0

. Toto je rovnice harmonického oscilátoru . 2) Pro systém má určité limitní cykly. Čím dále od nuly, tím méně jsou kmity oscilátoru podobné harmonickým.

\mu>0

\mu

Nucené vibrace

Vynucené kmity Van der Polova oscilátoru, jak s energetickými ztrátami, tak bez nich, jsou vypočteny podle vzorce

{d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)

, kde

A

je amplituda externího harmonického signálu,

\omega

je jeho úhlová frekvence.

Poznámky

↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" Archivováno 18. října 2019 ve Wayback Machine , J. London Math. soc. 35 , 367-376 (1960).
↑ Van der Pol, B., "O relaxačních oscilacích", The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci. 2 (7) , 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. a Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscilátor" Archivováno 9. července 2009 ve Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. a Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. ChaosAppl. sci. Engrg. 9 , 2197-2202, (1999).
↑ Kaplan, D. a Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics , Springer, 240-244, (1995)

Viz také

Odkazy

Příklady fázových portrétů oscilátoru .