Liénardova rovnice

Lienardova rovnice je diferenciální rovnice často používaná v teorii oscilací a dynamických systémů . Pojmenována po francouzském fyzikovi A. Lienardovi .

Definice

Nechť a být dvě hladké funkce v prostoru . Nechť je lichá funkce a nechť je sudá . Pak rovnice tvaru $F$ $G$ $R^{3}$ $G$ $F$

{d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0

se nazývá Lienardova rovnice. [jeden]

Navíc lze Lienardovu rovnici [2] [3] redukovat na diferenciální rovnici prvního řádu provedením změny . Potom se Lienardova rovnice převede na Abelovu rovnici druhého typu: ${\displaystyle v={dx \over dt))$ $v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0$

Příklady

Van der Polův oscilátor má tvar Lienardovy rovnice pro . ${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$ $\left\{{\begin{matrix}f(x)=\mu (1-x^{2})\\g(x)=x\end{matrix}}\right.$

Související definice

Systém Lienar

Lienardova rovnice může být převedena na systém diferenciálních rovnic .

Nechat

F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi

;

x_{1}:=x

;

x_{2}:={dx \over dt}+F(x)

Pak systém formuláře

{\begin{bmatrix}{\tečka {x}}_{1}\\{\tečka {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1} ,x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}

tzv. Lienardův systém.

Lienardova věta

Lienardův systém má jedinečný a stabilní limitní cyklus blízko počátku , pokud systém splňuje následující tři vlastnosti:

$g(x)>0$ pro každého ; $x>0$
$\lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\ infty ;$
$F(x)$ má pouze jeden kladný kořen pro nějakou hodnotu parametru a $p$

F(x)<0

v a

0<x<p

F(x)>0

a monotónní na .

x>p

Viz také

Oscilátor

Poznámky

↑ Liénard, A. (1928) "Etude des oscilations entretenues," Revue générale de l'électricité 23 , str. 901-912 a 946-954.
↑ Liénardova rovnice Archivováno 2. června 2012 na Wayback Machine na eqworld .
↑ Abelova rovnice druhého druhu Archivováno 2. června 2012 na Wayback Machine na eqworld .