Logistická rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. března 2020; kontroly vyžadují 6 úprav .

Logistická rovnice , známá také jako Verhulstova rovnice (podle belgického matematika , který ji poprvé formuloval ), se původně objevila při studiu populačních změn .

Počáteční předpoklady pro odvození rovnice při zvažování populační dynamiky jsou následující:

Označení pomocí velikosti populace (v ekologii se často používá označení ) a času - lze model redukovat na diferenciální rovnici

kde parametr charakterizuje rychlost růstu (reprodukce) a  - podpůrnou kapacitu prostředí (tj. maximální možnou velikost populace). Na základě názvu koeficientů se v ekologii často rozlišují[ objasnit ] dvě strategie pro chování druhů:

Přesným řešením rovnice (kde  je počáteční velikost populace) je logistická funkce , S-křivka (logistická křivka):

kde

Je jasné, že v situaci „dostatečného množství zdrojů“, tedy pokud je P ( t ) mnohem menší než K , logistická funkce zpočátku roste přibližně exponenciálně :

Podobně při „vyčerpání zdrojů“ ( t  → ∞) se rozdíl exponenciálně zmenšuje se stejným exponentem.

Proč Verhulst nazval rovnici logistickou, zůstává neznámé.

Největší příspěvek k popularizaci myšlenky růstu populace podél logistické křivky měl americký biolog Raymond Pearl [ 1] [2] .

V roce 1920 Pearl s Lowellem Jacobem Reedem publikovali knihu O rychlosti růstu populace Spojených států od roku 1790 a její matematické reprezentaci [3] , ve které byla dána rovnice křivky podobná té, kterou předložil Verhulst; to znamená, že rovnice logistické křivky byla znovu objevena.

Logistická křivka po Verhulstovi a před Pearl byla znovu objevena nejméně pětkrát, jak popsal Peter John Lloyd ve svém článku [4] . A dokonce i po četných publikacích od Pearla byla křivka nadále objevována [4] .

Po zveřejnění článku o rychlosti populačního růstu ve Spojených státech [3] provedl Pearl ve své laboratoři rozsáhlý výzkumný program na populaci ovocných mušek Drosophila melanogaster.

Experimenty prováděné s cílem určit trajektorii, po které se populace much zvyšuje v omezeném prostoru a s omezenými zdroji potravy, ukázaly, že v laboratorních podmínkách kolonie much Drosophila vykazuje růst podél trajektorie logistické křivky [5] .

Podobné experimenty opakovali mnozí, objekty nebyly pouze Drosophila . Existuje mnoho experimentálních dat, které ukazují, že u mnoha biologických druhů jsou trajektorie změn jejich počtu realizovány v experimentech, odpovídajících Verhulst-Pearlově modelu [1] .

Všechny pokusy modelovat dynamiku růstu počtu lidí v různých zemích a regionech pomocí logistické křivky byly neúspěšné v tom smyslu, že se předpovědi nenaplnily a laboratorní pokusy se zvířaty a nižšími organismy ukázaly shodu jejich růstu. trajektorie s průběhem logistické křivky [1] .

Proč se logistický zákon růstu ukazuje jako pravdivý v laboratorních podmínkách, ale ne v reálném životě?

Důvodem je, že experimenty v laboratoři byly prováděny při teplotě vyhovující experimentálním subjektům, s neustálou dostupností potravy, nepřítomností nepřátel, nemocí a jiných negativních jevů, to znamená, že životní podmínky experimentálních subjektů byly blízko ideálu. Zároveň se proces růstu ukazuje jako docela deterministický a předvídatelný. A k růstu populace jakékoli země nebo regionu dochází pod vlivem negativních faktorů - epidemie, války, hladomor, přírodní katastrofy. Negativní dopady (poruchy) jsou v čase náhodné a proces růstu se stává špatně předvídatelným, pravděpodobnostním [1] .

Od roku 1924 začal Pearl tvrdit, že logistická křivka odráží zákon populačního růstu, že růst podél logistické křivky je univerzálním zákonem růstu všech živých věcí obecně [5] [6] . Biologové, statistici a ekonomové nesouhlasili s Pearlem, že se jedná o zákon, jelikož matematické vyjádření (vzorec) logistické křivky výslovně neobsahuje parametry reálného modelovaného procesu – neobsahuje výslovně faktory, na kterých populace velikost závisí a po období četných kritických prezentací a diskusí byla pro křivku určena oblast její použitelnosti jako výzkumného nástroje [1] [2] .

V roce 1924 použil Raymond Pearl rovnici k popisu autokatalytických reakcí .

Diskrétní obdobou logistické rovnice je logistická mapa .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Drozdyuk A. Logistická křivka .. - Toronto: Choven, 2019. - vi + 271 + [3] str. - ISBN ISBN 978-0-9866300-2-6 .
  2. ↑ 1 2 Kingsland, Sharon. The Refractory Model: The Logistic Curve and the History of Population Ecology  (anglicky)  // The Quarterly Review of Biology. - 1982. - březen ( roč. 57 , č. 1 ). — S. 29–52 .
  3. ↑ 1 2 Pearl, Raymond a Lowell J. Reed. O rychlosti růstu populace Spojených států od roku 1790 a její matematické reprezentaci  //  Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (PNAS; USA). - 1920. - 15. června ( sv. 6 , č. 6 ). — S. 275–288 .
  4. ↑ 1 2 Lloyd PJ Americký, německý a britský předchůdce logistické křivky Pearl and Reed  //  ​​Populační studie. - 1967. - září ( roč. 21 , č. 2 ). — S. 99–108 .
  5. ↑ 1 2 Pearl, Raymonde. Biologie populačního růstu . - New York: Alfred A. Knopf, 1925. - xiv + 260 stran.
  6. ↑ Pearl, Raymonde. Biologie populačního růstu  //  Americký Merkur. - 1924. - Listopad ( roč. III , č. 11 ). — S. 293–305 .

Literatura

Viz také