Víceškálová metoda konečných prvků

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. února 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Víceškálová metoda konečných prvků je variací metody konečných prvků, která se od klasické liší speciálním postupem pro konstrukci bázových funkcí.

Rozsah

Víceškálová metoda se používá při řešení problémů, kde je samotná oblast víceúrovňová, to znamená, že může být reprezentována jako určitá velká oblast se stejnými fyzikálními vlastnostmi (kostra) s mnoha malými (relativně) inkluzemi s různými charakteristikami. Téměř každá přírodní struktura je vícerozměrná, například: kus země má uvnitř mnoho různých malých fluktuací, což budou inkluze.

Podstata metody

Podstatou metody je, že je vybrán speciální základ, který bere v úvahu přítomnost inkluzí. Báze je zvolena podle principu Greenovy funkce , tedy rovnice se stejným operátorem, ale se speciální pravou stranou a speciálními okrajovými podmínkami [1] . Variační formulaci lze provádět jak na základě Bubnov-Galyorkinovy metody, tak na základě Petrov-Galyorkinovy metody.
Nechť je například dána rovnice stacionárního tepla s některými okrajovými podmínkami:

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla u)=f(\mathbf {r} ),~in~\Omega$
$u=g,~on~\partial \Omega$

A na výpočetní doméně je postavena mřížka, označme libovolný prvek mřížky a zaveďme na tomto prvku lokální základ, označme jej . Potom lze místní víceškálové základní funkce vypočítat jako: $K$ ${\displaystyle {\Bigl .}\{\phi _{i}^{0}\}{\Bigr |}_{i=1}^{n))$

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla \phi _{i})=0,~in~K$
$\phi _{i}=\phi _{i}^{0},~on~\partial K$

K vyřešení této rovnice lze také použít MKP (případně víceškálový), v souvislosti s tím se prvek nazývá makroprvek a prvky mřížky, na kterých se hledají základní funkce, jsou mikroprvky . Tyto okrajové podmínky pro víceškálovou bázi se nazývají okrajové podmínky prvního řádu . Pro ně platí omezení: zařazení nesmí překročit hranici prvku. Jak již bylo zmíněno, je možné použít formulace Bubnova-Galyorkina a Petrova-Galyorkina, rozdíl je v tom, že projektorový systém funkcí ve druhé metodě není brán jako multiškálový, ale jako výchozí základ. Pro Petrov-Galyorkinovu metodu lze prvky matice tuhosti vypočítat pomocí následujícího vzorce (pro Bubnov-Galyorkinovu metodu jednoduše nahradit ) : $K$
$\phi _{i}^{0}$ $\phi_i$

${\displaystyle G_{ij}={\overline {\lambda ))\int _{K}{\nabla \phi _{i}\cdot \nabla \phi _{i}^{0}dx))$

Zde je průměrná hodnota difúzního koeficientu na makroprvku, průměrování se provádí (pokud se provádí) v souladu s vlastnostmi řešeného problému. Samotný integrál lze vypočítat numericky, včetně rozšíření funkcí o mikroprvky. ${\overline {\lambda ))$

Heterogenní víceškálová metoda

Modifikace víceškálové metody se používá, když se integrály pro lokální matice počítají numericky pomocí kvadraturních vzorců. Myšlenkou metody je hledání plně víceškálové základní funkce ne na celém prvku, ale pouze v blízkosti integračních bodů [1] . To umožňuje urychlit výpočet matic.

Literatura

Efendiev YR , Hou TY Víceškálová metoda konečných prvků. Teorie a aplikace.. - 2009. - Sv. 4. - ISBN 978-0-387-09496-0 .

Poznámky

↑ 1 2 Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Moderní multigrid metody. - NSTU, 2012. - 98 s. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody