Landau-Lifshitzova rovnice (magnetismus)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. prosince 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Landau-Lifshitzova rovnice je rovnice popisující pohyb magnetizace v aproximaci modelu kontinua v pevných látkách . Poprvé představili L. D. Landau a E. M. Lifshitz v roce 1935 .

Formulace

Pro nedisipativní médium a při absenci spinově polarizovaného proudu se Landau-Lifshitzova rovnice obvykle zapisuje jako

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)

kde je hustota magnetického momentu (magnetizace), je nějaká fenomenologická konstanta, je tzv. efektivní magnetické pole. $\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)$ $\gamma$ $\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)$

Rovnice se používá hlavně pro fero- a ferrimagnety . V obecném případě se konstanta neshoduje s gyromagnetickým poměrem a v rámci fenomenologické teorie by měla být považována za veličinu stanovenou z experimentu. Jejich rozdíl je způsoben přispěním orbitálních momentů . Za předpokladu, že magnetické ionty jsou v -stavu (tj. neexistují žádné orbitální momenty), lze jej s vysokou přesností považovat za rovný gyromagnetickému poměru [1] . To se provádí pro CdCr 2 Se 4 , yttrium-železný granát Y 3 Fe 5 O 12 , permalloy Fe 20+x Ni 80-x a většinu dalších fero- a ferimagnetických materiálů. $\gamma$ $S$ $\gamma$

Efektivní magnetické pole je definováno jako variační derivace volné energie s ohledem na magnetický moment [2]

\mathbf H^{\mathrm{eff))(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)

V případě, že je magnet uvažován daleko od Curieovy teploty nebo při nulové teplotě, pak se volná energie rovná vnitřní energii . $F$ $E$

Ve formulaci (1) je zachována délka vektoru magnetizace. To lze snadno ukázat vynásobením obou stran (1) skalárně číslem , což dává $\mathbf {M}$

\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)

Tato skutečnost dává důvod mluvit o precesi magnetizace.

Důsledné odvození pohybové rovnice magnetizace v aproximaci kontinua je nemožné [3] , proto se často předpokládá možnost formálního přechodu z pohybové rovnice spinového operátoru . ${\mathbf S}_{n}$

i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)

k rovnici (1) nahrazením a rozšířením magnetizačního pole blízko bodu v Taylorově řadě [4] . Zde je komutátor , je hamiltonián , je spinový operátor pro n-té místo mřížky a je jeho poloměrový vektor, je mřížková konstanta , je Bohrův magneton . $\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)$ $\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})$ $\mathbf r_n$ $[\bullet,\bullet]$ $\mathcal H$ ${\mathbf S}_{n}$ $\mathbf r_n$ $A$ $\mu _{B}$

Úpravy

Účtování ztrát, vlivu teploty nebo spinově polarizovaných proudů vyžaduje úpravu původní rovnice (1), která se obvykle redukuje na výskyt dalších členů na pravé straně (1). Relaxační termíny mohou mít různé rozměry a různý počet parametrů. Ale pro přibližný popis dějů ve feromagnetikách s malým rozptylem lze použít rovnici v libovolné z následujících forem [5] . Každý z nich lze převést jeden na druhý.

Relaxační termín ve formě Landau-Lifshitz

Landau a Lifshitz navrhli [6] následující úpravu:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)

kde je parametr rozptylu. Někdy je tato hodnota brána jako parametr rozptylu . $\lambda$ $\lambda_1=|\gamma|\lambda$

Landau-Lifshitz-Hilbertova rovnice

Hilbertův relaxační termín se často používá:

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t} \right],\qquad (6)

kde je parametr rozptylu. Formální přechod mezi rovnicemi (5) a (6) lze provést nahrazením $\alpha$

\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)

V souvislosti se zápornou hodnotou gyromagnetického poměru jsou v (5) a (6) definice relaxačních parametrů s opačným znaménkem [7] .

Bloch-Blomergenova rovnice

Příkladem rovnice s disipací, která umožňuje změnu délky magnetizačního vektoru, je modifikovaná Blochova rovnice nebo Bloch- Blomergenova rovnice :

\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff))] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff)))\qquad (8)

kde je tzv. statická susceptibilita, definovaná jako poměr saturační magnetizace k absolutní hodnotě efektivního pole, a je relaxační frekvence. $\chi_0$ $\omega_r$

Vliv spinově polarizovaného proudu

Spinově polarizovaný proud je obvykle popsán doplňkovým výrazem na pravé straně (1) formuláře . Jedním z přístupů k jeho specifikaci [8] je roztažení vektoru podél os směřujících podél , a . Zde je jednotkový vektor podél magnetizace referenční vrstvy. Za předpokladu, že se délka vektoru magnetizace nezmění, bude první projekce rovna nule a další dvě $|\gamma|\mathbf T$ $|\gamma|\mathbf T$ $\mathbf {M}$ $[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]$ $\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))]$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref))],\quad \mathbf T_{ \perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)

kde koeficienty a jsou úměrné hustotě proudu v závislosti na parametrech polarizační struktury a úhlu mezi a . $aj$ $b_J$ $\mathbf {M}$ $\mathbf m_{\mathrm{ref}}$

Jiné formy psaní

Pro analytickou analýzu se Landau-Lifshitzova rovnice nejčastěji zapisuje do úhlových proměnných sférického souřadnicového systému a . V tomto případě může být vektor magnetizace reprezentován jako $\theta$ $\phi$

M_{x}+iM_{y}=M_{s}\sin \theta e^{i\phi },\quad M_{z}=M_{s}\cos \theta ,

kde je saturační magnetizace. Abychom přešli (6) na úhlové proměnné, vynásobíme rovnici variací magnetizace , čímž v úhlových proměnných vyjádříme projekci levé strany na osu aplikace. Dále získáme zapsání změn energie a magnetizace z hlediska změn úhlu $Slečna$ $\delta \mathbf M$

\sin\theta \frac{\částečný \theta}{\částečný t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad \sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)

Získání rovnic v úhlových proměnných obsahujících další členy se provádí podobným způsobem. Takže pro psaní ve formě Landau-Lifshitz-Hilbert máme

\sin\theta \frac{\částečný \theta}{\částečný t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2 \theta \frac{\částečný \phi}{\částečný t},\quad \sin\theta \frac{\částečný \phi}{\částečný t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{ \delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\částečné \theta}{\částečné t}.\qquad (11)

Viz také

Poznámky

↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetické oscilace a vlny. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 s., - ISBN 5-02-014366-9 na s. 17.
↑ Skrotsky, G. V. Ještě jednou o Landau-Lifshitzově rovnici. UFN Archivováno 30. dubna 2011 na Wayback Machine
↑ Podrobněji se touto problematikou zabývali např. Akhiezer A.I., Baryakhtar V.G. Peletminsky S.V. Spin waves., M.: Nauka, 1967, - 368 s. na str. 44 a Herring C., Kittel C, K teorii spinových vln ve feromagnetických prostředích. — Phys. Rev., 1951, 81 č. 5, s. 869-880.
↑ V tomto případě se obvykle omezují na členy druhého řádu malosti, protože v případě, kdy je každý uzel mřížky jejím středem symetrie, člen obsahující první derivaci vzhledem k souřadnici zaniká.
↑ Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnetické oscilace a vlny. M .: Fizmatlit, 1994. - 464 s., - ISBN 5-02-014366-9 na str. 27.
↑ Landau L. D., Lifshits E. M. K teorii disperze magnetické permeability feromagnetických těles // Landau L. D. Souborné práce ve 2 svazcích Ed. E. M. Lifshitz. M.: Nauka, 1969. T. 1. S. 128
↑ Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Magnetické domény: analýza magnetických mikrostruktur . - Springer, 1998. - S. 557. - ISBN 3540641084 . Archivováno 20. srpna 2021 na Wayback Machine na straně 151.
↑ Zvezdin A.K., et al. Zobecněná Landau-Lifshitzova rovnice a procesy přenosu spinové hybnosti v magnetických nanostrukturách . [UFN, 178, str. 436–442 (2008) [1] Archivováno 13. dubna 2010 na Wayback Machine

Literatura

Akhiezer, A. I., Baryakhtar, V. G. Peletminsky, S. V. Spin waves., M.: Nauka, 1967, - 368 s.
Gurevich, A. G., Melkov, G. A. Magnetické oscilace a vlny. M.: Fizmatlit, 1994. - 464 s., ISBN 5-02-014366-9 .
Zavislyak, I. V., Tychinsky, A. V., Fyzikální základy funkční mikroelektroniky. K .: UMK VO, 1989, - 105. s.
Zvezdin, A. K., Zvezdin, K. A., Khvalkovskiy, A. V. Zobecněná Landau-Lifshitzova rovnice a procesy přenosu spinové hybnosti v magnetických nanostrukturách. UFN, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
Landau, L. D., Lifshitz, E. M. K teorii disperze magnetické permeability feromagnetických těles. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, s. 153-169.
Skrotsky, G. V. Ještě jednou o Landau-Lifshitzově rovnici. UFN
Gilbert, T. Fenomenologická teorie tlumení ve feromagnetických materiálech. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
Hubert, Alex; Rudolf Schafer. Magnetické domény: analýza magnetických mikrostruktur . - Springer, 1998. - S. 557. - ISBN 3540641084 .

Odkazy

OOMMF - Object-Oriented Micromagnetic Framework je bezplatný softwarový balík pro mikromagnetické modelování napsaný v C++ a Tcl / Tk .
feromagnetické domény

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata