Fokker-Planckova rovnice

Fokker-Planckova rovnice je jednou z parciálních diferenciálních rovnic, která popisuje časový vývoj funkce hustoty pravděpodobnosti souřadnic a hybnosti částic v procesech, kde je důležitá stochastická povaha jevu . Pojmenována po holandských a německých fyzikech Adrianu Fokkerovi a Maxi Planckovi , známá také jako Kolmogorovova přímá rovnice . Lze zobecnit na další měřitelné parametry: velikost (v teorii koalescence ), hmotnost atd.

Definice

Poprvé byla rovnice použita ke statistickému popisu Brownova pohybu částic ve vodě. Ačkoli Brownův pohyb je popsán Langevinovými rovnicemi , které lze řešit numericky metodami Monte Carlo nebo molekulární dynamikou , problém v této formulaci je často obtížně řešitelný analyticky. A místo složitých numerických schémat lze zavést funkci hustoty pravděpodobnosti , která popisuje pravděpodobnost, že částice má rychlost v intervalu , pokud v čase 0 měla počáteční rychlost , a zapsat ji pro Fokker-Planckovu rovnici. . $W({\mathbf {v)),\;t)$ $({\mathbf {v)),\;{\mathbf {v}}+d{\mathbf {v}})$ ${\mathbf {v}}_{0}$ $W({\mathbf {v)),\;t)$

Obecný tvar Fokker-Planckovy rovnice pro proměnné: $N$

{\frac {\partial W}{\partial t}}=\left[-\sum _{{i=1}}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}D_ {i}^{1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})+\součet _{{i=1}}^{N}\součet _{{j=1}} ^{N}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x_{i}\částečné x_{j}}}D_{{ij}}^{2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{N})\right]W,

kde je vektor driftu a je tenzor difúze a difúze je způsobena působením sil stochastické povahy. $D^{1}$ $D^{2}$

Spojení se stochastickými diferenciálními rovnicemi

K výpočtu hustoty pravděpodobnosti ve stochastických diferenciálních rovnicích lze použít Fokker-Planckovu rovnici . Uvažujme následující stochastickou diferenciální rovnici

d{\mathbf {X}}_{t}={\boldsymbol {\mu }}({\mathbf {X}}_{t},\;t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}( {\mathbf {X}}_{t},\;t)\,d{\mathbf {B}}_{t},

kde je stavová funkce systému a je standardní - rozměrný Brownův pohyb . Pokud je počáteční rozdělení uvedeno jako , pak hustota pravděpodobnosti stavu systému je řešením Fokker-Planckovy rovnice s následujícími výrazy pro drift a difúzi : ${\mathbf {X}}_{t}\in \mathbb{R} ^{N}$ ${\mathbf {B}}_{t}\in \mathbb{R} ^{M}$ $N$ ${\mathbf {X}}_{0}\sim W({\mathbf {x}}),\;0)$ $W({\mathbf {x)),\;t)$ ${\mathbf {X}}_{t}$

D_{i}^{1}({\mathbf {x)),\;t)=\mu _{i}({\mathbf {x)),\;t),

D_{{ij}}^{2}({\mathbf {x}},\;t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\sigma _{{ik}}({ \mathbf {x}},\;t)\sigma _{{jk}}({\mathbf {x}}),\;t).

Příklad

Standardní skalární Brownova pohybová rovnice je generována následující stochastickou diferenciální rovnicí:

{\mathrm {d}}X_{t}={\mathrm {d}}B_{t}.\

Zde je rychlost driftu nula a koeficient difúze je 1/2, takže odpovídající Fokker-Planckova rovnice vypadá takto:

{\frac {\částečné W(x,\;t)}{\částečné t))={\frac {1}{2)){\frac {\částečné ^{2}W(x,\;t) }{\částečné x^{2}}},

je to nejjednodušší forma rovnice jednorozměrné difúze ( přestupu tepla ).

Fokker-Planck rovnice v jednorozměrném případě

V jednorozměrném případě má FPP podobu:

{\frac {\částečné f}{\částečné t))=-{\frac {\částečné }{\částečné x))(A(x,\;t)f(x,\;t)) +{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {B(x,\;t)}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x ,\;t)\right).

FFP platí pro podmíněnou hustotu pravděpodobnosti:

f(x,\;t)=p(x,\;t|x_{0},\;t_{0}),

(to znamená, že hodnota funkce pravděpodobně spadá do roviny tvořené prostorovou osou a časovou osou , v intervalech a příslušně) pro jakoukoli počáteční hodnotu a a počáteční podmínku , kde je Diracova funkce.

f(x,\;t)

X\

t\

x-x_{0}\

t-t_{0}\

x_{0}\

t_{0}\

p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})

\delta (x-x_{0})\

Tato podmínka říká, že zároveň funkce prochází skokem. Pokud jsou prostorové souřadnice stejné, má funkce tendenci k nekonečnu. Z důvodu omezenosti funkce je proto nutné použít definici jednorázové hustoty pravděpodobnosti . Pak platí FPP pro pravděpodobnost s počáteční podmínkou , která je méně singulární než . Stochastický proces popsaný podmíněnou pravděpodobností, který splňuje FPP, je ekvivalentní Ito SDE $t_{0}\$ $p(x,\;t)=\int p(x,\;t;\;x_{0},\;t_{0})\,dx_{0}=\int p(x,\;t| x_{0},\;t_{0})p(x_{0},t_{0})\,dx_{0}.$ $p(x,\;t)$ $p(x,\;t)|_{{t=t_{0}}}=p(x,\;t_{0})$ $p(x,\;t_{0}|x_{0},\;t_{0})=\delta (x-x_{0})$

dx(t)=A(x(t),\;t)\,dt+{\sqrt {B(x(t),\;t)}}\,dW(t)

a že tyto dva popisy je třeba vnímat jako vzájemně se doplňující.

Závěr

První konzistentní odvození Fokker-Planckovy rovnice na základě přesné mikroskopické dynamiky pro klasické a kvantové systémy provedli [1] N. N. Bogolyubov a N. M. Krylov [2] (přetištěno v [3] ).

Viz také

Poznámky

↑ Bogolyubov N. N. (Jr.) , Sankovich D. P. (1993). Nikolaj Nikolajevič Bogoljubov. Nástin vědecké činnosti Archivní kopie ze 4. března 2016 na Wayback Machine // Fyzika elementárních částic a atomového jádra 24 (5): 1224-1293.
↑ Bogolyubov N. N. , Krylov N. M. (1939). K Fokker-Planckovým rovnicím, které jsou v poruchové teorii odvozeny metodou založenou na spektrálních vlastnostech narušeného Hamiltoniánu // Poznámky oddělení matematické fyziky Ústavu nelineární mechaniky Akademie věd Ukrajinské SSR. 4 : 5-80 (Ukrajinština) .
↑ Bogolyubov N. N. Sborník vědeckých prací ve 12 svazcích. - Svazek 5: Nerovnovážná statistická mechanika, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. — ISBN 5-02-034142-8 .

Literatura

Risken H. The Fokker - Planckova rovnice: Metody řešení a aplikace. — 2. vyd. - Springer, 1984. - 452 s. — ISBN 3-540-61530-X .
Lifshits E. M., Pitaevsky L. P. Fyzikální kinetika. — M .: Nauka , 1979 . — 528 s. — („Teoretická fyzika“, svazek X). — 50 000 výtisků.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velký Rus

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata