Langevinova rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. října 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Langevinova rovnice je stochastická diferenciální rovnice , která popisuje Brownův pohyb .

První rovnice studovaná Langevinem popsala Brownův pohyb při konstantním potenciálu, to znamená, že zrychlení Brownovy částice o hmotnosti je vyjádřeno jako součet viskózní třecí síly, která je úměrná rychlosti částice ( Stokesův zákon ) . , termín šum (název, který se ve fyzice používá k označení stochastického procesu v diferenciální rovnici ) – v důsledku nepřetržitých srážek částice s molekulami kapaliny a – systematické síly vznikající z intramolekulárních a mezimolekulárních interakcí: $\mathbf {a}$ $m$ ${\mathbf v}$ ${\boldsymbol \eta } (t)$ ${\mathbf \Phi } ({\mathbf x})$

m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t ).

Řešení rovnice

Přepišme Langevinovu rovnici bez vnějších sil. Navíc bez ztráty obecnosti lze uvažovat pouze jednu ze souřadnic.

m{\ddot x}=-{\frac {1}{B}}{\dot x}+F(t)

Budeme předpokládat, že náhodná síla splňuje následující podmínky:

\langle F(t)\rangle =0

\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})

kde b je nějaká konstanta, kterou budeme definovat později, je Diracova delta funkce . Úhlové závorky označují časové průměrování . Jedná se o tzv. delta-korelovaná náhodná veličina: její autokorelační funkce je rovna delta funkci. Takový náhodný proces se také nazývá bílý šum . $\delta (t_{1}-t_{2})$

Přepišme rovnici z hlediska rychlosti:

{\dot v}=-\lambda v+{\frac Fm}

, kde

\lambda ={\frac {1}{mB}}

Nechť v počátečním okamžiku částice měla rychlost . Budeme hledat řešení ve tvaru: , pak pro dostaneme následující diferenciální rovnici: $t=t_{0}$ $v_{0}$ $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$ $u(t)$

{\dot u}(t)=\exp(\lambda t){\frac Fm}

V důsledku toho získáme požadovaný výraz pro rychlost:

v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m }}\exp(\lambda \tau )d\tau

Z toho plynou dva důležité vztahy:

$\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$ . To znamená, že průměrná hodnota rychlosti má v průběhu času tendenci k nule.
$\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left (1-\exp(-2\lambda t)\vpravo)$ . Průměrná druhá mocnina rychlosti má tendenci k hodnotě v průběhu času . Pokud předpokládáme, že kinetická energie částice má v průběhu času tendenci k energii tepelné, můžeme určit hodnotu koeficientu : ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$ $b$

b=2{\frac {k_{B}T}{B}}

Transformací původního výrazu můžete získat následující:

{\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt))={\frac {2}{\lambda ))\left\langle \left({\ frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle

\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt

Odkud pochází Einsteinův vztah :

D=k_{B}TB

kde B je pohyblivost Brownovy částice .

Odkazy

WT Coffee, Yu. P. Kalmykov, JT Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (druhé vydání), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (První vydání je Vol 10)
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill New York, 1965. Viz část 15.5 Langevinova rovnice