Směrová derivace

V matematické analýze je směrová derivace jedním ze zobecnění konceptu derivace na případ funkce několika proměnných. Směrová derivace ukazuje, jak rychle se mění hodnota funkce při pohybu daným směrem.

Schůzka

Derivace funkce jedné proměnné ukazuje, jak se její hodnota mění s malou změnou v argumentu . Pokusíme-li se analogicky definovat derivaci funkce mnoha proměnných, narazíme na problém: v tomto případě může změna argumentu (tedy bodu v prostoru) nastat v různých směrech a v tomto případě , získají se různé hodnoty derivátu. Právě tato úvaha vede k definici směrové derivace | [1] .

Definice

Zvažte diferencovatelnou funkci argumentů v okolí bodu . Pro libovolný jednotkový vektor definujeme derivaci funkce v bodě podél směru takto [1] : $f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $n$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\;\ldots ,\;x_{n}^{0})$ ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ $F$ ${\vec {x}}{\,}^{0}$ $\vec{e}$

\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({ \vec {x}}{\,}^{0}+h\cdot {\vec {e}})-f({\vec {x}}{\,}^{0})}{h}}

Hodnota tohoto výrazu ukazuje, jak rychle se změní hodnota funkce, když se argument posune ve směru vektoru . $\vec{e}$

Pokud je směr kosměrný se souřadnicovou osou, pak se derivace vzhledem ke směru shoduje s parciální derivací vzhledem k této souřadnici.

Ve zdrojích jsou různé zápisy pro směrovou derivaci : ${\vec {e))$

$\nabla _{\mathbf {e} }{f}({\vec {x}}{\,}^{0})$
${\displaystyle {\frac {\partial {f({\vec {x)){\,}^{0))))){\partial {\mathbf {e} ))))$
$\partial _{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$ nebo $D_{\mathbf {e} }f({\vec {x}}{\,}^{0})$

Směrová derivace má stejné vlastnosti jako obyčejná derivace funkce jednoho argumentu:

$\nabla _{\mathbf {e} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {e} }f+\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {e} }f$
$\nabla _{\mathbf {e} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {e} }f+f\nabla _{\mathbf {e} }g$
$\nabla _{\mathbf {e} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {e} }g (\mathbf {p} )$

Vyjádření směrové derivace pomocí parciálních derivací

Nechť směrový vektor má souřadnice . Poté se odehraje vzorec: $E$ $(e_{1},e_{2}\tečky e_{n})$

\nabla _{\mathbf {e} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x_{1))}e_{1}+\tečky +{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}}e_{n}

V jazyce vektorové analýzy lze tento vzorec napsat jinak. Směrovou derivaci funkce diferencovatelné vzhledem k množině proměnných lze považovat za průmět gradientu funkce do tohoto směru, nebo jinými slovy za skalární součin gradientu jednotkovým vektorem směru | [2] :

\nabla _{\mathbf {e} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f\cdot {\vec {e))

Z toho vyplývá, že v daném bodě nabývá směrová derivace maximální hodnoty, když se její směr shoduje se směrem gradientu funkce v daném bodě.

Normální derivace

Normální derivace je derivace vzhledem ke směru normály nějaké plochy . Pojem normální derivace je důležitý zejména při řešení okrajových úloh [3] (viz příklad v článku Neumannův problém ). Označíme-li normálu , pak normální derivace funkce f je dána vzorcem: $\mathbf {n}$ ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} ))$

\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {n} }}= {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n}

Pro funkci zadanou v rovině je normálová derivace definována jako derivace vzhledem ke směru normály nějaké křivky ležící ve stejné rovině [3] .

Variace a zobecnění

Dosud jsme uvažovali funkce v euklidovském prostoru , ale směrovou derivaci lze definovat v libovolné hladké varietě . Nechť je vybraný bod variety, je hladká křivka procházející bodem P ( ), je tečný vektor pro křivku v bodě P. Pak můžeme definovat kovariantní derivaci vzhledem k vektoru : ${\mathbf {P}}$ $\gamma$ $\gamma (t_{0})=P$ $proti$ $\gamma$ $proti$

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {P} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t= t_{0}}.

Lze ukázat, že tato definice závisí pouze na vektoru , to znamená, že pro všechny křivky se společným tečným vektorem bude hodnota kovariantní derivace stejná. $proti$

Dalším zobecněním je Gateauxův derivát .

Viz také

Totální derivace funkce

Poznámky

↑ 1 2 Fikhtengolts, 1966 , s. 391-393.
↑ Fikhtengolts, 1966 , s. 393-394.
↑ 1 2 Normální derivace // Matematický encyklopedický slovník . - M . : Sovětská encyklopedie, 1988. - S. 416 . — 847 s.

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - Ed. 6. - M .: Nauka, 1966. - T. I. - S. 391-394.

Odkazy

Směrová derivace s příklady na YouTube
" Volný let na derivátech " - překlad článku Počet: Budování intuice pro derivát | Lepší vysvětlení _

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata