Laplaceův vektorový operátor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. října 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Vektorový Laplaceův operátor (nebo vektorový Laplacián ) je vektorový diferenciální operátor druhého řádu definovaný přes vektorové pole a označený symbolem [1] , podobně jako skalární Laplaceův operátor . Vektorový Laplaceův operátor působí na vektorové pole a má vektorovou hodnotu, zatímco skalární Laplacián působí na skalární pole a má skalární hodnotu. Při výpočtu v kartézských souřadnicích je výsledné vektorové pole ekvivalentní vektorovému poli skalárního Laplacianu působícího na jednotlivé složky původního vektoru. $\Delta$

Protože vektor a skalární Laplacián jsou označeny stejným symbolem, velkým řeckým písmenem delta , ale jedná se o různé matematické entity, je pro účely tohoto článku vektorový Laplacián označen černě a skalární Laplacián modře.

$\Delta ={\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné y^{2}}}+ {\frac {\částečné ^{2}}{\částečné z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\color {modrá}\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\color {modrá}\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{ \color {modrá}\Delta }A_{z}\mathbf {k}$ [2]

$\Delta \mathbf {A} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}A_{x}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{x}}{\částečné z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\částečné ^{2}A_{y)){\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}A_{y)) {\částečné y^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}A_{y)){\částečné z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné y^{2 ))}+{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Definice

Vektorový Laplaceův operátor vektorového pole je definován takto: $\mathbf {A}$

Prostřednictvím operátora nabla :

\Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )

[3] .

Prostřednictvím gradientu , divergence a zvlnění :

\Delta \mathbf {A} =\mathrm {grad} (\mathrm {div} \mathbf {A} )-\mathrm {rot} (\mathrm {rot} \mathbf {A} )

V kartézských souřadnicích může být vektorový Laplacián vektorového pole reprezentován jako vektor, jehož složky jsou skalární Laplaciány složek vektorového pole : $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$

\Delta \mathbf {A} =\left\({\color {modrá}\Delta }A_{x},{\barva {modrá}\Delta }A_{y},{\barva {modrá}\ Delta }A_{z}\right\}

[1] ,

kde ,, jsou složky vektorového pole . $A_{x}$ $A_{y}$ $A_{z}$ $\mathbf {A}$

Výrazy pro vektorový Laplaceův operátor v jiných souřadnicových systémech lze nalézt v článku " Operátor Nabla v různých souřadnicových systémech ".

Generalizace

Laplacián jakéhokoli tenzorového pole (skaláry a vektory jsou speciální případy tenzorů) je definován jako divergence gradientu tenzoru : $\mathbf {T}$

\Delta \mathbf {T} =\nabla \cdot (\nabla \mathbf {T} )

Je-li skalární ( tenzor nulového řádu), Laplaceův operátor má svou obvyklou formu. $\mathbf {T}$

Jestliže je vektor (tenzor prvního řádu), pak jeho gradient je kovariantní derivací , což je tenzor druhého řádu, a jeho divergence je opět vektor. Vzorec pro vektorový Laplacián může být reprezentován jako divergence výrazu pro vektorový gradient: $\mathbf {T}$

\nabla \mathbf {T} =\left\{\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z}\right\}={\begin{bmatrix}T_{xx} &T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}}

kde (obecný pohled na komponenty tenzoru) a může nabývat hodnot ze sady . $T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{v)){\partial u))$ $u$ $proti$ ${\displaystyle \{x,y,z\))$

Podobně skalární součin vektoru a gradient jiného vektoru (tenzoru druhého řádu), jehož hodnotou je vektor, lze považovat za součin matic:

\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} = {\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{ bmatrix}}

Tento výraz závisí na souřadnicovém systému.

Použití ve fyzice

Příkladem použití Laplaceova vektorového operátoru jsou Navier-Stokesovy rovnice pro viskózní nestlačitelnou tekutinu [4] :

\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \ mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)

kde termín s Laplaceovým vektorovým operátorem pole rychlosti je viskozita tekutiny . $\mu \left(\Delta \mathbf {v} \right)$

Rovnice rovinných elektromagnetických vln:

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [5]

$\Delta \mathbf {H} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2))$

Literatura

Khmelnik S.I. Navier-Stokesovy rovnice, existence a metoda hledání globálního řešení. - Izrael: MiC, 2010. - 106 s. - ISBN 978-0-557-48083-8 .
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Matematický slovník vysokoškolského vzdělávání". Nakladatelství MPI 1984.
I.V. Saveljev "Kurz obecné fyziky" svazek II

Poznámky

↑ 1 2 Khmilnik, 2010 , Příloha 1.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Matematický slovník vyšší školy“. Nakladatelství MPI 1984. Článek "Laplaceův operátor" a "Vektorový polní rotor".
↑ Weisstein, Eric W. Vector Laplacian na webu Wolfram MathWorld .
↑ Khmilnik, 2010 , kapitola 2.
↑ I.V. Saveljev "Kurz obecné fyziky" Svazek II odstavec "Vlnová rovnice" str. 398

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata