Operátor D'Alembert

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. ledna 2020; kontroly vyžadují 4 úpravy .

D'Alembertův operátor ( d'Alembertův operátor, vlnový operátor, d'Alembertian ) je diferenciální operátor druhého řádu

\square u:=\Delta u-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},

kde je Laplaceův operátor , je konstanta. Někdy se operátor píše s opačným znaménkem. $\Delta$ $C$

Má tvar v kartézských souřadnicích :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+{\frac { \částečné ^{2}u}{\částečné z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné t^ {2}}},

umožňující přímé zobecnění na jakoukoli dimenzi konečného prostoru , a to jak větší, tak menší než tři (takové zobecnění se také nazývá d'Alembertův operátor, s přidáním, pokud to není jasné z kontextu, " -rozměrný"). $n$

V případě vektoru má d'Alembertův operátor tvar:

${\displaystyle \square \mathbf {A} :=\Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\částečné t^{2))))$ [1] , kdeje vektor, $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\square \mathbf {A} :=\Delta A_{x}\mathbf {i} +\Delta A_{y}\mathbf {j} +\Delta A_{z}\mathbf {k} -{\ frac {1}{c^{2}}}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} )$

$\square \mathbf {A} :={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^ {2}A_{x}}{\částečné y^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{x}}{\částečné z^{2}}}{\Biggr )}\ mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\částečné ^{2}A_{y}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{y} }{\částečné y^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}A_{y)){\částečné z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\ biggl (}{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné y^{ 2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} -{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné t^{2}}}(A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z }\mathbf {k} )$

Pojmenován po J. D'Alembertovi (1747), který při řešení jednorozměrné vlnové rovnice uvažoval o jeho nejjednodušší formě .

Používá se v elektrodynamice , akustice a dalších problémech šíření vln (hlavně lineárních). D'Alembertův operátor (odpovídající dimenze) je zahrnut ve vlnové rovnici jakékoli dimenze, tvořící její základ, stejně jako v rovnici Klein-Gordon-Fock .

Je snadné vidět, že d'Alembertův operátor je zobecněním Laplaceova operátoru na případ Minkowského prostoru .

Zápis v křivočarých souřadnicích

D'Alembertův operátor ve sférických souřadnicích :

{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\ vpravo)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\částečný }{\částečný \Theta }}\levý(\sin \Theta {\frac {\částečný u} {\částečná \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\částečná ^{2}u}{\částečná \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};

ve válcových souřadnicích :

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right )+{\frac {1}{\rho ^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2))}+{\frac {\partial ^{2 }u}{\částečné z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné t^{2))} ;

v obecných křivočarých souřadnicích (pro časoprostor):

\square u\equiv {\frac {1}({\sqrt {-g)))){\frac {\partial }{\partial x^{\nu ))}\left({\sqrt {-g} }\,g^{{\mu \nu }}{\frac {\částečné u}{\částečné x^{\mu }}}\right),

kde je determinant matice složený z koeficientů metrického tenzoru . $G$ $\|g_{{\mu \nu ))\|$ $g_{\mu \nu }$

Poznámky

↑ I.V. Saveljev "Kurz obecné fyziky" Svazek II odstavec "Vlnová rovnice" str. 398

Literatura

V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Matematický slovník vysokoškolského vzdělávání". Nakladatelství MPI 1984.
I.V. Saveljev "Kurz obecné fyziky" svazek II

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata