Lineární nezávislost

V lineární algebře je lineární závislost vlastností, kterou může mít podmnožina lineárního prostoru . Při lineární závislosti existuje netriviální lineární kombinace prvků této množiny, rovna nulovému prvku . V nepřítomnosti takové kombinace, to je, když koeficienty jediné takové lineární kombinace jsou nulové, soubor je řekl, aby byl lineárně nezávislý .

Příklad

Vektory , a jsou lineárně nezávislé, protože rovnice $\mathbb {R} ^{3}$ $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

a_{1}\cdot (1,0,0)+a_{2}\cdot (0,1,0)+a_{3}\cdot (0,0,1)=(0,0,0)\ čtyřkolka a_{i}\in {\mathbb {R}}

má jediné, triviální, řešení.

Vektory a jsou lineárně závislé, protože $(1,0,0)$ $(5,0,0)$

(1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),

a proto,

-5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).

Definice

Nechť je nad polem lineární prostor a . se nazývá lineárně nezávislá množina, pokud je některá z jejích konečných podmnožin lineárně nezávislá. $PROTI$ $K$ $M\subseteq V$ $M$

Konečná množina se nazývá lineárně nezávislá, pokud jediná lineární kombinace rovna nule je triviální, to znamená, že všechny její koeficienty jsou rovny nule: $M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}= \ldots=a_{n}=0.

Pokud existuje taková lineární kombinace s alespoň jedním , nazývá se lineárně závislá. Všimněte si, že první rovnost implikuje , zatímco druhá implikuje . $a_{i}\neq 0$ $M'$ $0\v V$ $0\v K$

Vlastnosti

$0\in M\Rightarrow M$ lineárně závislé.
$M$ lineárně nezávisle lineárně nezávisle pro všechny . $\Šipka doprava$ $M'$ $M'\subseteq M$
$M$ lineárně závislé lineárně závislé pro všechny . $\Šipka doprava$ $M'$ $M'\supseteq M$

Aplikace

Lineární soustavy rovnic

Lineární soustava rovnic, kde je počet proměnných, má jedinečné řešení právě tehdy, když jsou sloupce její hlavní matice lineárně nezávislé. $n$ $n$

Hodnost matice

Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců.

geometrický smysl

Vektory a jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou kolineární (leží na rovnoběžných čarách ). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou koplanární (leží ve stejné rovině ). ${\vec {a)],\;{\vec {b)],\;{\vec {c}}$

Základ

Základem lineárního prostoru je maximální množina lineárně nezávislých vektorů (maximalita je chápána v tom smyslu, že když se k této množině přidá jakýkoli vektor tohoto prostoru, nová množina již nebude lineárně nezávislá).

Viz také

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný