Frenetův trojstěn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. března 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Frenetův nebo Frenet- Serretův rám nebo trihedron , také známý jako přirozený , doprovodný , doprovodný ,  je ortonormální rámec v trojrozměrném prostoru, který vzniká při studiu biregulárních křivek, to znamená, že první a druhá derivace jsou lineárně nezávislé na jakýkoli bod.

Definice

Dovolit být  libovolná přirozeně parametrizovaná biregulární křivka v euklidovském prostoru . Frenetův rámec je chápán jako trojice vektorů , , , spojených s každým bodem biregulární křivky , kde

Vlastnosti

tzv. Frenetovy vzorce . Množství se nazývají zakřivení a kroucení křivky v daném bodě.

Rychlost a zrychlení v osách přirozeného trojstěnu

Frenetův trojstěn hraje důležitou roli v kinematice bodu při popisu jeho pohybu v „doprovodných osách“. Nechte hmotný bod pohybovat se po libovolné biregulární křivce. Pak je zřejmé, že rychlost bodu směřuje podél tečného vektoru . Při diferenciaci s ohledem na čas najdeme výraz pro zrychlení: . Složka ve vektoru se nazývá tangenciální zrychlení , charakterizuje změnu rychlostního modulu bodu. Složka ve vektoru se nazývá normální zrychlení . Ukazuje, jak se mění směr pohybu bodu.

Variace a zobecnění

Při popisu rovinných křivek se často zavádí pojem tzv. orientované zakřivení.

Nechť  je libovolná přirozeně parametrizovaná rovinná pravidelná křivka. Uvažujme rodinu jednotkových normál tak, že dvě tvoří správný základ v každém bodě . Orientované zakřivení křivky v bodě se nazývá číslo . Za těchto předpokladů se odehrává následující soustava rovnic, nazývaná Frenetovy vzorce pro orientované zakřivení

.

Analogicky s trojrozměrným případem se rovnice tvaru nazývají přirozené rovnice rovinné pravidelné křivky a zcela ji určují.

Viz také

Literatura