Vieta vzorce

Vieta vzorce jsou vzorce, které dávají do souvislosti koeficienty polynomu a jeho kořeny .

Tyto vzorce je vhodné použít pro kontrolu správnosti nalezení kořenů polynomu, stejně jako pro sestavení polynomu z daných kořenů.

Tyto identity jsou implicitně obsaženy v díle Françoise Viety . Viet však považoval pouze pozitivní skutečné kořeny, a tak neměl možnost tyto vzorce napsat v obecné podobě. [1] :138-139

Formulace

Jestliže jsou kořeny polynomu $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n))

(každý kořen je vzat odpovídající jeho násobnosti, kolikrát), pak jsou koeficienty vyjádřeny jako symetrické polynomy od kořenů [2] , konkrétně: $a_{1},\ldots ,a_{n}$

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{ 2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_ {3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{ n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_ {1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(- 1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Jinými slovy, rovná se součtu všech možných produktů z kořenů. ${\displaystyle (-1)^{k}a_{k))$ $k$

Důsledek : z posledního Vietova vzorce vyplývá, že pokud jsou kořeny polynomu celé číslo, pak jsou děliteli jeho volného členu, který je také celý.

Pokud vedoucí koeficient polynomu není roven jedné:

a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},

poté, abyste použili vzorec Vieta, musíte nejprve vydělit všechny koeficienty (toto neovlivňuje hodnoty kořenů polynomu). V tomto případě vzorce Vieta dávají výraz pro poměry všech koeficientů k nejvyššímu: $a_{0}$

{\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{ k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\tečky c_{i_{k}},\quad k=1,2,\tečky ,n.

Důkaz

Důkaz se provádí tak, že se vezme v úvahu rovnost získaná rozšířením polynomu pomocí kořenů, přičemž se vezme v úvahu, že $a_{0}=1$

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})( x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).

Zrovnoprávněním koeficientů se stejnými mocninami ( teorém jednoznačnosti ) získáme Vietovy vzorce. $X$

Příklady

Kvadratická rovnice

Jestliže a jsou kořeny kvadratické rovnice , pak $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a)),\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a }}.\end{cases}}

V konkrétním případě, if (redukovaný tvar ), pak $a=1$ $x^{2}+px+q=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases))

Kubická rovnice

Pokud jsou kořeny kubické rovnice , pak $x_{1},x_{2},x_{3}$ $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3 }+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}\end{ případy}}

Variace a zobecnění

Z výše uvedeného důkazu je vidět, že Vieta vzorce jsou získány čistě algebraicky z vlastností sčítání a násobení. Proto jsou použitelné pro polynomy s koeficienty z libovolné domény integrity, pokud je vedoucí koeficient polynomu roven jedné a kořeny jsou umístěny v algebraickém uzávěru pole kvocientů pro $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $\mathbb {K} .$

Pokud jsou koeficienty polynomu převzaty z libovolného komutativního kruhu , který není doménou integrity (to znamená, že má nulové dělitele ), pak vzorce Vieta, obecně řečeno, neplatí. Uvažujme například kruh zbytků modulo 8 a polynom V tomto kruhu nemá dva, ale čtyři kořeny: Proto rozklad na lineární faktory použitý v důkazu, jejichž počet je roven počtu kořenů, ano neproběhnou a vzorec Vieta, jak je snadné zkontrolovat, je nesprávný. $\mathbb {K}$ $P(x)=x^{2}-1.$ $1,3,5,7.$

Viz také

Poznámky

↑ Florian Cajori. Historie matematiky. — 5. vydání. — 1991.
↑ Algebra polynomů, 1980 , str. 26-28.

Literatura

Vinberg E. B. Algebra polynomů. Učebnice pro kombinované studenty III-IV kurzů fyzikálních a matematických fakult pedagogických ústavů. - M .: Vzdělávání, 1980.
Vzorce Weissteina, Erica W. Viety / From MathWorld -- webový zdroj Wolfram
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem" (odkaz není k dispozici) , Encyklopedie matematiky, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (anglicky)
Funkhouser, H. Gray (1930), "Krátký popis historie symetrických funkcí kořenů rovnic", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357-365, doi:10.2307/2299273 , JSTOR 2299273 _